2023届高考数学一轮复习《圆锥曲线》单元达标试卷（含答案解析）

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1、圆锥曲线圆锥曲线 一、选择题：一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分. 1.已知1F，2F分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使1290FPF，则椭圆的离心率 e的取值范围为( ) A.20,2 B.2,12 C.30,2 D.3,12 2.1F，2F是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引12F PF的外角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 3.点(5,3)M到抛物线2(0)yax a的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( ) A.212yx

2、B.212yx或236yx C.236yx D.2112yx或2136yx 4.已知方程22132xykk表示椭圆，则 k的取值范围为( ) A.3k 且12k B.32k 且12k C.2k D.3k 5.已知双曲线221169xy上的点 P到(5,0)的距离为 15，则点 P到点( 5,0)的距离为( ) A.7 B.23 C.5或 25 D.7 或 23 6.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，抛物线 C与圆22:(3)3Cxy交于 M，N 两点，若|6MN ，则MNF的面积为( ) A.28 B.38 C.3 28 D.3 24 7.已知 F为抛物线2:4C yx的焦点，过

3、 F 作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与 C交于 A，B 两点，直线2l与 C 交于 D，E两点，则|ABDE的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 8.已知抛物线24yx，过点(4,0)P的直线与抛物线相交于11,A x y，22,B x y两点，则2212yy的最小值为( ) A.12 B.24 C.16 D.32 二二、多项选择题多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9.已知1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、

4、右焦点，A 为左顶点，P为双曲线右支上一点，若122PFPF，且12PFF的最小内角为 30 ，则( ) A.双曲线的离心率为3 B.双曲线的渐近线方程为2yx C.245PAF D.直线220 xy与双曲线有两个公共点 10.已知抛物线2:4E yx的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，C，D分别为 A，B 在 l上的射影，且| 3|AFBF，M为 AB中点，则下列结论正确的是( ) A.90CFD B.CMD为等腰直角三角形 C.直线 AB的斜率为3 D.AOB的面积为 4 三、填空题三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分. 11.已知焦点在

5、x 轴上的双曲线22212xymm的两条渐近线互相垂直，则实数m _. 12.设抛物线24yx的焦点为 F，过 F 的直线 l交抛物线于 A，B两点，过 AB的中点 M 作 y 轴的垂线，与抛物线在第一象限内交于点 P，若3|2PF ，则直线 l的方程为_. 13.一条光线从抛物线22(0)ypx p的焦点 F 射出，经抛物线上一点 B 反射后，反射光线经过点(5,4)A，若| 6ABFB，则抛物线的标准方程为_. 四四、解答题：、解答题：本题共 1 小题，共 15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为( 5,0)，离心率为53

6、. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点00,P x y为椭圆 C外一点，且过点 P 的椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：若椭圆上存在点 P，使得12PFPF， 则以原点为圆心，12F F为直径的圆与椭圆必有交点， 所以22cb，即222ca，即212e ，又1e ， 所以2,12e. 2.答案：A 解析：延长垂线1FQ，交2F P的延长线于点 A，如图所示，则1APF是等腰三角形， 1|PFAP，2212|2AFAPPFPFPFa.由题意知 O 是12F F的中点，Q是1AF的中点，连接OQ，则21|2OQAFa. Q点

7、的轨迹是以原点 O为圆心，a 为半径的圆.故选 A. 3.答案：D 解析：当0a 时，抛物线的标准方程为21xya，则12pa，12pa，因此，焦点10,4Fa，准线1:4l ya . 依题意得，1364a ，解得112a . 当0a 时，抛物线方程为21xya，则12pa ，12pa ，因此焦点10,4Fa，准线1:4l ya ，依题意得，1364a，解得136a （112a 舍去）. 因此，抛物线方程为2112yx或2136yx ，故选 D. 4.答案：B 解析：依题意得30,32,20,1.322kkkkkk 故选 B. 5.答案：D 解析：设双曲线的左、右焦点分别为1F，2F.由题意得

8、，1( 5,0)F ，2(5,0)F，则由双曲线的定义知，|12| 28PFPFa，而215PF ，所以17PF 或123PF .故选 D. 6.答案：B 解析：由题意得圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不奻设为 M，如图， 由于3C MC N，|6MN ，C MC N， 4C MN，4NOF， 点 N 的坐标为( 3, 3)，代入拋物线方程得2( 3)23p，解得32p ，3,04F，1133|32248MNFNSMFy.故选 B. 7.答案：A 解析：如图所示，设直线 AB 的倾斜角为，过 A，B分别作准线的垂线，垂足为1A，1B， 则1|AFAA，1|BFBB，过点 F 向1A

