2023届高考数学复习知识点:数列
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1、数列01 数列的概念一、数列及相关概念1、定义:按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项,数列中的每一项都和项的序数有关,各项依次叫做这个数列的第1项,第2项, ,第项,注:数列与数集的区别:数集中的元素具有无序性和互异性,而数列的主要特征是有序性,而且数列的项可以重复出现。2、数列的一般形式可以写成:其中是数列的第项,是的序数,上面的数列可简单记作。3、函数思想:数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。函数与数列的联系与区别:一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题另一方
2、面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即),则图象呈上升趋势,即数列递增,即递增对任意的都成立类似地,有递减对任意的都成立.二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.三、数列的分类有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列; 1. 有穷数列:项数有限.2. 无穷数列:项数无限.3. 递增数列:对于任何,均有.4. 递减数列:对于任何,均有.5. 摆动数列:例如: -
3、1,1,-1,1,-1,1, .6. 常数数列:例如:6,6,6,6,.四、数列的通项公式定义:如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注:并不是所有数列都能写出其通项公式,如数列1,1.4,1.41,1.414,.; 一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,它的通项公式可以是,也可以是.02 等差数列一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示即等差数列有递推公式:二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式
4、为:2.等差数列的公式的推导:累加法3.等差数列通项公式的推导:,将这个式子的等号两边分别相加得:,即由等差数列的通项公式易知:三、等差中项定义:如果三个数组成等差数列,那么叫做和的等差中项,即四、等差数列的常用性质1.在等差数列中,若,则,若,则;该性质推广到三项,即,,推广到一般形式,只要两边项数一样,且下标和相等即可2.若均为等差数列,且公差分别为,则数列也为等差数列,且公差分别为3.如果等差数列的公差为,则是递增数列;是递减数列; 是常数列4.在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即,为等差数列,公差为五、等差数列的前项和及推导过程1.等差数列前项和公式:2.等差数列前项和
5、公式的推导:倒序相加,把项的顺序反过来,可将写成:,将这两式相加得:,从而得到等差数列的前项和公式,又,得六、等差数列前项和的性质1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列,即,为等列,公 差为2.为等差数列当项数为奇数时,由得,当项数为偶数时,由得, .3.通项公式是 是一次函数的形式;前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式(注:当时,)4.为等差数列,则也成等差数列5.等差数列的公差为,分别代表数列奇数项和、偶数项和,如果数列有项,则 ;如果数列有项,则.6.若,此时二次函数开口向下,对称轴在轴的右侧,有最大值,可由不等式组来确定若,此时二次函数开口向上,对称轴在轴的右侧,有最小值,可由不
6、等式组来确定七、等差数列的前项和公式与二次函数1.区别和联系区别联系定义域为图像是一系列的额孤立点(1)解析式都是二次式;(2)图像是抛物线上的图像的一系列的点定义域为图像是一条光滑的抛物线2.观察可得:由和得;3.特殊性:当,达到最大或最小而当时,取与最近的正整数即可4.由二次函数的性质可得:当时,有最小值,:当时,有最大值03 等比数列一、等比数列概念概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,常用字母表示即数列的递推公式为(常数)()【注意】(1)由于等比数列每一项都可能作为分母,故每一项均不为0,因此也不为
7、0;(2)从第二项开始,因此首项没有前一项;(3)an+1an均为同一个常数,即比值相等;(4)常数列都是等差数列,但不一定是等比数列若常数列各项都为0的数列,它就不是等比数列,当常数列各项不为0时,是等比数列二、等比数列的通项公式及推导1.等比数列的通项公式为:2.等比数列的公式的推导:累乘法3.等比数列通项公式的推导:,将这个式子的等号两边分别相乘得:,即由等差数列的通项公式易知:三、等比中项定义:如果三个数组成等比数列,那么叫做和的等比中项,即两个正数(或两个负数)的等比中项有两个,它们互为相反数;一个正数与一个负数没有等比中项四、等比数列的常用性质1.公比为的等比数列的各项同乘以一个不
8、为零的数,所得数列仍为等比数列,公比仍为;2.若,则有;若,则有;3.等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为4.若等比数列的公比为,则是以为公比的等比数列;5.若与均为等比数列,则也为等比数列;6.或递增;或递减;为常数列;为摆动数列五、等比数列的前项和及推导过程1.等比数列前项和公式:2.等比数列由等比数列的定义知公式的推导:方法一:由等比数列的定义知,将这个等式的两边分别相加得:,即,整理得,当时,显然此式对也成立;当时,方法二:由前项定义知,将上式两边同乘以得:两式相减得: ,以下讨论同法一注:方法二称为错位相减法,是数列求和中常用的一种方法错位相减求和法:非零的等差
9、数列、等比数列构造数列,数列称为差比数列,求它的前项和可用错位相减法六、等比数列前项和的性质1.公比为的等比数列,按项分组,每项之和组成一个新数列,认为等比数列,其公比为(也就是说:,为等比数列,公比为2.对于项数为的等比数列,有04 数列的通项公式类型 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项类型 公式法:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式 构造两式作差求解用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一)类
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