2023年高考数学一轮复习专题12：导数与函数的单调性（含答案解析）

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1、专题12 导数与函数的单调性真题试练1（2022全国甲卷）已知 ，则（） ABCD2（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（） ABCD18，27基础梳理1函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0，试讨论函数yf(x)的单调性4已知函数f(x)xa(2ln x)，a0.讨论f(x)的单调性考点三函数单调性的应用5已知函数f(x)xsin x，xR

2、，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)6已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_一、单选题1（2022湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（）ABCD2（2022赤峰模拟）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）ABCD3（2022眉山模拟）函数的单调递减区间为（）ABCD4（2021高三上河北月考）函数 的导函数在 上是减函数，则 的取值范围是（） ABCD5（2022河南模拟）已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）ABCD6（2022昆明模拟）已知函数，若方程有两个不相

3、等的实数根，则实数的取值范围为（）ABCD7（2022安徽模拟）已知函数，若存在零点，且满足，则()ABCD8（2022安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD19（2022昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：是增函数是奇函数有且仅有一个极值点的最小值为若其中恰有两个论断正确，则（）A-1B1CD10（2022长春模拟）已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题11（2022保定模拟）已知，则的取值范围为 .12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 13（2022柯桥模拟）已知函数当时， ，若函数有3个不同

4、的零点，则的取值范围是 14（2022惠州模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 15（2022成都模拟）记定义在上的可导函数的导函数为，且，则不等式的解集为 三、解答题16（2021高三上临沂月考）设函数f（x）=lnx-x2+x.（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间 ，e上的最大值.17（2021榆林模拟）已知函数 的图象经过点 （1）设 ，讨论 在 上的单调性； （2）若 在 上的最大值为 ，求 的取值范围 18（2021铁岭模拟）已知函数 ， 为自然对数的底数 （1）讨论 的单调性； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 19（2022西安模拟）已知函

5、数（，且）（1）求函数的单调区间；（2）若对、，使恒成立，求的取值范围.20（2022河南模拟）已知函数（1）讨论f(x)的单调性（2）若a0，证明：对任意的x1，都有专题12 导数与函数的单调性真题试练1（2022全国甲卷）已知 ，则（） ABCD【答案】A【解析】解：因为，因为当，sinxxb ；设，f(x)=-sinx+x0 ，所以f(x)在（0，+）单调递增，则， 所以 ，所以ba， 所以cba ，故选：A2（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（） ABCD18，27【答案】C【解析】解：记正四棱锥

6、高与侧棱夹角为，高为h，底面中心到各顶点的距离为m， 则， 则l=6cos，m=lsin=6sincos， 则正四棱锥的体积， 令y=sincos2=sin(1-sin2)=x(1-x2)=-x3+x，x=sin， 则y=-3x2+1，故当，y0， 则， 故该正四棱锥体积的取值范围是 . 故选：C基础梳理1函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0)，令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增2若函数f(x

7、)，则函数f(x)的单调递减区间为_【答案】(1，)【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，当x(1，)时，(x)0，试讨论函数yf(x)的单调性【答案】函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).令f(x)0，得x或x1.当0a1，x(0,1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减4已知函数f(x)xa(2ln x)，a0.讨论f(x)的单调性【答案】由题知，f(x)的定义域是(0，)，f(x)1，设g(x)x

8、2ax2，g(x)0的判别式a28.当0，即0a2时，对一切x0都有f(x)0.此时f(x)在(0，)上单调递增当0，即a2时，仅对x，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)在(0，)上单调递增当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根，x1，x2，0x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增考点三函数单调性的应用5已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1

9、)ffCff(1)fDfff(1)【答案】A【解析】因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上单调递增，所以ff(1)f(1)f.6已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a，即a.一、单选题1（2022湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为

