第1讲一元二次方程及其解法 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 2121 章一元二次方程章一元二次方程 第第 1 1 讲一元二次方程及其解法讲一元二次方程及其解法 知识导航 一元二次方程的基本概念； 一元二次方程的基本解法； 可化为一元二次方程的解法. 【板块一】一元二次方程的概念 方法技巧 判断一个方程是不是一元二次方程， 先化成一般形式 ax2bxc0(a0),注意三点： 含一个未知数，未知数的最高次数是 2，并且为整式方程. 题型一 一元二次方程的概念 【例 1】m 为何值时，方程27(3)(3)40mmxmx， 是一元一次方程；是一元二次方程. 题型二 一元二次方程的一般形式 【例 2】将下列关于 x 的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一

2、次项系数和常数项. 2(21)(34)xxx；(2 3)(2 3)3xxx 题型三 一元二次方程的根 【例 3】 （襄阳中考）若正数 a 是一元二次方程250 xxm的一个根，a 是一元二次方程250 xxm的一个根，则 a 的值是 . 【例 4】已知 a 是方程2310 xx 的根，求代数式543226213aaaaa的值 针对练习 1 1若方程| |(2)310mmxmx 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am 2 Bm 2 Cm 2 D m2 2.化方程24213xx一般式为：_； 其二次项系数是 ， 一次项系数是_，常数项是 . 3.已知关于 x 的一元二次方程的一个根是 0，则

3、a 的值为（ ） A B C D 4.已知关于 x 的一元二次方程20 xaxb有一个非零实数根b，则 ab 的值为（ ） A 1 B 1 C 0 D 2 5.已知 m 是方程2310 xx 的一个根，求32423mmm的值 6.已知 a，b 是方程240 xx的两个实数根，求32510ab的值 【板块二】一元二次方程的基本解法 方法技巧 一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式） ，还有十字相乘法. 题型一 十字相乘法（二次项系数为 1） 【例 1】用因式分解法解方程： （1） x26x70；

4、（2）x27x100； （3）y22y80； 题型二 十字相乘法（二次项系数不为 1） 【例 2】解方程： （1）6x223x100； （2）3x222x240； （3）4x231x450. 题型三 灵活运用因式分解法解方程 【例 3】解方程： （1）x2x33； （2） (23)x22(31)x60 题型四 绝对值方程 【例 4】 阅读下面的例题：解方程 x2|x|20 当 x1 时，则 x2x 解：(1)当 x0 时，原方程化为 x2 x20，解得：x12，x2 1(不合题意，舍去). (2)当 x0 时，原方程化为 x2x20，解得：x11，(不合题意，舍去)，x22， 原方程的根是 x

5、12，x22. 请参照例题解方程 x2|x1|10 题型五 含参数的一元二次方程 【例 5】 已知关于 x 的一元二次方程 ax2(a21)xa0 的的一个根为 m 若 2m3， 求 a 的取值范围. 针对练习 2 1.给出一种运算： 对于函数nyx， 规定1nynx.例如： 若函数4yx， 则有34yx .已知函数3yx，则方程12y 的解是 . 2.用适当的方法解方程 （1） (4)28x xx； x24x30； x25x30； 12x2x20； （5）x28x150； （6）3y210y80； （7）23622xxx0 3.解方程： （1）x23x40； (2)x26x3x30 4.解下

6、列关于 x 的方程： （1）x2(k2)x2k0； (2)x2（2t1）xt2t20； 5.（1）已知方程 x2ax(a1)0 的一根，且 34，则 a 的取值范围是 ； （2）已知关于 x 的方程 x2(2m1)xm2m20 的一根大于 2，另一根小于 1，求 m 的取值范围. 【板块三】可化为一元二次方程的解法 方法技巧 利用换元法，整体思想来解方程 题型一 某些特殊的高次方程 【例 1】 （1）解方程：222540 xxxx； （2）已知实数 a，b 满足222223() 100abab，试求22ab的值. 题型二 某些特殊的分式方程 【例 2】已知实数 x 满足2211xxxx0，求1

7、xx的值 【例 3】解方程：； 【针对练习 3】 1.设 a，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且1212222baba，则这个直角三角形的斜边长为 2若，则的值为 121193482232222xxxxxxxx0515285222xxxx1522 xx3解下列方程： （1）(x23x)22(x23x)80； (2)； （3）. 【板块四】配方法的应用 方法技巧 将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手

8、段之一应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧. 常用公式有： （1）()2222+aab bab?； （2）()2222+222abcabbcacabc+=+； （3）()()()2222221+2abcabbcacabbcca+北?； 120)4)(3)(2)(1(xxxx1)1( 3)1(222xxxx（4）2224+24bacbaxbxca xaa骣-琪+ =+琪桫； （5）当0a 时，()()22,2aaababab=+=+-. 题型一 判定代数式的正负 【例【例 1】 （1）对于任何实数 x，均有：2x24x30； （2）求证：不论 x 为何值，代数式4x2

