第17讲正多边形与圆弧长和扇形的面积 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第1717讲讲 正多边形与圆、弧长和扇形的面积正多边形与圆、弧长和扇形的面积 1正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系； 2掌握并灵活运用弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合； 3掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思想方法 【板块一】【板块一】 正多边形与圆正多边形与圆 (1)如图，设正 n 边形 A1A2A3An的边长为 an，半径为 Rn，边心距为 rn，中心角为n，周长为 Cn，面积为Sn则：2nR2nr(2na)2；n360n；Cnnan；Snn12anrn12Cnrn； (2)与正多边形相关的

2、计算和证明问题常常转化为三角形的问题解决； (3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量” ，面积法是方程思想运用中常见的方法 【例 1】如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H， 求EFGH的值 【例 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 可绕点 O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求 AE 的最小值 HGFEODCBAOJIHGFEDCBA【例 3】如图，正五边形 ABCDE 的边

3、心距 OG2，AHBC 于点 H，求 AH12AG 的值 针对练习针对练习 1 1以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_ 2如图，正六边形 ABCDEF 中，点 P 是边 ED 的中点，连接 AP，则APAB的值是_ 3如图，正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，求该正八边形的面积 OHGEDCBAPFEDCBAOHGFEDCBA4如图，有一个O 和两个正六边形 T1，T2，其中 T1 的 6 个顶点都在O 上，T2 的 6 条边都与O 相切(T1，T2 分别为O 的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形 T1 与 T2 的面积之比

4、为_ 5如图，正ABC 的边长为 12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和 6如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，试探究正六边形 AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含 n 的代数式表示) OT2T1DBCACBAF2E2D2C2B2A2F1E1D1C1B1A1【板块二】弧长和扇形面积【板块二】弧长和扇形面积 （1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题； （2）利用“割补法”求不规则图形面积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进行等积转化； （3）解决与圆锥相关的

5、问题时， “化曲面为平面” （侧面展开图）的转化思想是核心 题型一题型一 与弧有关的不规则图形的面积与弧有关的不规则图形的面积 【例 1】点 A 是半径为 2 的O 的直径 MN 的延长线上一点，点 B，C 在O 上，且 BC0A （1）如图 1，若 OA4，且 AB 与O 相切于点 B，求图中阴影部分的面积； （2）如图 2，若点 B 是MN的一个三等分点，求图中阴影部分的面积。 题型二题型二 与圆锥有关的计算与圆锥有关的计算 【例 2】小华同学在一块边长为 16 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是圆锥的底面他设计了两个方案，方案一：如图 1，O1与 BC

6、，CD，BD都相切；方案二：如图 2，O2与 BC，CD，EF都相切（点 E，F 分别在 AB，AD 上，且不与 B，D 重合） （1）方案一可行吗？请说明理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及底面圆的半径；若不可行，请说明理由 图1ONMCABBACMNO图2ABCO1D图1EFDABCO2图2 【例 3】如图，有一圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为 6m 的等边ABC，圆锥的母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥的侧面到达 P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程 针对练习针对练习 2 1如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，

7、BC，以点 A 为圆心，AD 为半径的圆与 BC 相切于点 M，与 AB 交于点 E，若 AD2，BC6，则DE的长为 2小红同学要用纸板制作一个高 4cm，底面周长是 6cm 的圆锥形漏斗模型（不计接缝和损耗） ，则她所需纸板的面积是 cm2 3如图，在菱形 ABCD 中，A60，AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角EBF60，则图中阴影部分的面积为 PABCOABCDEMBACDEF4如图，在 RtABC 中，C90，B30，AB1，把ABC 绕点 A 逆时针旋转，得到AB1C1，使点 C1落在 BA 的延长线上，则线段 BC 所扫过的面积为 5已知扇形 OAB 的面积为 12cm2

8、，圆心角AOB120，以此扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的底面积为 cm2 6如图，圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 9cm，点 C 为母线 PB 的中点，求侧面上点 A 到点 C 的最短距离 7如图是一纸杯的示意图，纸杯上开口圆的直径 AE6cm，纸杯下底面圆的直径 CF4cm，AC，EF 的延长线交于一点 O，且形成的立体图形是圆锥，若 EFAC8cm，求纸杯的侧面积 ABCB1C1OABCPA1C1ACOFE第第 17 讲讲 正多边形与圆、弧长和扇形的面积正多边形与圆、弧长和扇形的面积 1正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系； 2掌握并灵活运

