2023年高考数学一轮复习专题9：指数函数与对数函数（含答案解析）

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1、专题9:指数函数与对数函数真题试练1（2021天津高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（） ABC D2（2020新课标理高考真题）若 ，则（） ABCD基础梳理1根式(1)如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(3)()na.当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂正数的正分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr(a0，b0，r，sR)4指数函数及其

2、性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0yd1ab0，即在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大5对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.6对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga10，logaa1，N(a0，且a1，N0)(2)对数的运算性质如果a0，且

3、a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(3)换底公式：logab(a0，且a1，b0，c0，且c1)7对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数8.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称【常用结论】1logablogba1，logab.2如图给出4个对数函数的图象则ba1dc0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大3对数函数ylogax(a

4、0且a1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.考点一指数幂的运算1.(2022沧州联考)(a0，b0)_.2.若3(x0)，则_.【思维升华】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二指数函数的图象及应用3.（2022浙江学考）函数 的图象大致是（） ABCD4函数的图象（）A关于原点对称B关于轴对称C关于直线对称D关于点对称【思维升华】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换

5、得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解考点三指数函数的性质及应用5.(2022永州模拟)若a0.30.7，b0.70.3，c1.20.3，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCbca Dacb6.(2020全国)若2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|b1，若logablogba，abba，则ab .8.计算：lg 25lg 50lg 2lg 500(lg 2)2 .【思维升华】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(

6、3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用考点五对数函数的图象及应用9.（2022绍兴模拟）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（）ABCD10（2022惠州模拟）函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A2B3C4D0【思维升华】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考点六对数函数的性质及应用11.(2022昆明一中月考)设alog63，blog126，c

7、log2412，则()Abca BacbCabc Dcba12.（2022天津市模拟）已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是（）AabcCabbc【思维升华】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成一、单选题1（2022北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 ，

8、时，二氧化碳处于液态B当 ， 时，二氧化碳处于气态C当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态D当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态2.（2022河南模拟）定义矩阵运算，则（）ABCD3（2022海宁模拟）设，则“”是“”的（）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（2022射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的

9、光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（）A0.03B0.05C0.07D0.085（2022成都模拟）若函数的零点为，则（）AB1CD26（2022天津市模拟）设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD7（2022安徽模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（）ABCD大小关系无法确定8（2

10、022三明模拟）已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（2022永州三模）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（2022枣庄一模）已知，则（）ABCD二、填空题11（2022诸暨模拟）已知，则 ； 12（2022天津市模拟）计算： 13（2022顺义模拟）已知函数，若，则 .14（2022安徽模拟）已知函数，则下列说法中：函数的图象关于点中心对称；函数的值域为；函数的所有零点之和大于0其中所有正确说法的序号为 三、解答题15已知函数f(x)bax(其中a，b为常数，且a0，a1)的图象经过点A(

11、1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围16.(2022枣庄模拟)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a1时，求使f(x)0的x的解集专题9:指数函数与对数函数真题试练1（2021天津高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（） ABC D【答案】D【解析】解：log20.3log21=0，a100.4030.40=1，0c1ac1，且nN*.(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(3)()na.当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指

12、数幂正数的正分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr(a0，b0，r，sR)4指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0yd1ab0，即在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大5对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xl

13、ogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.6对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga10，logaa1，N(a0，且a1，N0)(2)对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(3)换底公式：logab(a0，且a1，b0，c0，且c1)7对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数8.反函数指数函数yax(a0且

14、a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称【常用结论】1logablogba1，logab.2如图给出4个对数函数的图象则ba1dc0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大3对数函数ylogax(a0且a1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.考点一指数幂的运算1.(2022沧州联考)(a0，b0)_.答案解析原式.2.若3(x0)，则_.答案解析由3，两边平方，得xx17，再平方得x2x247，x2x2245.(x1x1)3(71)18.【思维升华】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必

15、须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二指数函数的图象及应用3.（2022浙江学考）函数 的图象大致是（） ABCD【答案】D【解析】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数， 且函数为减函数，D选项符合题意。故答案为：D.4函数的图象（）A关于原点对称B关于轴对称C关于直线对称D关于点对称【答案】B【解析】令，对任意的，即函数的定义域为，因此，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.故答案为：B.【思维升华】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，当底数a

