第15讲圆的有关性质 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第二十四章圆第二十四章圆 第第1515讲讲 圆的有关性质圆的有关性质 知识导航知识导航 1. 与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上； 2. 垂径定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。 【板块一】【板块一】 半径的运用半径的运用 方法技巧方法技巧 利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。 题型一题型一 利用半径相等作等量代换利用半径相等作等量代换 【例【例 1】 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 彼此相邻(点 A，D，E 在直径 MN上，点 B，C,F 在半圆上，点

2、G 在 CD 上)，若正方形 DEFG 的面积为 9，求O 的半径。 【例【例 2】 如图， 点 P 是O 外的一点， 直线 PO 交O 于 A， B 两点， 点 C 为O 上的任意一点(不与点 A，B 重合).求证：PAPCPB. CABPO 题型二题型二 连半径，构等腰连半径，构等腰( (构构全等构构全等) ) 【例【例 3】 如图，AB 是O 的直径，AD，BE 的延长线交于点 C，若C60，试探究 DE 与 AB 的数量关系. 【例【例 4】 如图，AB，CD 是O 的两条弦，且交于点 P，当四边形 OAPC 为平行四边形时，求证：ABCD. 针对练习针对练习 1 1. 如图，点 A，

3、D，G，M 在半圆上(点 O 是圆心)，四边形 ABOC，DEOF，HMNO 均为矩形，设 BCa，EFb，NHc，则 a，b，c 的大小关系为 BEADCOOCDABPHADEGMNOCBF2. 图， AB 为O 的一固定直径， 它把O 分成上下两个半圆， 过上半圆上的一点 C 作弦 CDAB， OCD的平分线交O 于点 P，当点 C 在半圆上移动时，(不与 A，B 重合)，点 P（ ） AC 到 CD 的距离保持不变 B位置不变 C等分弧 AB D随 C 点移动而移动 3. 如图， O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E， 且AB2DE， 若E13， 则AOC 4. 如图，扇形 MON 的

4、半径为 7，MON60，点 A，B，C 分别在 OM，ON 及弧 MN 上，且ABC 使等边三角形.若 ABON，求 BC 的长. OCDABPDEABCOCNBOMA5. 如图，点 P 是O 内的一定点，直线 PO 交O 于 A，B 两点，点 C 为O 上的任意一点(不与 A，B两点重合)，求证：PAPCPB. 6. 如图，点 P 是ABC 的边 AB 的中点，分别以 AC，BC 为直径作半圆 O1,O2,在半圆上分别取点 E，F，使AO1EBO2F，求证：PEPF. 【板块二】【板块二】 回到回到“圆的定义圆的定义”中去中去 方法技巧方法技巧 若 O 是一个定点，且 OPr，则点 P 在以

5、 O 为圆心，r 为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形. 题型一题型一 四点共圆四点共圆 【例【例 1】 如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 的四条边的中点，求证：E，F，G，H 四点在同一个圆上. PBACOFECABPO1O2EDBAHFGC 【例【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，A90，AB53，BC8，CD6，AD5. (1)求证：A，B，C，D 四点在同一个圆上； (2)求(1)中圆的面积. 题型二题型二 求定点到动点的距离的最值求定点到动点的距离的最值( (或范围或范围) ) 【例【例 3

6、】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC22，点 D 在以 1 为半径的B 上，连接 CD，并将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90，得到对应线段 CE，连接 BE，求 BE 的长度的最小值. 【例【例 4】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，点 M 时边 AD 的中点，点 N 时边 AB 上的一动点，将AMN 沿直线 MN 翻折得到AMN，连接 AN，求 AC 的最小值. DABCADEBCCNMBADA 针对练习针对练习 2 1. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是 A矩形，平行四边形 B菱形，正方形 C正方形，直角梯形 D矩形，正方形 2. 在同一个平面上，

7、点 P 到院上的点的最大距离为 10，最小距离为 8，则该圆的半径为 3. 如图， 在 RtABC 中， ACB90， AC4， BC6， 点 D 是 BC 的中点， 点 E 是边 AB 上的一动点，把BDE 沿直线 DE 翻折，得到FDE，连接 AF，求 AF 的最小值. 4. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 D 是 AC 上的一点，且 DC2，点 E 是边BC 上的一动点，把CDE 沿直线 DE 翻折，得到CDE，求点 C到 AB 的最小距离. 5. 如图，线段 OB5，点 A 在 OB 上，OA2，点 P 是以 2 为半径的A 上的一动点，连接 PB，以 PB为