9、用弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合； 3掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思想方法 【板块一】【板块一】 正多边形与圆正多边形与圆 (1)如图，设正 n 边形 A1A2A3An的边长为 an，半径为 Rn，边心距为 rn，中心角为n，周长为 Cn，面积为Sn则：2nR2nr(2na)2；n360n；Cnnan；Snn12anrn12Cnrn； (2)与正多边形相关的计算和证明问题常常转化为三角形的问题解决； (3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量” ，面积法是方程思想运用中常见的方法 【例 1】如图，正方形 ABCD

10、 和正三角形 AEF 都内接于O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H， 求EFGH的值 【解析】连接 CA 交 EF 于点 P，则 CA 是O 的直径，AC 垂直平分 EF， 设O 的半径为 R，则 OP12R，EF2EP3R，CPOCOP12R， GCPHCP45，GH2CPR，EFGH3RR3 【例 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 可绕点 O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求 AE 的最小值 HGFEODCBAPOHGFEDCBA 【解析

11、】 当正六边形 EFGHIJ 的外接圆O 与正方形 ABCD 的各边都相切时， 这个正六边形的边长最大，连接 OA，则 OA22，当点 E 旋转到 OA 上时，AE 最小，且最小值为 OAOE， 又当O 与正方形各边相切时，OE12AB12，AE 的最小值为2212212 【例 3】如图，正五边形 ABCDE 的边心距 OG2，AHBC 于点 H，求 AH12AG 的值 【解析】由正多边形的轴对称性知:点 O 在 AG 上，连接 AC，AD，OC，OD， 设正五边形的边长为 a，则 SOCD12aOG22a，S五5SOCD5 22a， 易证ABCAED，SABCSAEDaAH， S五SABCS

12、AEDSACDaAH12aAGa(AH12AG)， 5 22aa(AH12AG)，AH12AG5 22 针对练习针对练习 1 1 以半径为 2 的圆的内接正三角形、 正方形、 正六边形的边心距为三边作三角形， 则该三角形的面积是_ 答案：22 2如图，正六边形 ABCDEF 中，点 P 是边 ED 的中点，连接 AP，则APAB的值是_ OJIHGFEDCBAABCDEFGHIJOOHGEDCBAABCDEGHO 答案：132 解：连接 AE，则FEAFAE30，AEP90， 设正六边形的边长为 2a，则 EPa，AE3EF23a， AP22AEEP13a，APAB132aa132 3如图，正

13、八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，求该正八边形的面积 解:连接 OB，OC，则BOC360845，过点 C 作 CMOB 于点 M， 则 CM22OC2，SOBC12OBCM2，S正八边形8SOBC82 4如图，有一个O 和两个正六边形 T1，T2，其中 T1 的 6 个顶点都在O 上，T2 的 6 条边都与O 相切(T1，T2 分别为O 的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形 T1 与 T2 的面积之比为_ 答案：34 PFEDCBAABCDEFPOHGFEDCBAMABCDEFGHOOT2T1DBCAACBDT1T2O解:设O 的半径为 R，T1的一条边为 AB，T2的一条边为

14、CD，连接 OA，OB，OC，OD，易求 ABR，CD2 33R，SAOB34R2，SCOD34(2 33R)233R2，12TTSS66AOBCODSS34 5如图，正ABC 的边长为 12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和 解:由题意知正六边形的边长为 4，面积 S63442243， 设这个正六边形的内部任意一点 P 到各边的距离分别为 d1，d2，d3，d4，d5，d6， 124(d1d2d3d4d5d6)S，d1d2d3d4d5d6123 6如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2

15、E2F2，如此继续下去，试探究正六边形 AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含 n 的代数式表示) 解:由正六边形的性质知 A1C13A1B13，A2B213A1C133， 设正六边形的面积依次为 S1，S2，Sn，则12SS223614336()433，即 S213S1， 同理可证：S313S2(13)2S1，Sn(13)n1S1，S1634123 32，Sn2323n 【板块二】弧长和扇形面积【板块二】弧长和扇形面积 CBAF2E2D2C2B2A2F1E1D1C1B1A1（1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题； （2）利用“割补法”求不规则图形面积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进

16、行等积转化； （3）解决与圆锥相关的问题时， “化曲面为平面” （侧面展开图）的转化思想是核心 题型一题型一 与弧有关的不规则图形的面积与弧有关的不规则图形的面积 【例 1】点 A 是半径为 2 的O 的直径 MN 的延长线上一点，点 B，C 在O 上，且 BC0A （1）如图 1，若 OA4，且 AB 与O 相切于点 B，求图中阴影部分的面积； （2）如图 2，若点 B 是MN的一个三等分点，求图中阴影部分的面积。 【解析】 （1）连接 OB，OC，则 OBAB，OB212OA，B0A60，OCB 是正三角形， BCOA，SABCSOBC，S阴影S扇形OBC260236023； （2）连接

