第7讲二次函数与一元二次方程 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 7 讲二次函数与一元二次方程讲二次函数与一元二次方程 知识导航知识导航 1利用二次函数 yax2bxc 的图象，观察一元次方程 ax2bxc0 的根的情况 2直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系 3二次函数与根与系数的关系 【板块一】二次函数与一元二次方程的关系【板块一】二次函数与一元二次方程的关系 方法技巧方法技巧 (1)二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与 x 轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况 题型一：二次函数的图象与题型一：二次函数的图象与 a，b，c 之间的联系之间的联系 例例 1：如图是 yax2bxc(a0)的部

2、分图象，其顶点坐标为(1，n)，则下列结论： abc0；3ab0；b24a(cn)；一元次方程 ax2bxcn1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 题型二：方程的解与交点横坐标的对应题型二：方程的解与交点横坐标的对应 【例 2】如图，抛物线 yax2bxc 与直线 ykxm 交于 A，B 两点 (1)方程 ax2bxckxm 的解为 ； (2)不等式 ax2bxckxm 的解集为 题型三题型三：二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正( (或负或负) )的条件的条件 【例 3】无论 x 为何值，二次三项式 a22(a1)xa21的値恒为负数，则 a 的取

3、值范固是( ) A320a B032a C 32 a D32a 针对练习针对练习 1 1二次函数 ya22(a1)xa21(a0)的图象如图所示，下列结论：abc0；bac；4a2bc0；b24ac0其中正确结论有( B ） A B C D yx-12BAO 第 1 题图 第 2 题图 2抛物线 yax2bxc 与直线 ymxn 的图象如图所示： (1)方程 ax2bxcmxn 的解为： (2)不等式 ax2(bm)xcn0 的解集为： 3二次函数 y(m1)x22mx1 的图象都在 x 轴的下方，求 m 的取值范围 4无论 x 为何值，二次根式3212mmxxm恒有意义，求 m 的取值范围

4、板块二板块二：函数图象的交点与解方程函数图象的交点与解方程 方法技巧方法技巧 联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关 少题型一二次函数的图象与 x 轴的交点 【例 1】已知函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( ) yx2Oyx-21OAk4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 题型二题型二：二二次次函数的图象与直线函数的图象与直线 yk( (k0) )的交点的交点 例 2： 已知一元二次方程 1(x3)(x2)0 有两个实数根 x1， x2， (x1x2)， 则下列判断正确的是( ) A2x1x23 Dx123x2 C2

5、x13x2 Dx12x23 题型三题型三：二次函数的图象与直线二次函数的图象与直线 ykxb( (k0) )的交点的交点 【例 3】 直线 AB:yx4 与抛物线 yx22mxm2m4 交于 A， B 两点， 试判断 AB 的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围 题型四题型四：分段函数与交点分段函数与交点 【例 4】若函数 yb 的图象与函数 yx231x4x3 的图象恰有三个交点，则 b 的值是 6 或425 【解析】当 x1 时，yx27x，当 x1 时，yx2x6，结合图象知 b一 6 或425 题型五题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点抛物线与直线在定区间有唯一

6、公共点 【例 5】 已知抛物线 yx2mx3 与直线 y2x3m 在一 2x2 之间有且只有一个公共点， 则 m 的取值范围是 针对练习针对练习 2 1已知抛物线 y(m1)x22mxm1(m1) (1)求抛物线与 x 轴的交点坐标； (2)若一次函数 ykxk 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式 2将二次函邮 y2x24x6 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y21xb 与此图象有两个公共点时，求 b 的取值范围 3若直线 y2x5m 与抛物线 yx2mx3 在 0 x4 之间有且只有一个公共点，求 m 的取值范围 4

