第3讲实际问题与一元二次方程 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 3 3 讲实际问题与一元二次方程讲实际问题与一元二次方程 【知识导航】 面积问题，增长率问题，传染问题，循环及握手问题，经济问题等 【板块一】面积问题 【方法技巧】 注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度 【题型一 围栏靠墙】 【例 1】如图，要建一个矩形的鸡场 ABCD，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为 14m，墙的对面开一个 1m 宽的门，现有竹篱笆总长 31m (1)若要围成的鸡场面积为 120m2，求鸡场的长和宽各是多少 m？ (2)当边 AB 的长为_m 时，鸡场面积最大，最大面积为_ m2 【题型二 矩形中通道】 【例 2】如图，要设计一副宽 20cm、长

2、30cm 的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3如果要彩条所占面积是图案面积的 19，问横、竖彩条的宽度各为多少？ 30cm20cm【题型三 边框设计】 【例 3】第七届世界军人运动会将于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片如图，该照片(中间的矩形)长 29cm、宽为 20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框(阴影部分)， 且镜框所占面积为照片面积的14， 为求镜框的宽度， 他设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程得_ 【针对练习 1】 1 如图， 要设计一本书的封面， 封面长 27cm， 宽 21

3、cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cm A1 B15 C2 D25 2要为一幅长 30cm、宽 20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A1cm B2cm C2cm D25cm 3如图所示，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为 540m2，求甬道宽 32m20m4如图，一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，

4、横、竖彩条的宽度比为 3：2若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度 5如图，利用一面墙(墙的长度为 20m)，用 34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 1m 宽的门，设 AB 的长为 xm (1)若两个鸡场总面积为 96m2，求 x； (2)若两个鸡场总面积和为 Sm2，求 S 关于 x 的关系式； (3)两个鸡场面积和 S 有最大值吗？若有，最大值是多少？ 【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题 1n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n(n1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛 n(n1)场； 2基数 A 经过两轮增长(下降)，平均增

5、长(下降)率为 x，两轮后结果为 A(1 士 x)2； 3一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染 x 人，两轮后感冒人数为(1x)2 【题型一 循环问题】 【例 1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 1220FEDCBA20m 【例 2】 九年级某班在调研考试前， 每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片， 全班共送了 1980张卡片设全班有 x 名学生，根据题意列出方程为_ 【题型二 增长率问题】 【例 3】 今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手， 加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三

6、年共投人 3640 万元，已知今年已投入 1000 万元，设投入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A1000(1x)23640 B1000(x21)3640 C10001000 x1000 x23640 D1000(1x)1000(x1)22640 【例 4】某工厂七月份出口创汇 200 万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到 98 万美元，设该厂平均每月下降的百分率是 x，则所列方程_ 【题型三 传染问题】 【例 5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染 (1)每轮感染中平

7、均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【题型四 树枝分叉问题】 【例 6】某种植物主干长出若干数目的支干每个支干又长出同样数目的小分支主干、支干、小分支的总数是 73，求每个支干长出多少个小分支？ 【例 7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有 133 人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人 A9 B10 C11 D12 【针对练习 2】 1新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡 72 张，则此小组人数为( ) A7 B8 C9 D10

8、2篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打 36 场比赛设一共有 x 个球队参赛，根据题意，所列方程为_ 3某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支若主干、支干和小分支的总数是 57，则每个支干长出( )根小分支 A5 B6 C7 D8 4某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 1000 元降到了 810 元，则平均每月降价的百分率为( ) A95% B20% C10% D11% 5某村的人均收入前年为 12000 元，今年的人均收入为 14520 元设这两年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据题意，所列方程为_ 6有两个人患了流

9、感，经过两轮传染后共有 242 个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了_人 【板块三】利润问题 【方法技巧】 利润单件利润数量 【例 1】某商店从生产厂家以每件 21 元的价格进一批商品，该商品以 25 元一件的价格出售，每天可卖出100件 后调査发现： 每涨价2元每天将少卖20件， 每件商品加价超过进价的20但不能超过进价的50 商店计划每天要赚 400 元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？ 【例【例 2】某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间的年租金定为 10 万元时，可全部租出， 每间的年租金每增加 5000 元， 少租出商铺 1 间， 该公司要为租出

