北京市顺义区2022届高三上期末数学试卷（含答案解析）

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1、北京市顺义区2022届高三上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 在复平面内，复数 对应的点位于（）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知，且则向量夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 5. 在等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的

2、说法中，不正确的是（ ）A. 截面可能是矩形B. 截面可能是菱形C. 截面可能是梯形D. 截面不可能是正方形8. 已知两点，若直线上存在点P，使得成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线”是（ ）； ；A. B. C. D. 9. 如图，是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ）A. B. C. D. 大小不能确10. 为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后

3、统计总分.若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分.有下列结论：总分第三名不超过9分；总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；总分第四名不超过6分；总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11. 函数定义域为_.12. 展开式中的系数为_.（用数字作答）13. 将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线.则的倾斜角为_，的方程是_.14. 若实数满足，则使得成立一个的值是_.15. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能

4、沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：若点，点，则；到点“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是；若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是；若点，点是圆上的动点，则的最大值是.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题共6道题，共85分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 如图，在长方体中，点在线段AB上.（1）证明： ；（2）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小.17. 在中，.（1）求大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求

5、出的面积.条件：；条件：；条件：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.（1）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；（2）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.19. 已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.20. 已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（

6、2）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线、分别交椭圆于、两点（不同于点）.求证：直线过定点.21. 数列：满足，称为数列的指数和.（1）若，求所有可能的取值；（2）求证:的充分必要条件是；（3）若，求的所有可能取值之和.北京市顺义区2022届高三上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 在复平面内，复数 对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】，复数 对应的点位于第二象限故选B点睛：复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式2. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】

7、B【解析】【分析】解出集合B，根据集合的交集运算即可.【详解】，.故选：B.3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递减，A不满足要求；对于B选项，函数为非奇非偶函数，且该函数在上单调递增，B不满足要求；对于C选项，函数为非奇非偶函数，且该函数在上单调递增，C不满足要求；对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，D满足要求.故选：D.4. 已知，且则向量夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【

8、分析】由向量的垂直关系及模长可得，即可求夹角的余弦值.【详解】由题设，所以.故选：A5. 在等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出等差数列的公差，进而可求得的值.【详解】由题意可知，等差数列的公差为，因此，.故选：A.6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解【详解】，解得或，故“或”是“”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，同时考查了分式不等式的解法，属于基础题，7.

9、 已知过的平面与正方体相交，分别交棱，于，.则下列关于截面的说法中，不正确的是（ ）A. 截面可能是矩形B. 截面可能是菱形C. 截面可能是梯形D. 截面不可能是正方形【答案】C【解析】【分析】选过特殊点(中点、对角顶点)且含体对角线的平面截取正方体，根据正方体的性质及结构特征、勾股定理分析各选项的正误即可.【详解】如下图，当分别与对角顶点重合时，显然是矩形；如下图，当，为，的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：不可能为正方形；根据对称性，其它情况下为平行四边形；综上，C不正确.故选：C.8. 已知两点，若直线上存在点P，使得成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线

10、”是（ ）； ；A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知点在以为焦点的双曲线的右支上，问题等价于直线和该双曲线右支有交点，求出双曲线方程，联立直线方程和双曲线方程，判断根的情况即可得答案.【详解】，点在以为焦点的双曲线的右支上，设双曲线标准方程为：(a0，c0)，则即，其标准方程为：.对于，联立和可得：，不是单曲直线；对于，联立和可得：，是单曲直线；对于，是的一条渐近线，不是单曲直线；对于，联立和可得：，且方程两根之积为32，方程有一正根，是单曲直线.故选：D.9. 如图，是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（ ）A. B.

11、 C. D. 大小不能确【答案】B【解析】【分析】构建直角坐标系，根据题意设，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.【详解】构建如下图示直角坐标系，令，所以，可设，且，则，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.10. 为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分.有下列结论：总分第三

12、名不超过9分；总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；总分第四名不超过6分；总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设条件进行推理分析知：第三、四名的总分为13分，第四名总分不可能超过6分，结合第一、二名的环节名次，即可确定正确的项.【详解】由题设，第一名14分，则2个环节第一，2个环节第二、3个环节第一，1个环节第三；第二名13分，可能名次1个环节第一，3个环节第二、2个环节第一，1个环节第二，1个环节第三、3个环节第一，1个环节第四；所以，第一名与第二名各环节组合情况如下：1、第一名2个环节第一，

13、2个环节第二，第二名2个环节第一，1个环节第二，1个环节第三；2、第一名3个环节第一，1个环节第三，第二名1个环节第一，3个环节第二；综上，第三名最好成绩为1个环节第二，3个环节第三，即最高分为9分，故正确，错误；由上分析知：除去第一、二名的得分，第三、四名的总分为13分，所以第四名总分不可能超过6分，若第四名某一个环节的比赛中拿到3分，则1个环节第二，3个环节第四，共6分；此时第三名3个环节第三，1个环节第四，共7分，满足题意，正确；故选：C第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】列出使解

14、析式有意义的不等式组，求出解集即可.【详解】函数，解得，函数的定义域为.故答案为【点睛】本题考查函数的定义域，考查对数函数和二次根式的性质.1、函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，求函数定义域的步骤：（1）写出使函数有意义的不等式（组）；（2）解不等式（组）；（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）2、求函数定义域的主要考虑如下：（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.（4）特殊位置：正切函数，（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑

15、使实际问题或几何问题有意义；（6）复合函数定义域，本着内层函数的值域为外层函数定义域的原则求得定义域；（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.12. 展开式中的系数为_.（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】先写出二项展开式的通项公式，然后结合“的系数”，找出指数为1时，即可求出系数.【详解】展开式的通项公式为 ，令 解得 ，故展开式中的系数为 .故答案为：1013. 将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线.则的倾斜角为_，的方程是_.【答案】 . # . 【解析】【分析】先求出直线倾斜角为45，从而求出直线的倾斜角为，斜率为，故求出直线的方程.【详解】直线的倾斜角为45，所以直线

16、的倾斜角为，斜率为，所以直线方程为，即故答案为：，14. 若实数满足，则使得成立的一个的值是_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出的取值范围，进而取得一个合适的值即可.【详解】由得：，所以，解得：或，故取即可，答案不唯一故答案为：15. 城市许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：若点，点，则；到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是；若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是；若点，点是圆上的动点，则的最大值是.其中，所有正确结论的序号是_.

17、【答案】【解析】【分析】利用题中定义可判断；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断；利用题中定义以及二次函数的性质可判断；设点，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断.【详解】对于，对；对于，设点满足，即.对于方程，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，.作出集合所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：平面区域是边长为的正方形，该区域的面积为，错；对于，设点，则，令.当时，当时，；当时，；当时，.综上所述，对；对于，设点，则，所以，的最大值是，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断时，在涉及圆或椭圆上的点

18、相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.三、解答题共6道题，共85分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 如图，在长方体中，点在线段AB上.（1）证明： ；（2）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连结，则，由已知可得四边形是正方形，所以，再利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，（2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】连结，因为在长方体中所以有平面，平面，所以，又因为，所以四边形是正方

19、形，所以，又，所以平面，所以又平面，所以；【小问2详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，当点是AB中点时，可得，所以， 设为平面的一个法向量，则，即，令，可得所以 又，所以，设与平面所成角为，则 即，所以与平面所成的角为.17. 在中，.（1）求的大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，判断是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出的面积.条件：；条件：；条件：成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1） （2）选：ABC存在，此时；选：ABC不存在；选：ABC存在，此时.【解析

20、】【分析】（1）利用正弦定理得到，进而求出的大小；（2）选：结合第一问可求出，得到ABC存在，利用面积公式求出答案；选：利用余弦定理可得到，故ABC不存在；选：利用余弦定理可得：，结合，得到ABC存在，利用面积公式得到答案.【小问1详解】因为，由正弦定理 可得 所以， 即，又，所以；【小问2详解】选择条件：由（1）知，所以，故，因为，所以，所以，此时存在，因为，所以又因为 所以 选择条件：因为，由余弦定理可得，又所以可得， 又由条件：，可得：，所以， 又，所以可得，这与在中，矛盾故此时不存在选择条件：成等差数列因为成等差数列，所以，因为，所以又由余弦定理可得， 化简得 联立方程组，可解得：或（

21、舍），又，所以可知为等边三角形，此时存在，所以.18. 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.（1）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；（2）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由题可知购买农产品的概率为，购买农产品的概率为，然后由独立事件的概率公式求解即可，（2）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，则由题意可

22、得可取，可取，然后求出各自对应的概率，而由可知，的可能取值为，从而可求出其对应的概率，进而可得的分布列与数学期望【小问1详解】由题可知购买农产品的概率为，购买农产品的概率为，设事件为4人中恰有1人购买农产品，依题可知，4人是否购买农产品相互独立，互不影响所以；【小问2详解】用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，则可取，可取， 当时，表示4人全部购买产品，概率，当时，表示4人中恰有1人购买农产品，概率， 当时，表示4人中恰有2人购买农产品，概率，当时，表示4人中恰有3人购买农产品，概率，当时，表示4人中全部购买农产品，概率，所以由可知，的可能取值为 当时，对应的概率， 当时，对应的概率，当

23、时，对应的概率 所以随机变量的分布列为所以，数学期望.19. 已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，求导可得，再结合切线的几何意义，即可求解（2）设，则，再利用导数研究函数的单调性，分和两种情况讨论，即可求解【小问1详解】解：当时，函数，定义域为， 又，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：若在上恒成立，即在上恒成立，可令，则，令，可解得，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即时，在上恒成立，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，又，即，不满足恒成立，故

24、舍去，综上可知：实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数分类讨论求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想.20. 已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线、分别交椭圆于、两点（不同于点）.求证：直线过定点.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，可求得点、的纵坐标，根据可得出、所满足的等式，再化简直线的方程，即可求得直线所过定点

25、的坐标.【小问1详解】解：依题意可得，可得，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：因为、两点不同于点，所以直线斜率一定存在，且，可设直线的方程为，设、，其中且，联立方程组消去，化简可得，则，所以，又，所以，所以直线方程为，直线方程为，令得，因为和关于轴对称，所以，即，又代入上式，整理可得，即，化简可得，所以，直线的方程为，即，所以，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得

26、到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21. 数列：满足，称为数列的指数和.（1）若，求所有可能的取值；（2）求证:的充分必要条件是；（3）若，求的所有可能取值之和.【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.（2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可（3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和.【小问1详解】由题设，又，所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，；综上，.【小问2详解】证明充分性：当时，可得；证明必要性：当时，用反证法，假设，则矛盾.从而；所以的充分必要条件是，得证.【小问3详解】当时，由（2）知：，反之亦然.当时，有中不同取值方式，其中与，与，与在所有指数和中出现的总次数都是种，因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次，从而所有指数和之和为 .【点睛】关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和.