8、边作等边PBM(P，B，M 按逆时针方向排列)，连接 AM，求 AM 的取值范围. FBACEDEDABCCBOPAM6. 如图，点 D 时等边ABC 的边 BC 的中点，BC2，点 F 是一动点，DEDF，且 DE3DF3，指点 AE 与 CF 相交于点 M. (1)求证：A，D，C，M 在同一个圆上； (2)连接 BM，求线段 BM 的长的最大值和最小值. 【板块三】【板块三】 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 方法技巧方法技巧 (1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型； (2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系. 题型一题型一 过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段(

9、 (作弦心距作弦心距) ) 【例【例 1】 如图，在 O 中，已知直径 AB 的长为 2R，弦 CD 交 AB 于点 P，当点 P 在 AB 上运动时，始终保持APC45，问：222PCPDAB的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由. ABECDMFBACDOP 【例【例 2】 (1)如图 1，点 P 是O 内的一点，弦 ABOP，垂足为点 P，弦 CD 经过点 P，求证：CDAB； (2)如图 2，在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心的的圆经过点 A(13,0),直线 ykx3k4 与O 交于B，C 两点，求弦 BC 的长的最小值. 题型二题型二 连接圆心与弦连接圆心与弦( (

10、非直径非直径) )的中点的中点 【例【例 3】 (1)如图 1，点 A 时 O 上的一定点，B 是O 上的一动点，点 M 时弦 AB 的中点，求证：点 M 在OA 为直径的圆上； (2)如图 2，点 A，B，C 都在半径为 6 的O 上，且AOC120，点 M 是弦 AB 的中点，求 CM 的长度的最大值. 图1OPDCAB图2yxABCO图1BAOM图2BAOMC针对练习 3 1.如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 P， 且APC45 若 PC2PD28， O 的半径长为_. 2.如图，已知点 B，C 在O 上，点 A 在O 内，CBAOAB60，AB8，BC12，则O 的半径长

11、为_. 3在半径为 6 的O 中有一条长为 8 的弦 AB，点 P 是 AB 的中点，当弦 AB 的端点 A，B 在O 上运动一周时，点 P 运动所形成的图形是_. 4如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P 连接 OP，若 CP1，求 AB2CD2的值. PODCBAACBODEOBCAACBDOP5如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D. (1)求证：ACDB； (2)若 ACBC7，求圆环的面积 S 的值. 6如图正方形 ABCD 的顶点 A，D 和正方形 EFGH 的顶点 E，F 在以 5 为半径的O 上，点 GH 在线段

12、EC 上，若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 EGH 的边长. 【板块四】圆中角【板块四】圆中角 方法技巧方法技巧 圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理，圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧” 为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来. 题型一利用直径构直角，遇直角连直径题型一利用直径构直角，遇直角连直径 【例 1】如图，在半径为 R 的O 的内接四边形 ABCD 中，对角线 ACBD 于点 P，求证：AP2BP2CP2DP2为定值. ACBDOEODBCAHGODBCAFENMEFACBDOGHPODBCAEACBDOP 【例 2】如图，RtABC 中，ACB9

13、0，过 A，C 两点作O分别交 BC，AB 于点 D，E，若 CD1、AC3，且 E 为 AB 的中点，求 BD 的长. 题型二利用圆内接四边形转化与有关的角题型二利用圆内接四边形转化与有关的角 【例 3】如图，AB 是O 的直径，ACDC， CEDB 于点 E，求ABBDBE的值. 【例 4】如图，O1与O2都经过 A，B 两点，点 P 是O1上的一点，直线 PA，PB 分别与O2交于 C，D 两点，连接 CD，PO，求证：PO1CD. ODBCAEACBDOEODBCAFACBDOEPO1O2DBCAEFACBDO2O1P 针对练习针对练习 4 1.如图、 AB， AC， AD 都是O 的

14、弦， BAC60， DAC30， AB4， AD6， 则 CD 的长为_. 2.如图，ABC 内接于O， ADBC 于点 D，BEAC 于点 E，AD，BE 相交于点 H，若 BC6，AH4，则O 的半径长为_. 3.如图，四边形 ABCD 是半径为 R 的O 的内接正方形、点 P 是AD上的一动点(不与 A，D 重合)，连接PA，PB，PC，PD. (1)分别求PAPCPB，PCPAPD的值 (2)求证：PA2PB2PC2PD2为定值. ODBCAACBDOHEODBCAFACBDOEHPODBCA4.如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，DAB90，ABC60，BABC，经过 A，D，C

