第8讲二次函数与实际问题 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 8 讲二次函数与实际问题讲二次函数与实际问题 知识导航知识导航 1建立数学模型，确定二次函数的解析式； 2利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题； 3分段函数关系式的确定. 【板块一】球类运动问题板块一】球类运动问题 方法技巧方法技巧 由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解. 【例】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从点 O 正上方 2m 的 A 处发出,把球看成点，其运行的高度 y(m）与运行的水平距离 x(m）満足关系式 ya（x6）2h，已知球网与点 O 的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距点 O 的水平距离为18m （

2、1）当 h2.6 时,求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变 x 的取值范围）； （2）当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网又不出边界，则 h 的取值范围是多少? 针对练习针对练习 1 1 1小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点 A 的坐标为（0，169），球在最高点 B 的坐标为（3,25)9. (1)求抛物线的解析式; (2)已知某市男子实心球的得分标准如表; 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远 （米 8.6 8.3 8 7.

3、7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4 3.5 3.0 求小明在实球训练中的得分; （3）在小明练习实心球的正前方离投掷点 7 米处有一个身高 1.2 米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？ 【板块二板块二】桥梁桥梁、隧道隧道问问题题 方法技巧方法技巧 建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并结合函数图象进行分析. 题型题型一一 水位变化水位变化问问题题 【例例 1 1】如图， 小河上有一拱桥， 拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE，EDDB组成，已知河底 ED 是

4、水平的，ED16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 FD 所在的直线为 x 轴抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. （1）求抛物线的解析式; （2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：小时）的变化满足函数关系式：h21(19)8(040)128tt 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？ xyOABy/米x/米OABhEDthh=6353O题型二题型二 限限宽宽限高问题限高问题 【例例 2 2】如图，东湖隧道的截面由抛物

5、线和长方形构成，长方形的长 OA 为 12m，宽 OB 为 4m 隧道顶端 D到路面的距离为 10m，建立如图所示的直角坐标系. （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为 6m，宽为 4m，隧道内设双向车道，问这辆货车能否安全通过？ （3） 在抛物线型供壁上需要安装两排禁示灯， 使它们离地面高度相等， 如果灯离地面的高度不超过 8.5m,那么，两排灯的水平距离最小是多少米？ 针对练习针对练习 2 2 1如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽是 20 米，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10 米. （1）建立如图所示的平

6、面直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现在有一辆载有救援物资从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥 280 千米（桥长忽略不计），货车以每小时 40 千米的速度开往乙地，当行驶到 1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 0.25 米的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处），当水位达到桥拱最高点 O时，禁止车辆通行试问：汽车按原来速度行驶，能否安全过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？ xyCDABOxyBACD【板块三【板块三】 市场销售市场销售问问题题 方法技巧方法技巧 通通过过“利润“利润售价售价- -进价进价

7、”“”“=100%利润利润率进价”等公式建立函数模型，把利等公式建立函数模型，把利润润问题转化成函数问题问题转化成函数问题来解决来解决. 【例例】武汉市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40天内的日销售量 m（件）与时间 t（天）的关系如下表： 时间 t（天） 1 3 10 20 21 22 40 日销售量 m(件) 98 94 80 60 61 62 80 未来 40 天内，该商品每天的价格 y（元件）与时间 t（天）的函数关系式为： 125(120,4140(2140,2ttytt （t 为整数）,根据以上提供的条件解决下列问题： （1）认

8、真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定 1t20，21t40 时，满足这些数据的 m（件）与 t（天）之间的关系式; （2）请预测未来 20 天中哪一天的日销售利最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的前 20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润（a40 给希望工程，公司通过销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐后的日销利润随时间 t（天）的增大而增大，求 a 的取值范围. 针对练习针对练习 3 3 1.杰明公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元， 据市场调分析， 五月份的日销售量 m(件)与时间 t （天）符合一次函数关系 matb 且 t2 时，m