7、已知关于 x 的二次函数22(1)yaxaxa的图象与 x 轴的一个交点坐标为（m，0） ，若 2m3，则a 的取值范围是_ _ 【板块三】二次函数与根与系数的关系板块三】二次函数与根与系数的关系 方法技巧 （1）若二次函数 yax2bxc 交 x 轴于（x1，0） ， （x2，0） ，则1212,bcxxx xaa （2）12|xxa 题型一题型一 抛物线截水平线段的长抛物线截水平线段的长 【例 1】 若点 P （1x， c） ， 点 Q （2x， c） 在函数243yxx的图象上， 且 x1x2， PQ2a， 则21261xaxa的值为（ ） A2 B3 C5 D6 【例 2】抛物线112

8、1()()4yxxxx交 x 轴于两点 A（1x，0）B（2x，0）两点（x1x2） ，直线22yxt经过点 A，若函数 yy1y2的图象与 x 轴有且只有一个公共点，则线段 AB 的长为（ ） A4 B8 C12 D16 题型二题型二 抛物线斜线段抛物线斜线段 【例【例 3】抛物线21344yxx与 x 轴交于 A，B 两点，直线34ykxk与抛物线交于 C，D 两点，求BCD 面积的最小值 题型三题型三 动抛物线与动线段动抛物线与动线段 【例 4】如图，抛物线22yax交 x 轴于 A，B 两点，点 P 为第二象限抛物线上的一个动点，直线 P A，PB 分别交 y 轴于 M，N 两点，求

9、OMON 的值 针对练习针对练习 3 1直线ykxb与抛物线223yxx交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 M，若 MAMB，求 k，b 的值或范围 2如图，已知直线ykxb与抛物线2yax交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D，延长 AD，BO 相交于点 E，求证：DECO yxMNPABOyxEABCDO第第 7 7 讲二次函数与一元二次方程讲二次函数与一元二次方程 知识导航知识导航 1利用二次函数 yax2bxc 的图象，观察一元次方程 ax2bxc0 的根的情况 2直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系

10、 3二次函数与根与系数的关系 【板块一】二次函数与一元二次方程的关系【板块一】二次函数与一元二次方程的关系 方法技巧方法技巧 (1)二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与 x 轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况 题型一：二次函数的图象与题型一：二次函数的图象与 a，b，c 之间的联系之间的联系 例例 1：如图是 yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，则下列结论： abc0；3ab0；b24a(cn)；一元次方程 ax2bxcn1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解析】抛物线与 x

11、轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(2，0)和(1，0)之间，当 x1 时，y0，abc0，故正确；由对称轴12ab，b2a，3ab3a2aa0故不正确：顶点(1，n)，nabac442，b24ac4an4a(m)故正确；抛物线与直线 yn只有一个公共点，抛物线与直线 yn1 有两个交点，一元二次方程 a2bxcn1 有两个不相等的实数根，故正确，选 C 题型二：方程的解与交点横坐标的对应题型二：方程的解与交点横坐标的对应 【例 2】如图，抛物线 yax2bxc 与直线 ykxm 交于 A，B 两点 (1)方程 ax2bxckxm 的解为 ； (2)不等式 ax2b

12、xckxm 的解集为 【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即 x11，x22； 结合图象，根据增减性可知，解集为1 或 x2 题型三题型三：二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正( (或负或负) )的条件的条件 【例 3】无论 x 为何值，二次三项式 a22(a1)xa21的値恒为负数，则 a 的取值范固是( ) A320a B032a C 32 a D32a 【解析】设 ya22(a1)xa21，值恒为负，则00a，即02141402aaaa，解得32 a，选 C 针对练习针对练习 1 1二次函数 ya22(a1)xa21(a0)的图象如图所示，下列结论：abc0；bac；4a2

13、bc0；b24ac0其中正确结论有( B ） A B C D yx-12BAO答案：B 第 1 题图 第 2 题图 2抛物线 yax2bxc 与直线 ymxn 的图象如图所示： (1)方程 ax2bxcmxn 的解为： (2)不等式 ax2(bm)xcn0 的解集为： 答案： （1）x12，x21 （2） 2x1 3二次函数 y(m1)x22mx1 的图象都在 x 轴的下方，求 m 的取值范围 答案： 解：001-m，014401-2mmm解得2511m， 即0314212mmmm解得 m43 板块二板块二：函数图象的交点与解方程函数图象的交点与解方程 方法技巧方法技巧 yx2Oyx-21O联