15、 三点的0 交 BC 于点 E，连接 DE 并延长，交 AB 的廷长线于点 F，连接 CF，DB. (1)求证：CFDB； (2)当 AD3时，求点 E 到 CF 的距离. 【板块五】弧的中点【板块五】弧的中点 方法技巧方法技巧 弧的中点有三种常见的处理方法：弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：弧的中点与圆上的另一点相连，构建内(外)角平分线. 题型一题型一 弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦 【例 1】如图，在O 中，AD 是直径，CD 为弦，点 B 是ADC的中点，若 AB85，CD12求 AD 的长.

16、 FEODBCAODBCAEACBDO 题型二题型二 弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形 【例 2】如图，AB 是O 的直径，点 D 是 AB 的中点，DC 是O 的弦，AMCD 于点 M，BNCD 于点N，(AMBN) (1)求证：CMAMDN； (2)若O 的半径为 5，CD72，求BNAM的值. (3)在(2)的条件下，求 ON 的长. 题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线 【例 3】已知 PA，PB 是O 的弦，弦 CDPA 于点 E (1)如图 1，若点 C

17、是劣弧AB的中点，求证：AEPEPB (2)如图 2，若点 C 是优弧AB的中点，试判断线段 AE，PE 与 PB 之间存在怎样的数量关系？证明你的结论. NMODBCAHACBDOMNEPODBCAPEODBCA针对练习针对练习 5 1.如图，AB 是O 的，BC 是O 的直径，点 D 是AB的中点，弦 CD 交 AB 于点 P，若 AB4，BC5，求 DP 的长 2.如图，ABC 内接于0，点 D 是BAC的中点，DEAB 于点 E，求ABACAE的值. 3.如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是O 上的一点，且BAC2ECA (1)求证

18、：ECED； (2)连接 BE，AE，若 AD6，CE45，求ABE 的面积. PODBCAEACBDOPEODBCAFACBDOEEODBCAGACBDOE 4.如图，四边形 AECD 内接于O，ABDCAD45，BD72，设点 B 关于 CD 的对称为 E，连接 AE，若 BC8，求 AE 的长. 第二十四章第二十四章圆圆 第第 15 讲讲 圆的有关性质圆的有关性质 知识导航知识导航 1. 与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上； 2. 垂径定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。 【板块一】【板块一】 半径的运用半径的

19、运用 方法技巧方法技巧 利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。 题型一题型一 利用半径相等作等量代换利用半径相等作等量代换 【例【例 1】 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 彼此相邻(点 A，D，E 在直径 MN上，点 B，C,F 在半圆上，点 G 在 CD 上)，若正方形 DEFG 的面积为 9，求O 的半径。 【解析】 连接 OB，OC，OF，则AOBDOC(HL) EODBCAFACBDOEOAODAD，设 OAODa，则 ADCD2a，OEa3， 在 RtODC 和 RtOEF 中，a2(2a)2OC2OF2(a3)232, a

20、3 或32(舍去)，OC222aa5a35，即O 的半径为 35. 【解析】 通过等半径 OC，OF 结合勾股定理列方程. 【例【例 2】 如图， 点 P 是O 外的一点， 直线 PO 交O 于 A， B 两点， 点 C 为O 上的任意一点(不与点 A，B 重合).求证：PAPCPB. 【解析】 连接 OC，POOCPCPCOC，OAOBOC, POOAPCPOOB，PAPCPC. 【解析】 点 P 到O 上的点的最小距离是 PA 的长，点 P 到O 上的点的最大距离是 PB 的长. 题型二题型二 连半径，构等腰连半径，构等腰( (构构全等构构全等) ) 【例【例 3】 如图，AB 是O 的直

21、径，AD，BE 的延长线交于点 C，若C60，试探究 DE 与 AB 的数量ABCDEFGMNOCABPOOPBAC关系. 【解析】 连接 OD，OE，C60，AB120，设Ax，By，ODOAOBOE，ODAAx，OEBBy，AODDOE1802x1802y3602(xy)120，DOE60，ODE 是等边三角形，DEOE12AB. 【例【例 4】 如图，AB，CD 是O 的两条弦，且交于点 P，当四边形 OAPC 为平行四边形时，求证：ABCD. 【解析】 连接 OB，连接 OD.证OABOCD 即可. BEADCOOCDAEBOCDABP 针对练习针对练习 1 1. 如图，点 A，D，G

