第6讲二次函数yax2bxc的图像与性质 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 6 讲讲二次函数二次函数2yaxbxc的图像与性质的图像与性质 知识导航知识导航 1. 二次函数2yaxbxc的顶点为（2424bacbaa，） ，对称轴为直线 x2ba. 2.二次函数的增减性，最大值（或最小值）. 3.用配方法求顶点坐标. 4.用待定系数法求二次函数的解析式. 【板块一】化一般式为顶点式【板块一】化一般式为顶点式 方法技巧方法技巧 1.熟练掌握顶点坐标公式（2424bacbaa，） ， ，分清 a，b，c 的值（包括符号）. 2.掌握配方法的步骤，切记不要改变 a 的大小. 题型一题型一 用配方法化为顶点式用配方法化为顶点式 【例【例 1】已知二次函数2142yxx.

2、 （1）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线212yx？ （3）求出函数的最大值或最小值？ 题型二题型二 用公式法求顶点坐标用公式法求顶点坐标 【例【例 2】将二次函数2113322yxx 的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值. 针对练习针对练习 1 1.二次函数22+4yxx ； （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）该函数图像是将22yx 的图像经过怎样的平移得到的？ 2.已知二次函数21(

3、2)(8)1(00)2ymxnxmn，当122x时，y 随 x 的增大而减小，求mn 的最大值. 【板块二】二次函数的识图【板块二】二次函数的识图 方法技巧方法技巧 a 的符号与开口方向有关，b 的符号与对称轴有关（左同右异） ，c 的符号与 y 轴的交点有关. 题型一题型一 判断判断 a，b，c 的符号的符号 【例【例 1】二次函数2yaxbxc的图像如图所示，试判断 a,b,c,2ab,abc,abc 的符号. 题型二题型二 由特殊点判断相关代数式的值或符号由特殊点判断相关代数式的值或符号 【例【例 2】如图，抛物线2yaxbxc经过点（1,0） ，对称轴 l 如图所示，则下列结论：abc

4、0；abc0；2ac0；ab0，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 针对练习 2 1. 二次函数2yaxbxc的图像如图所示，给出以下结论：abc0；abc0；b2a0；abc0.其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数2yaxbxc的图像经过点（1,2） ，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中2x11,0 x21,下列结论： 4a2bc0； 2ab0； ac1； b28a4ac.其中正确的结论有 （ ）个 yxO21-1yxO-1-11 A.1 B.2 C.3 D.4 【板块三】用待定系数法求二次函数的解析式【板块三】用待定系数法求二次函数的解析式

5、 方法技巧方法技巧 根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组） ，解方程（组）求出待定系数的值. 题型一题型一 一般式一般式 【例【例 1】已知二次函数的图像经过点 A（1,2） ，B（0,1） ，C（2，7） ，求该二次函数的解析式. 题型二题型二 顶点式顶点式 【例【例 2】已知二次函数22yaxaxc的最大值为 1，其图像经过点（3，1） ，求二次函数的解析式. yx22-11OyxCBAO 题型三题型三 交点式交点式 【例【例 3】如图，抛物线经过 A、B、C 三点，点 A（1,0） ，点 B（3,0） ，且 3AB4OC，求抛物线的解析式. 题型四题型四 综合运用求解析

6、式综合运用求解析式 【例【例 4】已知二次函数22yxxc的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式. 【例【例 5】如图，直线 yx1 与抛物线24yaxaxb交 x 轴于点 A 和另一点 D，抛物线与 y 轴交于点 C，且 CDx 轴，求抛物线的解析式. yxOCBAyxDCBAO 针对练习针对练习 3 1.已知二次函数的图像与 x 轴交于 A（3,0） ，B（4,0）两点，且函数的最大值为 2，求二次函数的解析式. 2.已知抛物线22yaxaxc经过点 A（1,0）与 x 轴交于另一点 B，交 y 轴于点 C，且 SABC6，求抛物线的解析式. 【板块四】二次函数与最值【板块四】二

7、次函数与最值 方法技巧方法技巧 1.用顶点式、公式法求二次函数的最值. 2.利用函数图像的增减性求最值. 题型一题型一 对称轴为常数对称轴为常数 【例【例 1】二次函数22yxxc 在32x 的范围内有最小值5，则 c 的值是（ ） A. 6 B.2 C.2 D.3 题型二题型二 对称轴为未知数对称轴为未知数 【例【例 2】当21x 时，二次函数22()1yxmm 有最大值 4，则 m 的值为（ ） A. 74 B. 3或3 C.2 或3或74 D. 2 或3 题型三题型三 区间为未知量区间为未知量 【例【例 3】 关于 x 的二次函数22yxbxb在3bxb 范围内， 函数有最小值 21，