9、A引垂线 FG，得|cos|AGAFpAFAF， 则|1cospAF，同理，|1cospBF， 则22| |sinpABAFBF，即24|si|nAB， 因为1l与2l垂直，所以直线 DE 的倾斜角为2或2， 则24|cosDE，则2244|sincosABDE22224416sincossin 21sin22， 则易知|ABDE的最小值为 16. 故选 A. 8.答案：D 解析：当直线的斜率不存在时，其方程为4x ， 由24,4 ,xyx得14y ，24y ， 所以221232yy. 当直线的斜率存在时，设其方程为(4)(0)yk xk， 由24 ,(4)yxyk x得24160kyyk，

10、所以124yyk，1216y y ， 所以22212121221623232yyyyy yk， 综上，221232yy. 所以2212yy的最小值为 32.故选 D. 9.答案：ABD 解析：依题意得，122PFPFa，又知122PFPF，14PFa，22PFa. 又122FFc，且ac， 在12PFF中，2PF是最小的边， 1230PFF， 222344162242acaca， 整理得222 330caca，即2(3 )0ca，3ca ， 1222 3FFca，222bcaa. 双曲线的离心率33caeaa，A正确. 双曲线的渐近线方程为22bayxxxaa ，B正确. 根据前面的分析可知，

11、12PFF为直角三角形，且2190PF F， 若245PAF，则22PFAF. 又知22PFa，223(13)AFacaaaPF， 245PAF，C 不正确. 直线220 xy，即112yx ，其斜率为12，12, 22 ， 直线220 xy与双曲线有两个公共点，D正确.故选 ABD. 10.答案：AC 解析：由24yx，得24p ，即2p ， 焦点(1,0)F，准线:1l x . 设直线 AB的方程为1xmy，11,A x y，22,B x y. 由24 ,1yxxmy得2440ymy， 124yym，124yy ， 从而21242xxm，121xx. 又| 3|AFBF，12322ppxx

12、，即1232xx. 因此22xm，且2222132103xxx 或21x （舍去）. 213m，33m ，即直线 AB的斜率为3，C正确； 选项 A中，11,Cy，21,Dy， 124440FC FDy y，从而90CFD，A正确； 选项 B中，221,2Mmm， 222421212164142449CM DMmmm yyy ymm，结合图形知CMD不 是直角三角形，B错误； 选项 D中，212114 3|1616223AOBSOFyym，D错误.故选 AC. 11.答案：1 解析：本题考查双曲线的几何性质.双曲线22212xymm的焦点在 x 轴上，20,20,mm即02m.双曲线的两条渐近

13、线互相垂直，22221mmmm ，即(1)(2)0mm，解得1m （负值舍去）. 12.答案：220 xy 解析：由题意知(1,0)F.设直线 l的方程为1xmy，11,A x y，22,B x y，,ppP xy. 点 P 在第一象限，0m. 由21,4 ,xmyyx得2440ymy. 124yym，124yy ， 212121142xxmymym ， 从而得221,2Mmm. 易得2pym，2pxm， 3|12pPFx ，12px，即212m ，又0m ，22m， 因此直线 l的方程为212xy， 即220 xy. 13.答案：24yx 解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上

14、一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，| 6ABFB，562p ，2p，抛物线的标准方程为24yx. 14.答案：（1）22194xy （2）2213xy 解析：（1）由题意得5c ， 53cea，3a， 222bac ， 椭圆 C的标准方程为22194xy. （2）当过点 P 的两条切线的斜率均存在时，不妨分别设为1k，2k， 则过点 P 的切线方程可设为00yyk xx，即00ykxykx， 由0022,1,94ykxykxxy消去 y， 得22200004918940kxk ykxxykx， 令2220000184 49940k ykxkykx ， 整理得22200009240 xkx y ky， 2012020439yk kxx ， 由已知得121k k ，2020419yx ， 22000133xyx ，即此时点 P 的轨迹方程为2213(3)xyx. 当两条切线中有一条垂直于 x轴时，两条切线方程应分别为3x ，2y 或3x ，2y 或3x ，2y 或3x ，2y ，则 P点坐标为(3,2)或( 3,2)或(3, 2)或( 3, 2) ，均满足方程2213xy. 综上所述，点 P的轨迹方程为2213xy.