10、的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元. （1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益租金各种费用）为 275 万元？ 针对练习针对练习 3 1.某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利 10 元， 每天可售出 500 千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？ 2.某宾馆有 30 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为 100

11、元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，设每间房间定价 x 元（x100). （1）每天有游客居住的房间数为 （用 x 表示结果化简） （2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润 w(元)最大? （3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为 1870 元，请求出这天每间房的定价 x（元）的值 第第 3 3 讲实际问题与一元二次方程讲实际问题与一元二次方程 【知识导航】 面积问题，增长率问题，传染问题，循环及握手问题，经济问题等 【板块一】面积问题 【方法技巧】 注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的

12、长度 【题型一 围栏靠墙】 【例 1】如图，要建一个矩形的鸡场 ABCD，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为 14m，墙的对面开一个 1m 宽的门，现有竹篱笆总长 31m (1)若要围成的鸡场面积为 120m2，求鸡场的长和宽各是多少 m？ (2)当边 AB 的长为_m 时，鸡场面积最大，最大面积为_ m2 答案： (1)设鸡场的宽 AB 为 xm，则 BC(312x1)m，依题意得， x(312x1)120, 解得 x16，x210，由 0312x114 得 9x16，x10 答：长为 12m，宽为 10m (2)Sx(312x1)2(x8)2128，当 x8 时，S 有最大值

13、为 128 【点评】矩形开口就是增加长度，要注意取值范围 【题型二 矩形中通道】 【例 2】如图，要设计一副宽 20cm、长 30cm 的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3如果要彩条所占面积是图案面积的 19，问横、竖彩条的宽度各为多少？ 答案：设横彩条的宽为 2xcm，竖彩条的宽为 3xcm，依题意，得： (202x)(303x)81%2030解之，得 x11，x219 当 x19 时，2x3820，不符题意，舍去所以 x1 答：横彩条的宽为 2cm，竖彩条的宽为 3cm 【题型三 边框设计】 【例 3】第七届世界军人运动会将于 2019 年 10 月 18 日至 27

14、 日在中国武汉举行，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片如图，该照片(中间的矩形)长 29cm、宽为 20cm，她想为此照片配一个四条30cm20cm边宽度相等的镜框(阴影部分)， 且镜框所占面积为照片面积的14， 为求镜框的宽度， 他设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程得_ 答案：设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程，(292x)(202x)542920， 化简得，4x298x1450 【针对练习 1】 1 如图， 要设计一本书的封面， 封面长 27cm， 宽 21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右

15、边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cm A1 B15 C2 D25 答案：B 2要为一幅长 30cm、宽 20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A1cm B2cm C2cm D25cm 答案：D 3如图所示，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为 540m2，求甬道宽 32m20m答案：设甬道宽为 xm，依题意得，(32x)(20 x)540，解得 x12，x250，x20，x2 答：甬道宽为 2m 4如图，一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，

16、其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3：2若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度 答案：设横彩条的宽度为 3xcm，竖彩条的宽度为 2xcm (204x)(123x)2012(125)解得 x11，x28 3x12，x4，x1 答：横彩条的宽度为 3cm，竖彩条的宽度为 2cm 5如图，利用一面墙(墙的长度为 20m)，用 34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 1m 宽的门，设 AB 的长为 xm (1)若两个鸡场总面积为 96m2，求 x； (2)若两个鸡场总面积和为 Sm2，求 S 关于 x 的关系式； (3)两个鸡场面积和 S

17、有最大值吗？若有，最大值是多少？ 答案： (1)x8，提示：x(363x)96，x4 或 x8，当 x4，AD240，舍去； (2)S ADAB(363x)x3x236x(163x343)； (3)S3x236x3(x6)2108，当 x6，即 AB6 时，S 取得最大值 108 【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题 1220FEDCBA20m1n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n(n1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛 n(n1)场； 2基数 A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为 x，两轮后结果为 A(1 士 x)2； 3一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染 x 人，两