16、与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解考点三指数函数的性质及应用5.(2022永州模拟)若a0.30.7，b0.70.3，c1.20.3，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcbaCbca Dacb答案B解析函数y0.3x在R上是减函数，00.30.70.30.30.301，又幂函数yx0.3在(0，)上单调递增，030.7，00.30.30.70.3，0ab1.201，cba.6.(2020全国)若2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|0答案A解析设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单

17、调递增，所以f(x)在R上单调递增原式等价于2x3x2y3y，即f(x)f(y)，所以x0，所以A正确，B不正确因为|xy|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确【思维升华】(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断考点四对数式的运算7.已知ab1，若logablogba，abba，则ab .答案6解析设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2b，即2bb2，又ab1，解得b

18、2，a4.所以ab6.8.计算：lg 25lg 50lg 2lg 500(lg 2)2 .答案4解析原式2lg 5lg(510)lg 2lg(5102)(lg 2)22lg 5lg 51lg 2(lg 52)(lg 2)23lg 51lg 2lg 52lg 2(lg 2)23lg 52lg 21lg 2(lg 5lg 2)3lg 52lg 21lg 23(lg 5lg 2)14.【思维升华】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用考点五对数函数的

19、图象及应用9.（2022绍兴模拟）在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，A、B不符合题意；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，D不符合题意，C符合题意.故答案为：C.10（2022惠州模拟）函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A2B3C4D0【答案】C【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数， 作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点故答案为：C【思维升华】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊

20、点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考点六对数函数的性质及应用11.(2022昆明一中月考)设alog63，blog126，clog2412，则()Abca BacbCabc Dcba答案C解析因为a，b，c都是正数，所以log361log32，log6121log62，log12241log122，因为log32，log62，log122，且lg 3lg 6log62log122，即，所以abc.12.（2022天津市模拟）已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b

21、，c的大小关系是（）AabcCabbc【答案】B【解析】因为alog23log2log2log231，blog29log2log2a，clog32c.故答案为：B【思维升华】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成一、单选题1（2022北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 ， 时，二氧化碳处于液态B当 ， 时

22、，二氧化碳处于气态C当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态D当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】A选项： ， ，由图易知处于固态； B选项： ， ，由图易知处于液态；C选项： ， ，由图易知处于固态；D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.故答案为：D2.（2022河南模拟）定义矩阵运算，则（）ABCD【答案】B【解析】故答案为：B3（2022海宁模拟）设，则“”是“”的（）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且且，故答案为：A4（2022射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项

23、用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（）A0.03B0.05C0.07D0.08【答案】D【解析】由已知可得，解得，当时，则.故答案为：D.5（2022成都模拟）若函数的零点为，则（）AB1CD2【答案】B【解析】由题设，由得：，若，可得，若，可得，综上，故.故答案为：B6（2022天津市模拟）设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】依题意， ，所以故答案为：A7（2

24、022安徽模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（）ABCD大小关系无法确定【答案】B【解析】由题意得，则，同理，则，得，由指数函数单调性得，即故答案为：B8（2022三明模拟）已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则

25、为增函数所以，即即当时，所以故答案为：A9（2022永州三模）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得，取，此时满足，但是不满足，综上，“”是“”的必要不充分条件.故答案为：B.10（2022枣庄一模）已知，则（）ABCD【答案】C【解析】， ，所以，所以，又，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以。故答案为：C二、填空题11（2022诸暨模拟）已知，则 ； 【答案】10；1【解析】，解得，故答案为：10；112（2022天津市模拟）计算： 【答案】1【解析】，填1。13（2022顺义模拟）已知函数，若，则 .【答案】4

26、【解析】因为，则，则，即；又.故答案为：4.14（2022安徽模拟）已知函数，则下列说法中：函数的图象关于点中心对称；函数的值域为；函数的所有零点之和大于0其中所有正确说法的序号为 【答案】【解析】因为，故的图象关于点中心对称，故正确；易知函数在R上单调递减，且当时，当时，故函数的值域为，故正确；令，得，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象如下所示，观察可知，有两个零点为，故错误故答案为：三、解答题15已知函数f(x)bax(其中a，b为常数，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为

27、f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均单调递减，所以yxx在(，1上也单调递减，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.16.(2022枣庄模拟)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)f(x)是奇函数，证明如下：因为f(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1时，yloga(x1)是增函数，yloga(1x)是减函数，所以当a1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，f(x)0即loga(x1)loga(1x)0，loga0，1，0，2x(1x)0，解得0x0的x的解集为(0,1)学科网（北京）股份有限公司