9、92;t=10 时，m76而且前 15 人每天的价格 y1（元/件）与时间 t（天）的函数关系式为 y1025t25（1t15 且为整数），第 16 天月底每天的价格 y2（元/件）与时间 t（天）的函数关系式为 y=05t40（16t31 且 t 为整数） （1）求 m 与 t 之间的函数关系式; (2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前 15 天中，该公司决定每销售一件商品就捐贈 a 元利润（a3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前 15 天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间 t(天）的增大而增大，求 a 的取值范围. 2某科技开发公司研

10、制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元在该产品的试销期间， 为了促销， 鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元 （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？ （2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的

11、件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？ 【板块板块四】四】 图形面积图形面积问题问题 方法技巧方法技巧 正正确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結合自变量的取值范同，求出最值确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結合自变量的取值范同，求出最值. . 【例例】如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为 18cm，那么剪去的正方形的边长

12、为多少？ （2）如果把矩形硬纸板的四周分別剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状，同样大小的矩形，然后折合成一个有盖两长方体盒子，是否有侧面积最大的情況？若有，请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；请说明理由. 针对练习针对练习 4 4 1在一块ABCD 的空地上划一块MNPQ 进行绿化，如图MNPQ 的顶点在 ABCD 的边上，已知A60，AMN90，且 AMPCx m,已知平行四边形 ABCD 的边 BC20m，ABa m，a 为大于20 m 的常数，设四边形 MNHQ 的面积为 S m （1）求 S 关于 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围; （2）若 a40m，

13、求 S 的最大值并求出此时 x 的值; （3）若 a200,请直接写出 S 的最大值. 2如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB为 x 米，面积为 S 平方米. （1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围； （2）已知墙的最大可用长度为 8 米 求所围成花圃的最大面积； 若所围成花圃的面积不小于 20 平方米，请直接写出 x 的取值范围. 第第 8 讲二次函数与实际问题讲二次函数与实际问题 知识导航知识导航 1建立数学模型，确定二次函数的解析式； 2利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题； 3分段函数关系式的确定. A

14、BCDMNPQDCBA【板块一】球类运动问题板块一】球类运动问题 方法技巧方法技巧 由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解. 【例】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从点 O 正上方 2m 的 A 处发出,把球看成点，其运行的高度 y(m）与运行的水平距离 x(m）満足关系式 ya（x6）2h，已知球网与点 O 的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距点 O 的水平距离为18m （1）当 h2.6 时,求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变 x 的取值范围）； （2）当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若

15、球一定能越过球网又不出边界，则 h 的取值范围是多少? 【解析解析】（1）当 h2.6 时,y=(a6）22.6 过点（0，2），36a=-06,a=160 ， 此时 y160（x6）22.6； （2）当 x=9 时，y=16092.62.452.43,所以球能过网；当 y0 时 160（x-6）22.60,x1=6+2 3918，x2=6-2 39(舍去)，故球会出界； （3）y=a(x-6)2+h 过（0,2）,得 2=36ah 时,当 x=9 时,y=9a+h2.43, 解得 h19375又当 x=18 时，y0,得 h83h 的取值范围是 h83. 针对练习针对练习 1 1 1小明为了

16、检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点 A 的坐标为（0，169），球在最高点 B 的坐标为（3,25)9. (1)求抛物线的解析式; (2)已知某市男子实心球的得分标准如表; 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远 （米 8.6 8.3 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4 3.5 3.0 求小明在实球训练中的得分; （3）在小明练习实心球的正前方离投掷点 7 米处有一个身高 1.2 米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？ 解：（1）抛物线的解析式是 y2125(3)99x； （2）将 y0 代入 y2125(3)99x；求得 x1=-2(舍去)，x2=8，小朋友掷出的距离是 8 米，得分是 14 分； （3）小朋友有危险，理由如下，将 x7 代入 y2125(3)99x=10,解得 4x3 时 s 随 x 的增大而减小，当 x4 时 s 取最大值 32，所围成花圃的最大面积为 32 平方米； 当-4x224x20 时，解得 x11，x25，所以 4x5 DCBA