北京市东城区2022年高一下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2022年北京市东城区高一下学期期末数学试卷一选择题共10小题，每小题3分，共30分.1. 复数的虚部是（ ）A B. C. D. 2. （ ）A. B. C. D. 3 已知向量，且，那么（ ）A. B. C. D. 4. 已知，那么与垂直的向量是（ ）A. B. C. D. 5. 已知，那么（ ）A. B. C. D. 6. 设的内角所对的边分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，与直线互为异面直线是（ ）A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）A. B. C. D. 9. 已知五位同学高一入学时年龄的平

2、均数，中位数均为，方差为，那么三年后，下列说法错误的是（ ）A. 这五位同学年龄的平均数变为B. 这五位同学年龄的中位数变为C. 这五位同学年龄的方差仍为D. 这五位同学年龄的方差变为10. 如图，在中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）；过点作一条直线与边分别相交于点，若，则；若是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是A. 个B. 个C. 个D. 个二填空题共5小题，每小题3分，共15分.11. 已知复数，那么_.12. 已知均为单位向量，且，那么_.13. 从甲乙两个部门中分别任选名员工统一进行职业技能测试，得到的测试成绩（单位：分）的数据统计表如下所示.在这两

3、个部门员工的测试成绩中，平均数较高的是_部门，方差较大的是_部门.员工部门分数1分数2分数3分数4分数5甲8286819385乙868990909214. 已知锐角的内角的对边分别为，若，则_.15. 如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题：是等边三角形；平面平面；设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大；连接，总有平面.其中正确的命题是_.三解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六组.第一组为，第二组为，以此类推，第五组为，第六组为得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频

4、率分布直方图，求的值，并直接写出众数第百分位数分别在第几组；（2）若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在分数段抽取的人数.17. 在中，所对的边分别为，且，.（1）求的大小；（2）求的值.18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点.（1）求证：平面；（2）再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求证：.条件：；条件：平面注：如果选择条件条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）若函数，求函数的单调递增区间.20. 在平面直角坐标系中，已知一列点：，其中，向量.（1）求和的值；（2）证明

5、：对任意的正整数，都有；（3）若正整数满足，则下列结论中正确的有_.（填入所有正确选项的序号）；21. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.图图图（1）若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；（2）在图中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要

6、写出过程）；（3）如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.2022年北京市东城区高一下学期期末数学试卷一选择题共10小题，每小题3分，共30分.1. 复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数定义得出答案.【详解】复数的虚部是故选：B2. （ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接用正弦和差角公式即可得到结果.【详解】因为故选:A.3. 已知向量，且，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的

7、坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为，且，所以，解得.故选：C4. 已知，那么与垂直的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，所以，对于A：，此时，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，此时，故C错误；对于D：，则则，故D错误；故选：B5. 已知，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用和角正切公式即可求值.【详解】.故选：A6. 设的内角所对的边分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出，又，则为锐角，结合选项

8、得出答案【详解】，解得，又，为锐角，即，故选：A7. 如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于选项A，故A不正确；对于选项B，故B不正确；对于选项C，直线与直线相交，故C不正确；对于选项D，因为直线与直线不同在任意一个平面，所以直线与直线是异面直线，故D正确.故选：D.8. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出.利用勾股定理求出侧棱长.【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以

9、底面积为.设正四棱锥的高为h，由，所以.所以侧棱长为.即侧棱长为.故选：C9. 已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为，方差为，那么三年后，下列说法错误的是（ ）A. 这五位同学年龄的平均数变为B. 这五位同学年龄的中位数变为C. 这五位同学年龄的方差仍为D. 这五位同学年龄方差变为【答案】D【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解.【详解】五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为，方差为，那么三年后，这五位同学年龄的平均数变为，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为，故B正确；这五位同学年龄的方差不变，故C正确，D错误；故选：D.10. 如图，在中，是的中点，是上一点，

10、且，则下列说法中正确的个数是（ ）；过点作一条直线与边分别相交于点，若，则；若是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】由，结合向量的运算判断；由三点共线结合向量的数乘运算判断；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断.【详解】对于：，故，故正确；对于：，因为三点共线，所以，即，解得，故错误；对于：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，设，因为，所以，当时，当时，即的取值范围是，故正确；故选：C二填空题共5小题，每小题3分，共15分.11. 已知复数，那么_.【答案】#【解析】【分析】直接利用复数的乘法法则求解即可【

11、详解】因为，所以，故答案为：12. 已知均为单位向量，且，那么_.【答案】【解析】【分析】由模长公式计算即可.【详解】故答案为：13. 从甲乙两个部门中分别任选名员工统一进行职业技能测试，得到的测试成绩（单位：分）的数据统计表如下所示.在这两个部门员工的测试成绩中，平均数较高的是_部门，方差较大的是_部门.员工部门分数1分数2分数3分数4分数5甲8286819385乙8689909092【答案】 . 乙 . 甲【解析】【分析】根据表中的数据利用平均数和方差公式计算进行比较【详解】甲的平均数为乙的平均数为，所以乙的平均数较大，甲的方差为乙的方差为，所以甲的方差较大，故答案为：乙，甲14. 已知锐