9、8x9 的值总小于 0； 题型二 求代数式的最值 【例 2】已知实数 x，y 满足2330 xxy+ -=，求 xy 的最大值. 【例 3】设 a，b 为实数，求代数式225+5432410ababab-+的最小值. 题型三 求代数式的值 【例【例 4】已知1111,2,3202220222022axbxcx=-=+=+，求222+abcabbcac+-的值 题型四 判定三角形的形状 【例 5】已知 a，b，c 为ABC 的三边长，若 a2b2c2abbcca，试判断ABC 的形状，并证明 题型五 证明两数的关系 【例 6】已知实数 a，b，c 满足 a6b，29cab，求证：ab 针对练习

10、4 1一元二次方程210 xpx 配方后为2()15xq，那么一元二次方程210 xpx 配方为（ ） A2(4)17x B2(4)15x C2(4)17x D2(4)17x或2(4)17x 2已知221078Maba，2251Naba，则MN的值（ ） A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D. 一定不是正数 3已知实数m，n21mn，则代数式22241mnm的最小值等于_ 4设0mn，224mnmn，求22mnmn的值 5若实数a，b满足2310bba ，求满足条件的a的最大整数值 6 （1）如果22810410 xyxy成立，求2018()xy的值； （2）已知2210 xy

11、xyxy ，求22xy的值 7.已知a，b，c是整数，且24ab，210abc ，求abc的值. 8.若实数x，y，z满足4xy，24zxy，求证：xy 第第 2121 章一元二次方程章一元二次方程 第 1 讲一元二次方程及其解法 知识导航 一元二次方程的基本概念； 一元二次方程的基本解法； 可化为一元二次方程的解法. 【板块一】一元二次方程的概念 方法技巧 判断一个方程是不是一元二次方程， 先化成一般形式 ax2bxc0(a0),注意三点： 含一个未知数，未知数的最高次数是 2，并且为整式方程. 题型一 一元二次方程的概念 【例 1】m 为何值时，方程27(3)(3)40mmxmx， 是一元

12、一次方程；是一元二次方程. 【解析】m3，7，2 2； m3 题型二 一元二次方程的一般形式 【例 2】将下列关于 x 的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. 2(21)(34)xxx；(2 3)(2 3)3xxx 【解析】 ：210 x ；二次项系数 1、一次项系数 0 和常数项 1. 2150 xx；二次项系数 1、一次项系数 1 和常数项15. 题型三 一元二次方程的根 【例 3】若正数 a 是一元二次方程250 xxm的一个根，a 是一元二次方程250 xxm的一个根，则 a 的值是 . 【解析】a 是一元二次方程250 xxm的一个根，a 是一元二次方程250 x

13、xm的一个根，250aam，250aam，得2250aa，a15，a20， 又a0，a5，故答案为 5. 【例 4】已知 a 是方程2310 xx 的根，求代数式543226213aaaaa的值 【解析】a 是方程2310 xx 的根，那么2310aa ，231aa，213aa ， 原式233223213133aaaaaaaa . 【点评】利用方程根的定义，运用整体思想降次，分子可以转化为233223213aaaaaa 针对练习 1 1若方程| |(2)310mmxmx 是关于 x 的一元二次方程，则（ B ） Am 2 Bm 2 Cm 2 D m2 2.化方程24213xx一般式为：_2(8

14、2)30 xx+-+ =_； 其二次项系数是 1 ， 一次项系数是_82-_，常数项是 3 . 3.已知关于 x 的一元二次方程的一个根是 0，则 a 的值为（ A ） A B C D 4.已知关于 x 的一元二次方程20 xaxb有一个非零实数根b，则 ab 的值为（ A ） A 1 B 1 C 0 D 2 5.已知 m 是方程2310 xx 的一个根，求32423mmm的值 【解析】m 是方程2310 xx 的一个根，所以231mm，213mm 又3m 2m m， 原式221 342333134mmmmmm . 6.已知 a，b 是方程240 xx的两个实数根，求32510ab的值 【解析

15、】a，b 是方程240 xx的两个实数根，1ab ，24aa，24bb， 32510ab45 41051419aabab. 【板块二】一元二次方程的基本解法 方法技巧 一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式） ，还有十字相乘法. 题型一 十字相乘法（二次项系数为 1） 【例 1】用因式分解法解方程： （2） x26x70； （2）x27x100； （3）y22y80； 【解析】 （1）(x7)( x1)0，x17，x21 （3） x12，x25； （3）y12，y24； 题型二 十字相乘法（二次