10、.故答案为：B.2（2022赤峰模拟）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】，当时，为单调递增函数，最多只有一个零点，不合题意，舍去；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当趋近负无穷时，也趋近于负无穷，当趋近正无穷时，趋近于负无穷，因为函数有两个零点，所以，得.故答案为：B3（2022眉山模拟）函数的单调递减区间为（）ABCD【答案】A【解析】由题可知，由，解得.所以单调递减区间为.故答案为：A.4（2021高三上河北月考）函数 的导函数在 上是减函数，则 的取值范围是（） ABCD【答案】C【解析】 ，令 （ ）， ， ， ， ，所以

11、， .故答案为：C5（2022河南模拟）已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】因为函数与函数的图象恰有3个交点，所以有3个根.经验证：x=1为其中一个根.当时，可化为，及i.或时，方程有且仅有一个根x=-1；ii.且时，方程有两个根，或x=-1.当时，可化为.令，（x0）.则.当时，有，所以在上单减.因为，所以有且只有1个根x=1.所以需要有两个根或x=-1，才有3个根，此时且.当时，有且仅有一个根x=-1，所以只需在有2个根.此时.在上，单减；在上，单增.且当时，；当时，；所以只需，即，亦即.记.则，所以当时，所以在上单调递减，所以当时，在上单调

12、递增.所以，即（当且仅当x=1时取等号）.所以要使成立，只需，解得：.所以且.综上所述：实数k的取值范围是.故答案为：B6（2022昆明模拟）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】设当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减时，取得极大值当趋向于，趋向于当时，单调递增依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点如图所示，的取值范围为故答案为：B7（2022安徽模拟）已知函数，若存在零点，且满足，则()ABCD【答案】A【解析】若，则， 则不成立，故故，若，则有且仅有满足，不合题意；若，则，不合题意；若，则，不合题意；故，B不符合题意；的解为，即，若，则

13、在上，f(x)单调递减，则，故，与矛盾；若，则在上，f(x)单调递增，在，上，f(x)单调递减，零点，即，C不符合题意；由单调性可知，即，D不符合题意；又且，A符合题意故答案为：A8（2022安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD1【答案】C【解析】解：由题意得： 不等式对恒成立等价于不等式对恒成立设，则当时，则在上单调递减与题意矛盾令，则在上单调递增，当，即时，则在上单调递增，符合题意；当，即时，由，得存在，使，当时，即，则在上单调递减，则，不符合题意，因此实数a的最小值为故答案为：C9（2022昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：是增函数是奇函数有且仅有一个极值点的最

14、小值为若其中恰有两个论断正确，则（）A-1B1CD【答案】C【解析】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，一定错误 对函数进行求导，当时，恒大于零，原函数单调递增，故原函数没有极值点和最小值，B、D排除.当时，函数不是增函数，故只能有正确；当时，函数，导函数，令，在上单调递增，由于，故，使得，即，在单调递减，在单调递增故函数有且仅有一个极值点，的最小值为故只满足，排除A 当时，令，(x)=ex(x+1)，(x)0，在上单调递增， ，在单调递减，在单调递增故的最小值为故满足故答案为：C.10（2022长春模拟）已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）ABC

15、D【答案】A【解析】依题意，当时，所以，在区间递减；在区间递增.所以，当时，；当时，；.当时，所以在区间递增；在区间递减，所以，.由此画出的大致图象如下图所示，由图可知，若直线与的图象有个交点，则.由于函数与的图象恰有6个不同的公共点，即，有6个不同的根，由于，所以，解得.故答案为：A二、填空题11（2022保定模拟）已知，则的取值范围为 .【答案】【解析】解：因为，所以，即.设函数，则，因为，所以，所以为增函数.又，所以，所以，故.故答案为：12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 【答案】2【解析】根据题意有，令，则，令，则，所以函数在R上单调递减，又因为，所以，所以

16、，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。故答案为：2。13（2022柯桥模拟）已知函数当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是 【答案】；（e，+）【解析】当时， 当时，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，且，此时函数不可能有3个不同的零点.当时，当时，；当时，当时，即函数在上单调递减，在，上单调递增，且，此时函数不可能有3个不同的零点.当时，当时，；当时，；当时，；当时，.即函数在，上单调递减，在，上单调递增.当时，则在只有一个零点，要使得函数有3个不同的零点，则，解得.故答案为：；（e，+）14（2022惠州模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为