22、，M 在半圆上(点 O 是圆心)，四边形 ABOC，DEOF，HMNO 均为矩形，设 BCa，EFb，NHc，则 a，b，c 的大小关系为 【解析】 连接 OD，OA，OM. 2. 图， AB 为O 的一固定直径， 它把O 分成上下两个半圆， 过上半圆上的一点 C 作弦 CDAB， OCD的平分线交O 于点 P，当点 C 在半圆上移动时，(不与 A，B 重合)，点 P（ ） AC 到 CD 的距离保持不变 B位置不变 C等分弧 AB D随 C 点移动而移动 【解析】 连接 OP. PBADCOHADEGMNOCBFFBCONMGEDAHOCDABP 3. 如图， O的弦CD与直径AB的延长线相

23、交于点E， 且AB2DE， 若E13， 则AOC 【解析】 连接 OD. 4. 如图，扇形 MON 的半径为 7，MON60，点 A，B，C 分别在 OM，ON 及弧 MN 上，且ABC 使等边三角形.若 ABON，求 BC 的长. 解：连接 OC，设 OBa，ABBCAC3a， 在 RtAOC 中，(2 a)2(3a)272，a7，BC3a21. OCADPBDEABCOOCBAEDCNBOMA 5. 如图，点 P 是O 内的一定点，直线 PO 交O 于 A，B 两点，点 C 为O 上的任意一点(不与 A，B两点重合)，求证：PAPCPB. 证明：证法同例 2. 6. 如图，点 P 是ABC

24、 的边 AB 的中点，分别以 AC，BC 为直径作半圆 O1,O2,在半圆上分别取点 E，F，使AO1EBO2F，求证：PEPF. 证明：连接 PO1,PO2,证PO1EFO2P(SAS). AMOBNCPBACOOCABPFECABPO1O2 【板块二】【板块二】 回到回到“圆的定义圆的定义”中去中去 方法技巧方法技巧 若 O 是一个定点，且 OPr，则点 P 在以 O 为圆心，r 为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形. 题型一题型一 四点共圆四点共圆 【例【例 1】 如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 的

25、四条边的中点，求证：E，F，G，H 四点在同一个圆上. 【解析】【解析】 连接 AC， BD 相交于点 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACCD， ABBCCDAD， 连接 OE，OF，OG，OH，点 E 是 AB 的中点，OE12AB，同理可证：OF12BC，OG12CD，OH12AD，OEOFOGOH，E，F，G，H 四点在以点 O 为圆心的同一个圆上. 【点评】【点评】 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上. 【例【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，A90，AB53，BC8，CD6，AD5. (1)求证：A，B，C，D 四点在同一个圆上； (2)求(1)中圆的面积. O2O1PB

26、ACEFEDBAHFGCCGFHABDEO 【解析】【解析】 (1)连接 BD，则 BD22ADAB10，CD2BC2BD2，BCD90，取 BD 的中点O，连接 OC，OA，则易证 AOBOCODO，点 A，B，C，D 在同一个圆上； (2)25. 题型二题型二 求定点到动点的距离的最值求定点到动点的距离的最值( (或范围或范围) ) 【例【例 3】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC22，点 D 在以 1 为半径的B 上，连接 CD，并将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90，得到对应线段 CE，连接 BE，求 BE 的长度的最小值. 【解析】【解析】 连接 BD，AE，证CDBC

27、EA，AEBD1，点 E 在以 1 为半径的A 上运动，BE的长度的最小值为 BA1，BA2BC4，BE 的长度的最小值为 3. 【点评】【点评】 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上. DABCCBADOADEBCADEBC【例【例 4】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，点 M 时边 AD 的中点，点 N 时边 AB 上的一动点，将AMN 沿直线 MN 翻折得到AMN，连接 AN，求 AC 的最小值. 【解析】【解析】 MNMA1，点 A在以 1 为半径的 M 上运动，当点 A在 CM 上时，AC 的长最小， 最小值为 MC1， 过点 C 作 CEAD， 垂足为点 E， D