18、轮后感冒人数为(1x)2 【题型一 循环问题】 【例 1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【解析】设应邀请 x 个球队参加比赛，依题意得， 12x(x1)15，解得 x16，x25(舍去) 答：应邀请 6 个球队参加比赛 【例 2】 九年级某班在调研考试前， 每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片， 全班共送了 1980张卡片设全班有 x 名学生，根据题意列出方程为_ 答案：x(x1)1980 【题型二 增长率问题】 【例 3】 今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手， 加强对教师队伍建

19、设的投入，计划从今年起三年共投人 3640 万元，已知今年已投入 1000 万元，设投入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A1000(1x)23640 B1000(x21)3640 C10001000 x1000 x23640 D1000(1x)1000(x1)22640 答案：选 D 【例 4】某工厂七月份出口创汇 200 万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到 98 万美元，设该厂平均每月下降的百分率是 x，则所列方程_ 答案：200(1x)298 【题型三 传染问题】 【例 5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被

20、感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染 (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 答案： (1)设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑， 依题意得，1x(1x)x81，解得 x18，x210(舍去) 平均一台电脑会感染 8 台电脑； (2)三轮感染后，(1x)2729700，被感染的电脑会超过 700 台 【题型四 树枝分叉问题】 【例 6】某种植物主干长出若干数目的支干每个支干又长出同样数目的小分支主干、支干、小分支的总数是 73，求每个支干长出多少个小分支？ 答案：设每个支干长出 x 个小分支，

21、依题意得，1xx273，解得 x18，x29(舍去) 答：每个支干长出 8 个小分支 【例 7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有 133 人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人 A9 B10 C11 D12 答案：C 【针对练习 2】 1新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡 72 张，则此小组人数为( ) A7 B8 C9 D10 答案：C 2篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打 36 场比赛设一共有 x 个球队参赛，根据题意，所列方程为_ 答案：12x(x1)36 3某种

22、植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支若主干、支干和小分支的总数是 57，则每个支干长出( )根小分支 A5 B6 C7 D8 答案：C 4某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 1000 元降到了 810 元，则平均每月降价的百分率为( ) A95% B20% C10% D11% 答案：C 5某村的人均收入前年为 12000 元，今年的人均收入为 14520 元设这两年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据题意，所列方程为_ 答案：12000(x1)214520 6有两个人患了流感，经过两轮传染后共有 242 个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了_人

23、 答案：10 【板块三】利润问题 【方法技巧】 利润单件利润数量 【例 1】某商店从生产厂家以每件 21 元的价格进一批商品，该商品以 25 元一件的价格出售，每天可卖出100件 后调査发现： 每涨价2元每天将少卖20件， 每件商品加价超过进价的20但不能超过进价的50 商店计划每天要赚 400 元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？ 答案：设售价为 x 元，依题意得： x2110010(x25)400，解得 x125，x231 21(120)x21(150)，252x315，x3 当 x31 时，铺售量为 10010(x25)40 件 故每件商品的售价为 31 元时，可卖出 40

24、件，每天可赚 400 元 【例【例 2】某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间的年租金定为 10 万元时，可全部租出， 每间的年租金每增加 5000 元， 少租出商铺 1 间， 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元. （1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益租金各种费用）为 275 万元？ 【解析】【解析】 （1）24 间 （2）设每间商铺的年租金增加 x 万元，则（30 x0.5）（10 x）（30 x0.5）1x0.50.5275，解

25、得1x 0.5，2x 5. 答：当每间商铺的年租金定为 15 万元或 10.5 万元时，该公司的年收益为 275 万元. 针对练习针对练习 3 1.某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利 10 元， 每天可售出 500 千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？ 解解: :设每千克水果应涨价 x 元，则（500 20 x)(10 x) 6000， 解得1x 5，2x 10. 要使顾客得到实惠，应取 x5. 答：每千克应涨价 5 元. 2.某宾馆有

26、 30 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为 100 元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，设每间房间定价 x 元（x100). （1）每天有游客居住的房间数为 （用 x 表示结果化简） （2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润 w(元)最大? （3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为 1870 元，请求出这天每间房的定价 x（元）的值 解：解： （1）30110 x； （2）w（x20） （30110 x）1102x 32x6001102160 x（） 1960 当 x160 时，w 有最大值为 1960； （3）令 w1870，则1102160 x（） 19601870，解得1x 130，2x 190. 故当 x130 或 x190 时，利润为 1870 元.