8、则 b 的值为 题型四题型四 在最值中探究最值在最值中探究最值 【例【例 4】二次函数22yxhxh在11x 范围内，函数有最小值 n，则 n 的最大值为 针对练习针对练习 4 1.已知二次函数223yxx在1mxm的范围内有最小值 5，则 m 的值是（ ） A. 3 或 4 B.5 或 2 C.4 或 3 D.2 或 5 2. 已知二次函数2()1yxh（h 为常数）在13x的范围内有最小值 5，则 h 的值是（ ） A. 3 或 5 B.1 或 1 C.1 或 5 D.1 或 3 3. 已知二次函数2(1)yxmxm （m 为常数）图像的顶点纵坐标为 n,当23m 时，n 的取值范围是 4

9、. 已知二次函数2(1)5yx ，当mxn且 mn0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 mn的值为 第第 6 讲讲 二次函数二次函数2yaxbxc的图像与性质的图像与性质 知识导航知识导航 1. 二次函数2yaxbxc的顶点为（2424bacbaa，） ，对称轴为直线 x2ba. 2.二次函数的增减性，最大值（或最小值）. 3.用配方法求顶点坐标. 4.用待定系数法求二次函数的解析式. 【板块一】化一般式为顶点式【板块一】化一般式为顶点式 方法技巧方法技巧 1.熟练掌握顶点坐标公式（2424bacbaa，） ， ，分清 a，b，c 的值（包括符号）. 2.掌握配方法的步骤，切记不要

10、改变 a 的大小. 题型一题型一 用配方法化为顶点式用配方法化为顶点式 【例【例 1】已知二次函数2142yxx. （1）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线212yx？ （3）求出函数的最大值或最小值？ 【解析】 （1）221194(1)222yxxx，对称轴为直线 x1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大;当 x1 时，y 随 x 的增大而减小. （2）该函数图像向左平移 1 个单位，向上平移92个单位得到抛物线212yx. （3）a0，函数有最小值92. 题型二题型二 用公式法求顶点坐标用公

11、式法求顶点坐标 【例【例 2】将二次函数2113322yxx 的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值. 【解析】利用顶点坐标公式可求顶点（3,11） 解析式为21(3)112yx ，其图像开口向下，对称轴为直线 x3,最大值为 11. 针对练习针对练习 1 1.二次函数22+4yxx ； （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）该函数图像是将22yx 的图像经过怎样的平移得到的？ 解（1）21312()48yx ,顶点坐标为（13148，） （2）当 x14时，y 随 x 的增大而减小;当

12、x1 时，y 随 x 的增大而增大. （3）将抛物线22yx 先向右平移14个单位长度，再向下平移318个单位长度得到22+4yxx 的图像. 2.已知二次函数21(2)(8)1(00)2ymxnxmn，当122x时，y 随 x 的增大而减小，求mn 的最大值. 解：21(2)(8)1(00)2ymxnxmn，是二次函数， m2，对称轴为82nm，当 m2 时，开口向上，822nm，即 2mn12，mnm(122m)2(m3)218,当 0m2 时，抛物线开口向下，8122nm，即 m2n18,n8, mnn(122n)2(n92)281218，综上所述，mn 的最大值为 18. 【板块二】二

13、次函数的识图【板块二】二次函数的识图 方法技巧方法技巧 a 的符号与开口方向有关，b 的符号与对称轴有关（左同右异） ，c 的符号与 y 轴的交点有关. 题型一题型一 判断判断 a，b，c 的符号的符号 【例【例 1】二次函数2yaxbxc的图像如图所示，试判断 a,b,c,2ab,abc,abc 的符号. 【解析】开口向上，a0；对称轴2ba0，b0；与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，c0;由图像知，2ba1，b2a，2ab0，当 x1 时，函数值 abc0；当 x1 时，函数值 abc0. 题型二题型二 由特殊点判断相关代数式的值或符号由特殊点判断相关代数式的值或符号 【例【例 2】如图