28、E12DC1， CE3， MC22MECE7,AC 的最小值为71. 针对练习针对练习 2 1. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是 A矩形，平行四边形 B菱形，正方形 C正方形，直角梯形 D矩形，正方形 2. 在同一个平面上，点 P 到院上的点的最大距离为 10，最小距离为 8，则该圆的半径为 3. 如图， 在 RtABC 中， ACB90， AC4， BC6， 点 D 是 BC 的中点， 点 E 是边 AB 上的一动点，把BDE 沿直线 DE 翻折，得到FDE，连接 AF，求 AF 的最小值. 解：由翻折知 DFDB12BC3，点 F 在以 3 为半径的D 上，连接 AD，则当点 F

29、 在 AD 上时，AF的长最小，AD22ACCD5，AF 的最小值为 AD32. CNMBADAADABMNCEFBACED 4. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 D 是 AC 上的一点，且 DC2，点 E 是边BC 上的一动点，把CDE 沿直线 DE 翻折，得到CDE，求点 C到 AB 的最小距离. 解：由翻折知 DCDC2，点 C在以 2 为半径的D 上，过 D 作 DGAB，垂足为点 G，垂线段最短， 当点 C在 DG 上时， 点 C到 AB 的距离最小， 最小距离 CGDG2， 连接 DB， ABDGADBC2SABD，DGAD BCAB4810165，点 C

30、到 AB 的最小距离为165265 5. 如图，线段 OB5，点 A 在 OB 上，OA2，点 P 是以 2 为半径的A 上的一动点，连接 PB，以 PB为边作等边PBM(P，B，M 按逆时针方向排列)，连接 AM，求 AM 的取值范围. 解:以 AB 为边作等边ABQ(点 A，B，Q 按逆时针方向排列)，连接 AP，QM，则BAPBQM，QMAP2，点 M 在以 2 为半径的Q 上，当点 M 在 AQ 的延长线上时，AM 的最大值为 AQ2；当点DECABFEDABCCEDABCCGBOPAMM 在线段 AQ 上时，AM 的最小值为 AQ2，AQAB3，AM 的取值范围是 1AM5. 6.

31、如图，点 D 时等边ABC 的边 BC 的中点，BC2，点 F 是一动点，DEDF，且 DE3DF3，指点 AE 与 CF 相交于点 M. (1)求证：A，D，C，M 在同一个圆上； (2)连接 BM，求线段 BM 的长的最大值和最小值. 解：(1)连接 AD，则 ADBC，EDF90，ADECDF，DE3AD，DFDC1，DAEDEADCFDFC， EMFEDF90.取AC得中点O,则OAODOCOM12AC,点 A，D，C，M 在以 AC 为直径的O 上; (2)连接 BO，则 BO3AQ3，点 M 在以 1 为半径的O 上，当点 M 在 BO 的延长线上时，BM的最大值为 BO131；当

32、点 M 在线段 BO 上时，BM 的最小值为 BO131 【板块三】【板块三】 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 BOPAMQABECDMFFMDCEBAO方法技巧方法技巧 (1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型； (2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系. 题型一题型一 过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段( (作弦心距作弦心距) ) 【例【例 1】 如图，在 O 中，已知直径 AB 的长为 2R，弦 CD 交 AB 于点 P，当点 P 在 AB 上运动时，始终保持APC45，问：222PCPDAB的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由. 【解析】【解析】

33、 过点 O 作 OECD，垂足为点 E，连接 OC，则 DECE，设 DECEa，OEPEb，PCab，PDab，PC2PD2(ab)2( ab)22( a2b2).在 RtOCE 中，OC2CE2OC2,a2b2R2,PC2PD22 R2，222PCPDAB12. 【例【例 2】 (1)如图 1，点 P 是O 内的一点，弦 ABOP，垂足为点 P，弦 CD 经过点 P，求证：CDAB； (2)如图 2，在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心的的圆经过点 A(13,0),直线 ykx3k4 与O 交于B，C 两点，求弦 BC 的长的最小值. BACDOPPODCABE 【解析】【解析】 (1)

34、过 O 作 OGCD，垂足为点 G，则 CGDG12CD，连接 OA,OD,OPAB，APPB12AB，设O 的半径为 r，则 AB2AP222rOP，CD2DG222rOG,在 RtOPG 中，OPOG，22rOG22rOP，CDAB. (2)直线 ykx3k4(x3)k4，经过顶点 P(3,4)，由(1)知当 BCOP 时，BC 的长最小，连接 OB，易求 OP5，BP12，BC2BP24. 题型二题型二 连接圆心与弦连接圆心与弦( (非直径非直径) )的中点的中点 【例【例 3】 (1)如图 1，点 A 时 O 上的一定点，B 是O 上的一动点，点 M 时弦 AB 的中点，求证：点 M