17、，所以，又函数在上单调递增，所以在恒成立，分离参数可得在恒成立，令，所以在上单调递增，所以，所以，故答案为：.15（2022成都模拟）记定义在上的可导函数的导函数为，且，则不等式的解集为 【答案】（1，+）【解析】设，所以函数单调递增， 且，不等式，所以.故答案为：（1，+）.三、解答题16（2021高三上临沂月考）设函数f（x）=lnx-x2+x.（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间 ，e上的最大值.【答案】解：（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x0 所以f （x）= -2x+1=- 所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）. （II）由（I）f（x）在 ，

18、1单调递增，在1，e上单调递减，f（x）max=f（1）=0.【解析】（I） 根据题意对函数求导，由导函数的几何性质即可求出函数的单调性，由此即可得出函数的单调区间。（II） 由（I）的结论由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出答案。17（2021榆林模拟）已知函数 的图象经过点 （1）设 ，讨论 在 上的单调性； （2）若 在 上的最大值为 ，求 的取值范围 【答案】（1）解：因为 ， 所以 ， ， ，当 或 时， ，当 时， ，所以：当 时， 在 和 上递增，在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增；当 时， 在 上递增（2）解：因为 在 上的最大值为 ， 所以由（1）可得：

19、，解得： ，故 的取值范围为 【解析】（1）根据已知条件f（2）=2，代入数值得到关于a的方程求出a的值由此得到函数的解析式，再对函数求导求出函数的导数，解关于导函数的不等式得出导函数的正负情况，由此得出函数的单调性以及单调区间；（2）根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可18（2021铁岭模拟）已知函数 ， 为自然对数的底数 （1）讨论 的单调性； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】（1）解： ， 当 时， ， ， ， 单调递减， ， ， 单调递增当 时， ， ， ， ， 单调递增， ， ， ， 单调递减， ， ， ， 单调递增，当 时， ， ， 单调递增当

20、时， ， ， ， ， 单调递增， ， ， ， 单调递减， ， ， ， 单调递增（2）解：当 时， ， ， ，令 ， ，令 ， ， 是单调增函数， ， 在 是单调增函数， ，当 ，即 时， ， 在 是单调增函数，此时 符合题意当 ，即 时 ， 时 ， 使得 ， ， ， 单调递减， 与恒成立不符，综上所述， 【解析】（1）根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为ex+ax+ln（x+1）-10，令g（x）=ex+ax+ln（x+1）-1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可19（2022西安模拟）已知函数（，且）（1）求函数的单调区间；（2）若

21、对、，使恒成立，求的取值范围.【答案】（1）解：的定义域为，（，且）显见，.当时，.若，则，得.于是，.若，则，得，于是，当时， 即在上单调递增当时，若，则，得.于是，若，则，得，于是，当时，.即在上单调递减综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）解：对、，使恒成立，即对，成立.由（1）知在上单调递减，在上单调递增，得为和中的较大者.，设，(a)=1+1a2-2a=(1-1a)20（仅当时取等号）.在上单调递增，在上也单调递增.注意到当时，；当时，当时，即，得当时，即（*）设，在上单调递增.当时，.不等式（*）无解综上所述，对、，使恒成立时，的取值范围为【解析】（1）求出的导函数并变形为

22、，然后分，分别对和分别讨论分析可得出其单调区间.（2）由题意可得对 ，恒成立. ，由（1）得出的单调区间，得，比较得出中的较大者，从而可得出答案.20（2022河南模拟）已知函数（1）讨论f(x)的单调性（2）若a0，证明：对任意的x1，都有【答案】（1）解：由题意可得当时，恒成立，则在上单调递增；当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，等价于，即.设，则由，得；由，得则在上单调递增，在上单调递减，故，即，即，当且仅当时，等号成立设，则由，得；由，得则在上单调递减，在上单调递增因为，所以有解，则，当且仅当时，等号成立即，即【解析】 (1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f (x)的正负即可得到f (x)的单调性；(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.学科网（北京）股份有限公司