第4讲几何问题与一元二次方程 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 4 4 讲几何问题与一元二次方程讲几何问题与一元二次方程 【知识导航】【知识导航】 利用几何关系建立一元二次方程 【板块一】【板块一】 判别式判别式 根系关系与勾股定理根系关系与勾股定理 【方法技巧】【方法技巧】 根系关系勾股，建立方程. 【 题型一题型一 】 判别式、根系关系与三角形判别式、根系关系与三角形 【例【例 1】已知关于 x 的一元二次方程2x （2k1）x4k30 （1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当 RtABC 的斜边长 a31， 且两条直角边长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时， 求ABC的周长 【题型二】【题型二】 判别式、

2、根系关系与四边形判别式、根系关系与四边形 【例【例 2】已知关于 x 方程2x（k1）x14 2k 10 的两个根是一个矩形两邻边的长. (1)k 取何值时，方程有两个实数根？ (2)当矩形的对角线长为5 时，求 k 的值. 【题型三】判别式、根系关系与几何【题型三】判别式、根系关系与几何 【例【例 3】如图，在ABC 中，BCa，ACb，ABc，且关于 x 的方程（ac）2x2bxca 有两个相等的实数根. （1）判断ABC 的形状； （2）若 CD 平分ACB，且 ADBD,AD、BD 为方程2x2mx2n 0 的两根，试确定 m 与 n 的数量关系，并说明理由. 针对练习针对练习 1 1

3、 1. 已知关于 x 的方程2x（2k1）x4（k12）0，若等腰三角形 ABC 的一边长 a4，另一边长 b，c 恰好是这个方程的两个实数根，求ABC 的周长. 2. 已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 2xmx m2140 的两个实数根. （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB2，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 3. 如图，四边形 ABCD 中，DABDCB90,CD 和 BC 的长是关于 x 的方程122x(m2)x (22mm72)0 的两个实数根，若 AD2，求 AC 的长. ABCD4

4、.如图，矩形 ABCD 中，ABa，ADb（ab）. （1）若 a,b 是2xkxk40 的两根，且满足2a 2b 40，求 k 的值； （2）在（1）的条件下，P 为 CD 上一点（异于 C、D 两点） ，当 P 在什么位置时，APB 为直角三角形？ （3）P 为 DC 上一点（异于 C、D 两点） ，当 a，b 满足什么条件时，使APB 为直角三角形的 P 点有且只有一个？ 【板块二】【板块二】 运动与方程运动与方程 点运动形成三角形的面积或线段的长度. 【题型一】【题型一】 运动面积运动面积 【例【例 1】如图，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm.点 P 从点 A 出发沿边 A

5、C 向点 C 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动. （1） 如果 P、Q 同时出发，几秒后，可使PCQ 的面积为 8cm？ （2） 点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. CDBABQCPA 【题型二】【题型二】 运动勾股运动勾股 【例【例 2】如图，已知 A,B,C,D 为矩形的四个顶点，AB16cm，AD6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直移动到点 B 为止；点 Q 以 2

6、cm/s 的速度向点 D 移动（P点停止移动时，点 Q 也停止移动）.设移动的时间为 （s） ，问 （1） 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离是 10cm？ （2） 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离最小？最小距离为多少？ （3） P、Q 两点间距离能否是 18cm？若能，求出 t 的值;若不能，请说明理由. 针对练习针对练习 2 1.如图所示:在平面直角坐标系中，四边形 OACB 为矩形，C 点坐标为（3,6） ，若点 P 从 O 点沿 OA向 A 点以 1cm/s 的速度运动， 点 Q 从 A 点沿 AC 以 2cm/s 的速度运动， 如果 P、 Q 分别从 O、 A 同时出发，问

7、： （1）经过多长时间，PAQ 的面积为 2c2m ？ （2）PAQ 的面积能否达到 3c2m？ （3）经过多长时间，P,Q 两点之间的距离为17 cm？ BCQPADxyBCQAPO2.如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB3cm,BC6cm.某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问： （1）经过多长时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的19 ； （2）是否存在时间 ，使AMN 的面积达到 3.5 c2m，若存在，求出时间 t,若不存在，说明理由.