12、角的内角的对边分别为，若，则_.【答案】#【解析】【分析】由正弦定理边化角，再利用中即可化简求解.【详解】解：在锐角中，因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以，故答案：.15. 如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题：是等边三角形；平面平面；设，则三棱锥体积随着增大先减少后增大；连接，总有平面.其中正确的命题是_.【答案】【解析】【分析】对：由正方体的面对角线相等即可判断；对：由线面垂直的判断定理证明平面，即可得证平面平面；对：由平面,可得点M到平面的距离为定值，从而可得三棱锥的体积为定值；对：由面面平行的判断定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断.【详解

13、】解：对：在正方体中，设边长为1，则，所以是等边三角形，故正确；对：在正方体中，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；对：在正方体中，因为平面平面, 平面,所以平面,所以点M到平面的距离为定值，所以为定值，故错误；对：在正方体中，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面，故正确.故答案为：.三解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六组.第一组为，第二组为，以此类推，第五组为，第六组为得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布

14、直方图，求的值，并直接写出众数第百分位数分别在第几组；（2）若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在分数段抽取的人数.【答案】（1），众数第80百分位数分别在第四组第五组 （2）（人）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有的小矩形面积之和为得到方程，即可求出，再由频率分布直方图判断众数及第百分位数所在位置.（2）首先求出抽样比，再根据频率分布直方图求出中的人数，从而计算可得.【小问1详解】解：由题意可得，解得.由图频率分布直方图可知小矩形最高的一组为第四组，所以众数位于第四组，又，所以第80百分位数在第五组.【小问2详解】解：因为总体共60名学生，样本容量为20

15、，因此抽样比例为.又因为在分数段共有（人），因此在分数段抽取的人数是（人）.17. 在中，所对的边分别为，且，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出的值，再根据角的取值范围即可求解；（2）由已知及（1）问结论，利用两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理即可求解.【小问1详解】解：因为，所以由余弦定理可得，又，所以；【小问2详解】解：由（1）知，由正弦定理，得.18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点.（1）求证：平面；（2）再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求证：.条件：；条件：平面.注：如果

16、选择条件条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得到线线平行，由线线平行证明线面平行.(2)选择条件，则线面垂直证得线线垂直即可.【小问1详解】四边形是矩形，.又平面平面，平面.【小问2详解】选择条件且点为侧棱的中点，平面平面，又，故平面又平面，又，平面又平面，选择条件：平面平面，平面平面，又，故平面又平面，.又，平面.又平面，.19. 已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）若函数，求函数的单调递增区间.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）有二倍角的余弦公式化简，由二次函数的性质求数的最大值；（2）由三角恒等变

17、换化简，令，即可求出函数的单调递增区间.【小问1详解】设.于是，.当时，.【小问2详解】令，则.因此，函数的单调递增区间为.20. 在平面直角坐标系中，已知一列点：，其中，向量.（1）求和的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）若正整数满足，则下列结论中正确的有_.（填入所有正确选项的序号）；.【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】(1)写出向量的坐标，利用坐标进行运算；(2)用坐标表示出向量的数量积，再对数量积进行作差，比较大小；(3)对于，用坐标表示出，再判断大小；对于，用坐标表示出向量的模长，再比较大小.【小问1详解】，【小问2详解】，.【小问3详解】对于，所以

18、，所以，故正确；对于，所以，同理，因为，所以，所以错误；对于，因为，所以，所以，即，所以正确.所以正确选项的序号为：.21. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.图图图（1）若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；（2）在图中作出平面与平面的交线

19、（保留作图痕迹，不需要写出过程）；（3）如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3），证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意知共面，根据面面平行的性质可得、，再由平行四边形及平行线的性质有、，即可证结论.（2）根据平面的基本性质作出面与面的交线；（3）猜想，过作于，连接，过作于，连接，由投影的性质有面，再根据线面垂直的性质及判定可得面，由线面垂直的性质有，结合面面角的定义有是二面角的平面角，同理是二面角的平面角，最后由余弦函数的定义及三角形面积关系列方程，即可证猜想.【小问1详解】依题意，故共面.面面，面面，面面，同理.又平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形.【小问2详解】如图，直线为平面与平面的交线.【小问3详解】猜想：.不妨将平行四边形平移，使与重合，如图所示.则面与面的交线即为.过作于，连接，过作于，连接.由正投影，则面，又面，故.又，面，则面，而面，故，又，是二面角的平面角，同理是二面角的平面角.，且，即.