2023年高考数学一轮复习专题11：导数的概念及其意义和导数的运算（含答案解析）

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1、专题11 导数的概念及其意义和导数的运算真题试练1（2022全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（） ABCD2（2022全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （） A-1BCD1基础梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数记作f(x0)或.f(x0).(2)函数yf(x)的导函数f(x).2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)si

2、n xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；cf(x)cf(x)5复合函数的定义及其导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【常用结论】1区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是

3、切点，切线有且仅有一条(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条2.(f(x)0)6函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解7函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点

4、的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)f(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)【思维升华】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题考点七利用导数求函数的极值问题7. (2022广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f

5、(x)，且函数y(x1)f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A函数f(x)有极大值f(3)和f(3)B函数f(x)有极小值f(3)和f(3)C函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)D函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)【思维升华】根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性考点八利用导数求函数最值8.（2022四川模拟）对任意，存在，使得，则的最小值为（）ABC1De【思维升华】(1)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(

6、a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值(2)若所给的闭区间a，b含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值一、单选题1.（2022湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（）ABCD2（2022长安模拟）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A2B3C4D53（2022成都模拟）若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（）A4B3C4D34（2022贵州模拟）曲线在点处的切线方程为（）ABCD5（2022安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD16（2022雅安模拟）定义

7、在R上的偶函数的导函数为，且当时，则（）ABCD7（2022广州模拟）对于任意都有，则的取值范围为（）ABCD8（2022新昌模拟）已知，则的最大值是（）ABC4D69（2022新疆三模）若函数在处有极值10，则（）A6B-15C-6或15D6或-1510（2022昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：是增函数是奇函数有且仅有一个极值点的最小值为若其中恰有两个论断正确，则（）A-1B1CD二、填空题11（2022新高考卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 13（2022全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的

8、极小值点和极大值点若 ，则a的取值范围是 14（2022浙江模拟）已知1是函数的一个极值点，其中，则其导函数有 个零点；函数的另外一个极值点的取值范围为 .三、解答题15已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围16.已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值专题11 导数的概念及其意义和导数的运算真题试练1（2022全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（） ABCD【

9、答案】D【解析】 ， 由于 在区间 和 上 ，即 单调递增；在区间 上 ，即 单调递减，又 ， ， ，所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .故选：D2（2022全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （） A-1BCD1【答案】B【解析】因为函数f(x)定义域为（0，+），所以依题可知，f(1)=-2 ，f(1)=0，又 ，则，解得 ，所以，由f(x)0，得0x1，由f(x)1，因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则当x=1时取最大值，满足题意，即有故选：B.基础梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数记作f(x0)或.f(x0).(2)函数yf(x)的导

10、函数f(x).2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)

11、g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；cf(x)cf(x)5复合函数的定义及其导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【常用结论】1区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条2.(f(x)0)6函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解

12、7函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)f(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(

13、x)在上单调递增，所以ff(1)f(1)f.【思维升华】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题考点七利用导数求函数的极值问题7. (2022广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(x1)f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A函数f

14、(x)有极大值f(3)和f(3)B函数f(x)有极小值f(3)和f(3)C函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)D函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)答案D解析由题图知，当x(，3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递减；当x(3,1)时，y0，x10，f(x)单调递增；当x(1,3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递增；当x(3，)时，y0f(x)0，在上单调递增， ，在单调递减，在单调递增故的最小值为故满足故答案为：C.二、填空题11（2022新高考卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】a0或a-4【解析】解：易得曲线不过原点，设切点

15、为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 ()，又切线有两条， 即方程有两不等实根，由判别式=a2+4a0，得a0.故答案为：a0.12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 【答案】2【解析】根据题意有，令，则，令，则，所以函数在R上单调递减，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。故答案为：2。13（2022全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极

16、大值点若 ，则a的取值范围是 【答案】【解析】解： ， 因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，所以函数 在 和 上递减，在 上递增，所以当 时， ，当 时， ，若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，故 不符合题意，若 时，则方程 的两个根为 ，即方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，令 ，则 ，设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，综上所述， 的范围为 .14（2022浙江模拟）已知1是函数的一个极值点，其中，则其导函数

17、有 个零点；函数的另外一个极值点的取值范围为 .【答案】2；【解析】，则，因为，可知：因为，所以由两个不相等的实数根，故有两个零点，由两根之积可得：另一个零点为，也是的另外一个极值点则，即，由.故答案为：2，三、解答题15已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3(x0)当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a0时，令f(x)0，则xln a，所以f(x)在(ln a，)上单调递增，令f(x)0，则x0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，但是无极大值学科网（北京）股份有限公司