14、立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关 少题型一二次函数的图象与 x 轴的交点 【例 1】已知函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( ) Ak4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 【解析】当 k30 时，该函数为一次函数 y2x1，其图象与 x 轴有交点，当 k30 时，该函数为二次函数，0224(k3)0，即 k4 且 k3，综上，当 k4 时，函数图象与 x 轴有交点，故选 B 题型二题型二：二二次次函数的图象与直线函数的图象与直线 yk( (k0) )的交点的交点 例 2： 已知一元二次方程 1(x3)(x2)0 有

15、两个实数根 x1， x2， (x1x2)， 则下列判断正确的是( ) A2x1x23 Dx123x2 C2x13x2 Dx12x23 【解析】画出直线 y1 与次函教 y(x3)(x2)的图象，由图象可知：x123x2，故选 B 【注】方程 ax2bxck0 的解，即函数 yax2bxc 的图象与函数 yk 的图象的交点的横坐标 题型三题型三：二次函数的图象与直线二次函数的图象与直线 ykxb( (k0) )的交点的交点 【例 3】 直线 AB:yx4 与抛物线 yx22mxm2m4 交于 A， B 两点， 试判断 AB 的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围 【解析】联立

16、42422mmmxxyxy，x2(2m1)xm2m0 (xm)(xm1)0，xAm，xBm1 BHxAxB1，AHyB yA(xB4)(xA4)1 在 RAHB 中，AB22BHAH2，即 AB 的长不发生支化，其长为2 yxx2x1O 题型四题型四：分段函数与交点分段函数与交点 【例 4】若函数 yb 的图象与函数 yx231x4x3 的图象恰有三个交点，则 b 的值是 6 或425 【解析】当 x1 时，yx27x，当 x1 时，yx2x6，结合图象知 b一 6 或425 题型五题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点抛物线与直线在定区间有唯一公共点 【例 5】 已知抛物线 yx2mx3

17、与直线 y2x3m 在一 2x2 之间有且只有一个公共点， 则 m 的取值范围是 【解析】x2mx32x3m， ，x22x3m(x3)，即直线 ym(x3)与抛物线 yx22x3，在一2x2 有唯一公共点， 把(一 2， 5)代入 ym(x3)， 得 m5， 把(2， 3)代入 ym(x3)， 得 m53，53m5，x2(m2)x33m0，(m2)21212m0，解得 m834(舍去)，m834，综上，53m5 或 m834 【注】 “动抛物线动直线定区间”类问题的处理策略是特化为“定地物线动直线定区间”类问题解决，其中动直往经过定点 针对练习针对练习 2 1已知抛物线 y(m1)x22mxm

18、1(m1) (1)求抛物线与 x 轴的交点坐标； (2)若一次函数 ykxk 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式 答案： (1)y0 时，(m1)x22mxm10，(x1)(m1)x(m1)0，x11，x211mm，抛物线与 x 轴的交点空为(1，0)，(11mm，0) (2) 联立1212mmxxmykkxy，(m1)x2(2mk)xm1k0， (2mk)24(m1)(m1k)k24k4(k2)20， k2， 一次函数的解析式为 y2x2 2将二次函邮 y2x24x6 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y21xb 与此

19、图象有两个公共点时，求 b 的取值范围 答案： yxP132O解:A(3，0)，B(1，0)，当直线过 A 点时，b23，1322b当直线经过 B 点时，b21 1322b，联立224612yxxyxb 得292602xxb 29=()8(3)02b，273=32b，综上，1322b或27332b ，有两个公共点 3若直线 y2x5m 与抛物线 yx2mx3 在 0 x4 之间有且只有一个公共点，求 m 的取值范围 答案： 联立2253yxmyxmx得2235xxmxm，即223yxx与直线(5)ym x在 0 x4 有唯一公共点 把（0，3）代入(5)ym x得35m ，把（4，5）代入(5