8、第第 4 讲讲 几何问题与一元二次方程几何问题与一元二次方程 【知识导航】【知识导航】 利用几何关系建立一元二次方程 【板块一】【板块一】 判别式判别式 根系关系与勾股定理根系关系与勾股定理 【方法技巧】【方法技巧】 根系关系勾股，建立方程. 【 题型一题型一 】 判别式、根系关系与三角形判别式、根系关系与三角形 【例【例 1】已知关于 x 的一元二次方程2x （2k1）x4k30 （1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当 RtABC 的斜边长 a31， 且两条直角边长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时， 求ABC的周长 【解析】【解析】 （1）223k

9、 （）40，无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）由根系关系得，bc2k1，bc4k3.2b 2c 2a，得22k+1 2（4k3）31，解得，k3 或2，又 4k30，k3，ABC 的周长abc731. 【题型二】【题型二】 判别式、根系关系与四边形判别式、根系关系与四边形 AMBNDC【例【例 2】已知关于 x 方程2x（k1）x14 2k 10 的两个根是一个矩形两邻边的长. (1)k 取何值时，方程有两个实数根？ (2)当矩形的对角线长为5 时，求 k 的值. 【解析】【解析】 （1）k32 ； (2)k2. 【题型三】判别式、根系关系与几何【题型三】判别式、根

10、系关系与几何 【例【例 3】如图，在ABC 中，BCa，ACb，ABc，且关于 x 的方程（ac）2x2bxca 有两个相等的实数根. （1）判断ABC 的形状； （2）若 CD 平分ACB，且 ADBD,AD、BD 为方程2x2mx2n 0 的两根，试确定 m 与 n 的数量关系，并说明理由. 【解析】【解析】 （1）关于 x 的方程（ac）2x2bxca 有两个相等的实数根， 42b4（ac） （ca）0.得2a 2b 2c ，ABC 为直角三角形，ACB90； （2）由对角互补四边形模型，得 DADB，方程有两个相等实数根， 42m42n0，2m2n，ADDB2m0，m0，mn 或 mn

11、0. 针对练习针对练习 1 1 1. 已知关于 x 的方程2x（2k1）x4（k12）0，若等腰三角形 ABC 的一边长 a4，另一边长 b，c 恰好是这个方程的两个实数根，求ABC 的周长. 解：解：若等腰三角形的腰长为 4 时，244（2k1）4（k12）0，k52， 此时方程为2x6x80，1x4，2x2，三角形的三边分别为 4，2，2，满足题意，ABC 的周长为10；若等腰三角形底边为 4，则2b4ac 2-k+（21） 414（k12）0,k 32 , 2x4x40, 1x 2, 2x2,三角形的三边分别为 4，2，2，不满足题意，舍去；综上所述，ABC 的周长为 10. 2. 已知

12、：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 2xmx m2140 的两个实数根. （1）当 m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB2，那么平行四边形 ABCD 的周长是多少？ 解：解： （1）当 ABAD 时，该平行四边形 ABCD 是菱形，原方程有两个相等的实根即可，故2-m（） 4（m214）0，m1，故原方程为2xx140，1x 2x12，故 ABAD12，即当 m1时，平行四边形 ABCD 是菱形，这时菱形的边长为12； （2）当 AB2 时，即原方程的一根为 2，222m m2140，即 m52，即原方程为 22x5x

13、20，1x 2，2x12，又 AB2，故 AD12，即平行四边形 ABCD 的周长是 5. 3. 如图，四边形 ABCD 中，DABDCB90,CD 和 BC 的长是关于 x 的方程122x(m2)x (22mm72)0 的两个实数根，若 AD2，求 AC 的长. 解解: : 2m+2 2(22mm72)32m6m332m-10,而 CD,BC 是方程的两根，0,故 m1，原方程有两个相等的实数根，CDBC3.延长 AB 到点 E，使 BEAD2,则CBECDA， ACE 是等腰直角三角形， 设 AB ， 过点 C 作 CHAB 于点 H， CH 12AEt2 1，HB （t2 1） t21，

14、2t+12（） 2t-12（）9， 14 ，AC2 CH2(142 1)7 2. 4.如图，矩形 ABCD 中，ABa，ADb（ab）. （1）若 a,b 是2xkxk40 的两根，且满足2a 2b 40，求 k 的值； ABCD（2）在（1）的条件下，P 为 CD 上一点（异于 C、D 两点） ，当 P 在什么位置时，APB 为直角三角形？ （3）P 为 DC 上一点（异于 C、D 两点） ，当 a，b 满足什么条件时，使APB 为直角三角形的 P 点有且只有一个？ 解：解： （1）abk,abk4.2a 2b 40，2a+b 2ab40,2k 2k480，解得1k8 ,2k6,kab0，k