16、项系数不为 1） 【例 2】解方程： （1）6x223x100； （2）3x222x240； （3）4x231x450. 【解析】 （1）(2x1)(3x10)0，2x10 或 3x100，解得 x112，x2103 （2）(x6)(3x4)0，x16，x243 （3）(x9)(4x5)0，x19，x254； 【点评】因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为： “右化零，左分解，两因式，各求解”. 题型三 灵活运用因式分解法解方程 【例 3】解方程： （1）x2x33； （2） (23)x22(31)x60 【解析】 （1）移项得，x2x3(31)0，十字相乘法得，(x3)(x31)0 解得，x

17、13，x231； （2）方程两边同乘以 23，得 x22(13)x6(23)0， 十字相乘法分解得，31331xx0 所以 x131，x23 33 题型四 绝对值方程 【例 4】 阅读下面的例题：解方程 x2|x|20 解：(1)当 x0 时，原方程化为 x2 x20，解得：x12，x2 1(不合题意，舍去). (2)当 x0 时，原方程化为 x2x20，解得：x11，(不合题意，舍去)，x22， 原方程的根是 x12，x22. 请参照例题解方程 x2|x1|10 【解析】当 x1 时，同 x2x0，x10(舍去)，x21 当 x1 时，则 x2x20，x11(舍去)，x22， x11，x22

18、. 题型五 含参数的一元二次方程 【例 5】 已知关于 x 的一元二次方程 ax2(a21)xa0 的的一个根为 m 若 2m3， 求 a 的取值范围. 【解析】分解得， （ax1)(xa)0，解得 xa 或1xa=. 当 ma 时，3a2； 当 m1a时，1132a时，()()22,2aaababab=+=+-. 题型一 判定代数式的正负 【例【例 1】 （1）对于任何实数 x，均有：2x24x30； （2）求证：不论 x 为何值，代数式4x28x9 的值总小于 0； 【解析】(1)2x24x32(x1)210； （2）4x28x94（x1)250. 题型二 求代数式的最值 【例 2】已知实

19、数 x，y 满足2330 xxy+ -=，求 xy 的最大值. 【解析】将233yxx=-+代入 xy，得 xy()222314xxx=-+ =-+，xy 的最大值为 4. 【例 3】设 a，b 为实数，求代数式225+5432410ababab-+的最小值. 【解析】将原式配方为()()()222244258abab-+-+-，当 a4，b2 时，原式有最小值58- 题型三 求代数式的值 【例【例 4】已知1111,2,3202220222022axbxcx=-=+=+，求222+abcabbcac+-的值 【解析】222+abcabbcac+-()()()22212abbcca-+-+-，

20、由已知条件得 ab3，bc1，ca4，代入上式，得出该式子的值为 13. 题型四 判定三角形的形状 【例 5】已知 a，b，c 为ABC 的三边长，若 a2b2c2abbcca，试判断ABC 的形状，并证明 【解析】a2b2c2abbcca()()()22212abbcca-+-+-0，故 abc,所以ABC 是等边三角形. 题型五 证明两数的关系 【例 6】已知实数 a，b，c 满足 a6b，29cab，求证：ab 【解析】由条件知 ab6，ab2c9，于是 a，b 是方程22690 xxc 的两根， 由 a，b 是实数，所以0，即236 436 0c ，2c0，从而2c0，0，所以 ab

21、针对练习 4 1一元二次方程210 xpx 配方后为2()15xq，那么一元二次方程210 xpx 配方为（ D ） A2(4)17x B2(4)15x C2(4)17x D2(4)17x或2(4)17x 2已知221078Maba，2251Naba，则MN的值（ B ） A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D. 一定不是正数 3已知实数m，n21mn，则代数式22241mnm的最小值等于_4_ 4设0mn，224mnmn，求22mnmn的值 解：由224mnmn配方，得2()6mnmn，2()2mnmn，因为0mn，所以6mnmn，2mnmn，则22()()62122 3mnm

22、n mnmnmnmnmnmn 5若实数a，b满足2310bba ，求满足条件的a的最大整数值 解：2235531244abbb ， a的最大整数值为 1 6 （1）如果22810410 xyxy成立，求2018()xy的值； （2）已知2210 xyxyxy ，求22xy的值 解： （1）配方得22(4)(5)0 xy，40 x ，50y ，4x ，5y ，所以2018()1xy； （2）由2210 xyxyxy 得2221()(1)(1)02xyxy，再由非负性可得1x ，1y ，220 xy 7.已知a，b，c是整数，且24ab，210abc ，求abc的值. 解：将 a2b4 代入 abc2 一 10，配方得 2（b1）2c23. a，b，c是整数，2(1)1b且21c 0b 或2，1c 而abc的值为 3，3，5，1 8.若实数x，y，z满足4xy，24zxy，求证：xy 解：仿例 6.