20、)ym x得 m5， 5m35 当直线与抛物线“相切”时，2(2)530 xmxm ，0 ，2(2)4(53)0mm， 得84 3m ，84 3m （舍） ，综上，5m35或84 3m yxO 4已知关于 x 的二次函数22(1)yaxaxa的图象与 x 轴的一个交点坐标为（m，0） ，若 2m3，则a 的取值范围是_ _ 答案： 当 y0 时，22(1)=0axaxa，（ax1） （xa）0，11xa，2xa ，当123a时，1132a，当 2a3 时，3a2，即1132a或3a2 【板块三】二次函数与根与系数的关系板块三】二次函数与根与系数的关系 方法技巧 （1）若二次函数 yax2bxc

21、 交 x 轴于（x1，0） ， （x2，0） ，则1212,bcxxx xaa （2）12|xxa 题型一题型一 抛物线截水平线段的长抛物线截水平线段的长 【例 1】 若点 P （1x， c） ， 点 Q （2x， c） 在函数243yxx的图象上， 且 x1x2， PQ2a， 则21261xaxa的值为（ C ） A2 B3 C5 D6 【解析】对称轴为 x2，P（1x，c） ，Q（2x，c）关于直线 x2 对称，PQ2a，12xa，22xa，221261(2)(2)615xaxaaaaa ，故选 C yx33(5,0)(4,5)O【例 2】抛物线1121()()4yxxxx交 x 轴于两点

22、 A（1x，0）B（2x，0）两点（x1x2） ，直线22yxt经过点 A，若函数 yy1y2的图象与 x 轴有且只有一个公共点，则线段 AB 的长为（ B ） A4 B8 C12 D16 【解析】22yxt经过点 A（1x，0） ，012xt，12tx ， 121211211()()22()(8)44yyyxxxxxxxxxx与 x 轴有且只有一个公共点，有等根，128xx，218xx，AB8，选 B 题型二题型二 抛物线斜线段抛物线斜线段 【例【例 3】抛物线21344yxx与 x 轴交于 A，B 两点，直线34ykxk与抛物线交于 C，D 两点，求BCD 面积的最小值 【解析】直线34(

23、3)4ykxkk x，经过定点 E（3，4） ，又 B（3，0） ，EBxx，BEy 轴，1| 2|2BCDBCEBDEDCDCSSSBE xxxx，联立2341344ykxkyxx得2(44)12130 xkxk，44CDxxk，1213CDx xk，22221()()416166816()642DCDCCDxxxxx xkkk64，|DCxx的最小值为 8，BCDS的最小值为 16 题型三题型三 动抛物线与动线段动抛物线与动线段 【例 4】如图，抛物线22yax交 x 轴于 A，B 两点，点 P 为第二象限抛物线上的一个动点，直线 P yxCABEDOA，PB 分别交 y 轴于 M，N 两

24、点，求 OMON 的值 【解析】抛物线22yax的对称轴为 y 轴，OAOB，设 OAtOBA（t，0） ，B（t，0） ，设PA：()ym xt，PB：()yn xt联立2()2ym xtyax得220axmxmt，2()Pmtxta 2Pmtxat，同理，2Pntxat，4ntmtM（0，mt） ，N（0，nt） ，OMmt，ONnt， OMONmt（nt）ntmt4，即 OMON 的值为 4 针对练习针对练习 3 1直线ykxb与抛物线223yxx交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 M，若 MAMB，求 k，b 的值或范围 答案： 过点 A，B 作 ACy 轴于点 C，BDy 轴于点

25、D，MAMB，ACMBDM， ACBD，0ABxx，联立223ykxbyxx得2(2)30 xkxb ，k20，k2， 230 xb，b 3 yxMNPABO 2如图，已知直线ykxb与抛物线2yax交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D，延长 AD，BO 相交于点 E，求证：DECO 答案： 设 A（m，2am） ，B（n，2an） ，联立2ykxbyax，20axkx b ，bmna ，设 OB 的解析式ytx， 2antn，tan，直线 OB 的解析式为 yanx，当Exm时，Eyamnb ，DEb，OCb，DECO yxMABCDOyxEABCDO