14、，抛物线2yaxbxc经过点（1,0） ，对称轴 l 如图所示，则下列结论：abc0；abc0；2ac0；ab0，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【解析】a0，b0，c0，abc0,不正确；当 x1 时，yabc0,正确；当 x2 时，4a2bc0,将 bac 代入，可得 2ac0，正确；同理正确。选 D. 【归纳】【归纳】消元时，常常需要利用特殊点找到一个等式，即等式与不等式的组合运用. 针对练习 2 1. 二次函数2yaxbxc的图像如图所示，给出以下结论：abc0；abc0；b2a0；abc0.其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 答案：C 2. 二次函数2yax

15、bxc的图像经过点（1,2） ，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中2x11,0 x21,下列结论： 4a2bc0； 2ab0； ac1； b28a4ac.其中正确的结论有 （ ）个 yxO21-1yxO-1-11 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 【板块三】用待定系数法求二次函数的解析式【板块三】用待定系数法求二次函数的解析式 方法技巧方法技巧 根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组） ，解方程（组）求出待定系数的值. 题型一题型一 一般式一般式 【例【例 1】已知二次函数的图像经过点 A（1,2） ，B（0,1） ，C（2，7） ，求该二次函数的解析式.

16、 【解析】221yxx 题型二题型二 顶点式顶点式 【例【例 2】已知二次函数22yaxaxc的最大值为 1，其图像经过点（3，1） ，求二次函数的解析式. 【解析】211+22yxx 题型三题型三 交点式交点式 【例【例 3】如图，抛物线经过 A、B、C 三点，点 A（1,0） ，点 B（3,0） ，且 3AB4OC，求抛物线的解析式. yx22-11OyxCBAO 【解析】2+23yxx 题型四题型四 综合运用求解析式综合运用求解析式 【例【例 4】已知二次函数22yxxc的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式. 【解析】22yxx或221yxx 【例【例 5】如图，直线 yx1

17、 与抛物线24yaxaxb交 x 轴于点 A 和另一点 D，抛物线与 y 轴交于点 C，且 CDx 轴，求抛物线的解析式. 【解析】243yxx 针对练习针对练习 3 1.已知二次函数的图像与 x 轴交于 A（3,0） ，B（4,0）两点，且函数的最大值为 2，求二次函数的解析式. yxOCBAyxDCBAO答案：281()2492yx 2. 已知抛物线22yaxaxc经过点 A（1,0）与 x 轴交于另一点 B，交 y 轴于点 C，且 SABC6，求抛物线的解析式. 答案： 223yxx或223yxx 【板块四】二次函数与最值【板块四】二次函数与最值 方法技巧方法技巧 1.用顶点式、公式法求

18、二次函数的最值. 2.利用函数图像的增减性求最值. 题型一题型一 对称轴为常数对称轴为常数 【例【例 1】二次函数22yxxc 在32x 的范围内有最小值5，则 c 的值是（ ） A. 6 B.2 C.2 D.3 答案：D 【解析】可求对称轴为 x1,开口向下，离对称轴的距离越大，值越小，当 x2 时有最小值 3. 题型二题型二 对称轴为未知数对称轴为未知数 【例【例 2】当21x 时，二次函数22()1yxmm 有最大值 4，则 m 的值为（ ） A. 74 B. 3或3 C.2 或3或74 D. 2 或3 答案：D 【解析】分三种情况:m2 时，m74;21m 时，m3（舍去）m3；m1

19、时，m2.选 D. 题型三题型三 区间为未知量区间为未知量 【例【例 3】 关于 x 的二次函数22yxbxb在3bxb 范围内， 函数有最小值 21， 则 b 的值为 答案：4 或7 【解析】分三种情况：2bb；32bbb ；2bb3；综合可求 b 的值为4 或7. 题型四题型四 在最值中探究最值在最值中探究最值 【例【例 4】二次函数22yxhxh在11x 范围内，函数有最小值 n，则 n 的最大值为 答案：14 【解析】分三种情况可求. 针对练习针对练习 4 1.已知二次函数223yxx在1mxm的范围内有最小值 5，则 m 的值是（ ） A. 3 或 4 B.5 或 2 C.4 或 3 D.2 或 5 答案：A 2. 已知二次函数2()1yxh（h 为常数）在13x的范围内有最小值 5，则 h 的值是（ ） A. 3 或 5 B.1 或 1 C.1 或 5 D.1 或 3 答案：C 3. 已知二次函数2(1)yxmxm （m 为常数）图像的顶点纵坐标为 n,当23m 时，n 的取值范围是 答案：04n 4. 已知二次函数2(1)5yx ，当mxn且 mn0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 mn的值为 答案：12