2023年高考数学一轮复习专题13:导数与函数的极值、最值(含答案解析)
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1、专题13 导数与函数的极值、最值真题试练1(2021新高考)函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为 2(2022浙江真题)设函数 ()求 的单调区间;()已知 ,曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 证明:()若 ,则 ;()若 ,则 (注: 是自然对数的底数)基础梳理1函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点xa附近的左侧f(x)0,则a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0
2、;而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)1时,f(x)0,当时,f(x)0,所以f(x)min=f(1)=1;当时,f(x)=1-2x-2lnx,则,此时函数f(x)=1-2x-2lnx在上为减函数,则f(x)min=,综上,f(x)min=1故答案为:12(2022浙江真题)设函数 ()求 的单调区间;()已知 ,曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 证明:()若 ,则 ;()若 ,则 (注: 是自然对数的底数)【答案】解:() 故 的减区间为 ,增区间为 . ()()因为过 有三条不同的切线,设切点为 ,故 ,故方程 有3个不同的根,该方程可整理为 ,设 ,则 ,当 或 时, ;当
3、 时, ,故 在 上为减函数,在 上为增函数,因为 有3个不同的零点,故 且 ,故 且 ,整理得到: 且 ,此时 ,设 ,则 ,故 为 上的减函数,故 ,故 .()当 时,同()中讨论可得:故 在 上为减函数,在 上为增函数,不妨设 ,则 ,因为 有3个不同的零点,故 且 ,故 且 ,整理得到: ,因为 ,故 ,又 ,设 , ,则方程 即为: 即为 ,记 则 为 有三个不同的根,设 , ,要证: ,即证 ,即证: ,即证: ,即证: ,而 且 ,故 ,故 ,故即证: ,即证: 即证: ,记 ,则 ,设 ,则 即 ,故 在 上为增函数,故 ,所以 ,记 ,则 ,所以 在 为增函数,故 ,故 即
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