北京市昌平区2022届高三上期末质量抽测数学试卷(含答案解析)
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1、北京市昌平区2022届高三上学期期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 2. 在复平面内,复数对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知 ,那么 “”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为,则点到轴的距离为( )A. B. C. D. 5. 在的展开式中,的系数为( )A. B. C. D. 6. 如图,在正方体中, 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为( )A. B. C. D.
2、 7. 已知函数最小正周期为,则( )A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递增D. 在内单调递减8. 在平面直角坐标系中,点到直线距离的最大值为( )A. B. C. D. 9. 算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载:“珠算,控带四时,经纬三才”用如图所示的算盘表示数时,约定每档中有两粒算珠(上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒)不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示,则这个数能够被3整除的概率是( )A. B. C. D. 10. 若函数 恰有两个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共11
3、0分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 已知双曲线一个焦点的坐标是,则此双曲线的离心率为_.12. 已知向量,在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1,则_;_.13. 若函数, 对任意的都满足,则常数的一个取值为_.14. 在参加综合实践活动时,某同学想利用3D打印技术制作一个的容器:容器上部为圆锥形,底面直径为;下部为圆柱形,底面直径和高均为(如图所示). 他希望当如图放置的容器内液体高度为时,把容器倒置后,液体恰好充满整个圆锥形部分,则圆锥形部分的高度设计为_.15. 已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,前项乘积为,则数列的通项公式_; 满足的最大
4、正整数的值为_三、解答题共6小题,共85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 在中,.(1)求A;(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求BC 边上高线的长条件:;条件:.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分17. 如图,四棱锥的底面是直角梯形,平面,是的中点,与平面交于点, .(1)求证: 是的中点;(2)若为棱上一点,且直线与平面所成的角的正弦值为,求的值.18. 随着北京2022冬奥会的临近,冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项
5、运动的情况,在该地随机抽取了10所学校进行调研,得到数据如下:(1)从这10所学校中随机选取1所学校,求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率;(2)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.(i)现在从这10所学校中随机选取3所,记为其中的“基地学校”的个数,求的分布列和数学期望;(ii)为提高学生“单板滑雪”水平,某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”,则考核为“优秀”.已知某同学参训前,4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2,参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单
6、板滑雪”水平发生了变化?并说明理由.19. 已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)曲线在直线的上方,求实数的取值范围.20. 已知椭圆过点.(1)求椭圆方程;(2)若过点的直线与椭圆交于点,直线分别交直线于点.求证:线段的中点为定点.21. 已知等差数列,若存在有穷等比数列,其中,公比为,满足,其中,则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”(1)数列的通项公式为,写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”;(2)等差数列的公差为,若存在长度为的“等比伴随数列”,其中,求的最大值;(3)数列的通项公式为,数列为数列的长度为的“等比伴随数列”,求的最大值北京市昌平区2022届高三上学期期末
7、质量抽测数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式,求出集合A,进而求出.【详解】由得:或,则,所以故选:A2. 在复平面内,复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析:对应的点为在第二象限考点:复数运算点评:复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数,复数对应的点为3. 已知 ,那么 “”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性、必要性的定义,结合
8、指数函数和幂函数的性质进行判断即可.【详解】由,但是由不一定能推出,例如:当时,显然,但是没有意义,故选:A4. 已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为,则点到轴的距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义得到,即求.【详解】由抛物线可得,准线方程为,因为抛物线上的点P到它的焦点的距离为5,所以,所以,即点到轴的距离为4.故选:C5. 在的展开式中,的系数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过二项展开式通项公式直接求特定项系数.【详解】的通项为,令,即,故选:D.6. 如图,在正方体中, 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为( )
9、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系,用空间向量解决.【详解】过点A的面对角线一共有三条,AC,连接,AC,以为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则,其中,故与垂直,与不垂直,故答案为2条.故选:C7. 已知函数的最小正周期为,则( )A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递增D. 在内单调递减【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式,结合余弦型函数最小正周期公式、单调性进行求解即可.【详解】,因为该函数最小正周期为,所以有,即,当时,即当时,函数单调递减,因此选项A不正确,选项B正确;当时,即当时,函数
10、单调递增,因此选项C不正确,选项D不正确,故选:B8. 在平面直角坐标系中,点到直线的距离的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离,结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】设点到直线的距离为,即,所以的最大值为:,故选:D9. 算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载:“珠算,控带四时,经纬三才”用如图所示的算盘表示数时,约定每档中有两粒算珠(上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒)不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示,则这个数能够被3整除的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解
11、析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解:从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠,有11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550共12个,其中能被3整除的有:15,51,105,501,150,510共6个,所以这个数能够被3整除的概率是,故选:C10. 若函数 恰有两个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分两种情况,第一种是与在各自定义域内各有一个零点;第二种是在定义域内没有零点,在定义域内有两个零点.【详解】因为单调递增,先减后增,故当时,有一个零点,当时,有一个零点,则要求,解得:;当时,没有零
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