17、OB，OC，点 B 是MN的一个三等分点，BON60， 又BC/OA，CBOBONBCOCOB60， BCOA，SABCSOBC，S阴影S扇形OBC23 题型二题型二 与圆锥有关的计算与圆锥有关的计算 【例 2】小华同学在一块边长为 16 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是圆锥的底面他设计了两个方案，方案一：如图 1，O1与 BC，CD，BD都相切；方案二：如图 2，O2与 BC，CD，EF都相切（点 E，F 分别在 AB，AD 上，且不与 B，D 重合） （1）方案一可行吗？请说明理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及底面圆的半径；

18、若不可行，请说明理由 图1ONMCABBACMNO图2BACMNO图1图2ONMCAB 【解析】 （1）方案一不可行理由如下：BDl90161808，CO1BDl8，O1的半径 r4， 当 r4 时，CO12r42，O1A41620，AC2042162，方案一不可行 （2）方案二可行，设圆锥底面圆的半径为 r，圆锥的母线长为 R，连接 AC， 则(12)rRAC162，2r2R，由，可得：r16 25280 23223， R4r320 212823，所求圆锥的母线长为320 212823，底面圆的半径为80 23223 【例 3】如图，有一圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为 6m 的等边ABC，圆

19、锥的母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥的侧面到达 P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程 【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R，侧面展开后的扇形的圆心角为 n，则 2r180n R， n360rR，轴截面ABC 是等边三角形，r3，R6，n180， 点 B1是1CC的中点，B1AC90，在 RtAB1P 中，PB1226335， 小猫所经过的最短路程为 35m 针对练习针对练习 2 ABCO1D图1EFDABCO2图2ABCO1D图1EFDABCO2图2PABCOOCBAB1C1P1如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BC，以点 A

20、为圆心，AD 为半径的圆与 BC 相切于点 M，与 AB 交于点 E，若 AD2，BC6，则DE的长为 答案：32 解：易求DAE135，DE的长为135218032 2小红同学要用纸板制作一个高 4cm，底面周长是 6cm 的圆锥形漏斗模型（不计接缝和损耗） ，则她所需纸板的面积是 cm2 答案：15 解：底面周长是 6，底面半径 r3，高为 4，母线长 R5，SrR15 3如图，在菱形 ABCD 中，A60，AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角EBF60，则图中阴影部分的面积为 答案：233 解：DBAB2，点 D 在EF上，设 BE，BF 分别与 AD，DC 相交于点 M，N，则A

21、BDBCN， S四BMDNSBCD34223，S阴影S扇形BEF3233 4如图，在 RtABC 中，C90，B30，AB1，把ABC 绕点 A 逆时针旋转，得到AB1C1，使点 C1落在 BA 的延长线上，则线段 BC 所扫过的面积为 ABCDEMMEDCBABACDEFNMFEDCAB 答案：14 5已知扇形 OAB 的面积为 12cm2，圆心角AOB120，以此扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的底面积为 cm2 答案：4 解：设底面圆的半径为 r，扇形 OAB 的半径为 R，则 2r120180R，R3r， 2120360R12，R236，r219R219364即该圆锥的底面积为 4c

22、m2 6如图，圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 9cm，点 C 为母线 PB 的中点，求侧面上点 A 到点 C 的最短距离 解：该圆锥的侧面展开图如图所示，则BPB136039120， BPA160，PBA1是等边三角形， 点 C 是 PB 的中点，A1CPB，A1C32 A1P9 32， 即侧面上点 A 到点 C 的最短距离为9 32cm 7如图是一纸杯的示意图，纸杯上开口圆的直径 AE6cm，纸杯下底面圆的直径 CF4cm，AC，EF 的延长线交于一点 O，且形成的立体图形是圆锥，若 EFAC8cm，求纸杯的侧面积 ABCB1C1OABCPPCBA1B1AO 解：纸杯的侧面展开图如图所示，设 OFOCOC1R，AOA1n，OAOA1 R8， 180n R4，(8)180nR6，由得：8RR 23，R16，R824， 1OCCS扇形1241632，1OAAS扇形1262472， S阴影1OAAS扇形1OCCS扇形40 A1C1ACOFE