15、8； （2）k8 时，2x8x120,解得 1x 2，2x6，ab，a6,b2. APB90,2AP2BP 2AB ,设 DPx，42x426-x 36， 1x 35 ，2x35，DP35； （3）同（2）可列方程2b 2x2a-x2b2a，2xax2b0，当2-a 42b0 时 P 点有且只有一个，此时2a42b，ab0，a2b. 【板块二】【板块二】 运动与方程运动与方程 点运动形成三角形的面积或线段的长度. 【题型一】【题型一】 运动面积运动面积 【例【例 1】如图，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm.点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s的速度移动，点 Q

16、 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动. （1） 如果 P、Q 同时出发，几秒后，可使PCQ 的面积为 8cm？ （2） 点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. CDBABQCPA【解析】【解析】 （1）设运动的时间为 ts，PCQS 12(6t)2 8, 解得1t2,2t 4; 故 P、Q 出发 2s 或 4s 后，PCQ 的面积为 8c2m ； （2）PCQS12(6t)2 126812,化简得2t 6 120, 3648120，方程无解，不存在. 【题型二】【题型二】

17、运动勾股运动勾股 【例【例 2】如图，已知 A,B,C,D 为矩形的四个顶点，AB16cm，AD6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直移动到点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动（P点停止移动时，点 Q 也停止移动）.设移动的时间为 （s） ，问 （1） 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离是 10cm？ （2） 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离最小？最小距离为多少？ （3） P、Q 两点间距离能否是 18cm？若能，求出 t 的值;若不能，请说明理由. 【解析】【解析】AP3 ，CQ2 ，过 Q 作 Q

18、HAB 于点 H，则 PH16-5t ,在 RtPHQ 中，2PQ 262165t ， （0t163）. (1) 当 PQ10 时，210 262165t，解得，1t85 ,2t 245; (2) 当 t165 时，PQ 最小6； (3) 2165t26218 ，解得1t16+12 25 163（舍去） ,2t 16-12 250（舍去） ，P、Q 间距离不能为 18cm. 针对练习针对练习 2 1.如图所示:在平面直角坐标系中，四边形 OACB 为矩形，C 点坐标为（3,6） ，若点 P 从 O 点沿 OA向 A 点以 1cm/s 的速度运动， 点 Q 从 A 点沿 AC 以 2cm/s 的

19、速度运动， 如果 P、 Q 分别从 O、 A 同时出发，问： BCQPAD（1）经过多长时间，PAQ 的面积为 2c2m ？ （2）PAQ 的面积能否达到 3c2m？ （3）经过多长时间，P,Q 两点之间的距离为17 cm？ 解： （1）设经过 xs, PAQ 的面积为 2c2m,由题意得: 12（3x）2x2，解得1x 1，2x2.所以经过 1 秒或 2 秒时，PAQ 的面积为 2c2m； （2） 设经过 xs,PAQ 的面积为 3c2m,由题意得: 12（3x） 2x3， 即2x 3x30， 在此方程中2b4ac30，所以此方程没有实数根，所以PAQ 的面积不能达到 3c2m. （3）设经

20、过 xs，则23-x42x17，解得1x 2，2x 45(舍).即 2 秒时，P,Q 两点之间的距离为17 cm. 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积公式与两点间的距离公式是解答本题【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积公式与两点间的距离公式是解答本题的关键的关键. . 2.如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB3cm,BC6cm.某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问： （1）经过多长时间，AMN 的面积等于

21、矩形 ABCD 面积的19 ； （2）是否存在时间 ，使AMN 的面积达到 3.5 c2m，若存在，求出时间 t,若不存在，说明理由. xyBCQAPOAMBNDC解：解： （1）设经过 ts，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的19，则 DN2tcm，AMtcm，ANADDN(62t)cm，12ANAM19ADAB,即12（62t）t1963，整理，得2t3t20,解得1t1，2t 2，则经过 1s 或 2s，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的19. (2)不存在，理由为：假设存在时间 ts，使AMN 的面积达到 3.5 c2m，则12ANAM3.5，即12（62t）t3.5，整理得 22t6t70, 3656200，方程没有实数根，故AMN 的面积不能达到 3.5 c2m.