35、在OA 为直径的圆上； (2)如图 2，点 A，B，C 都在半径为 6 的O 上，且AOC120，点 M 是弦 AB 的中点，求 CM 的长度的最大值. 图1OPDCAB图2yxABCOGBACDPO图1OCBAPxy 【解析】【解析】 (1)连接 OM，M 是 AB 的中点，OMAB，连接 AO，取 OA 得中点 O1，连接 O1M，则 O1AO1OO1M，点 M 在以 OA 为半径的 O1上， (2)由(1)知： 点 M 在以 OA 为直径的 O1 上， 当点 M 时 CO1的延长线于圆 O1的交点时， CM 的长度最大；过点 C 作 CHAO，垂足为 H，CO1221OHCH2263 3

36、37，CM 的长度的最大值为373. 针对练习 3 1.如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 P， 且APC45 若 PC2PD28， O 的半径长为_. 图1BAOM图2BAOMCO1MOABCHO1MOABPODCBA答案：2.由例题 1 知 PC2PD22R28，R2. 2.如图，已知点 B，C 在O 上，点 A 在O 内，CBAOAB60，AB8，BC12，则O 的半径长为_. 答案：延长 AO 交 BC 于点 D，则ABD 是等边三角形，BDAE8，过点 O 作 OEBC 于点 E，则 BE12BC6，DE2，OE23，连接 OB，OB22OEBE43. 3在半径为 6 的

37、O 中有一条长为 8 的弦 AB，点 P 是 AB 的中点，当弦 AB 的端点 A，B 在O 上运动一周时，点 P 运动所形成的图形是_. 答案：以点 O 为圆心，以 25为半径的圆.连接 OP，OA，则 OPAB，APAB4，OP22OAAP25，点 P 运动所成的图形是：以点 O 为圆心，以 25为半径的圆. 4如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P 连接 OP，若 CP1，求 AB2CD2的值. 答案：过点 O 作 OEAB，OFCD，垂足分别为点 E，F，连接 OA，OD，则 AEBE，CFDF， 易得 AB24AE24(OA2OE2)，CD24DF24(

38、OD2OF2)，AB2CD24(OA2OD2)4(OE2OF2)， OE2OF2PF2OF2OP2，AB2CD228. 5如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D. (1)求证：ACDB； ACBODEOBCAACBDOPFEPODBCA(2)若 ACBC7，求圆环的面积 S 的值. 答案：(1)过点 O 作 OEAB 于点 E，则 AEBE，CEDE，ACDB； (2)连接 OA，OC，则 OA2AE2OE2，OC2CE2OE2，OA2OC2AE2CE2(AECE)(AECE)ACAD，ACDB，ADBC，S(OAOC)7 6如图正方形 ABCD 的顶点 A

39、，D 和正方形 EFGH 的顶点 E，F 在以 5 为半径的O 上，点 GH 在线段EC 上，若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 EGH 的边长. 答案：过点 O 作 OPBC，分别交 BC，AD，FF 于点 P，M，N，则 OMAD，ONEF，连接 OD，OF，在 RtOMD 中， OM22ODMD4， OPPMOM2， 设 NFa， 则 EFPN2a， ON2a2，在 RtONF 中，a2(2a2)252，a75或3(舍去)，EF2a145，即正方形 EFGH 的边长为145. 【板块四】圆中角【板块四】圆中角 方法技巧方法技巧 圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理

40、，圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧” 为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来. 题型一题型一利用直径构直角，遇直角连直径利用直径构直角，遇直角连直径 【例 1】如图，在半径为 R 的O 的内接四边形 ABCD 中，对角线 ACBD 于点 P，求证：AP2BP2CP2DP2为定值. ACBDOEODBCAHGODBCAFENMEFACBDOGH 答案：作直径 CE，连接 ED，则CDE90，CD2ED2CE24R2， CBDCED，BPCCDE90， BCAECD，=AB ED，ABED，AB2CD24R2， AP2BP2CP2DP24R2即为定值. 【例 2】如图，RtABC 中，

41、ACB90，过 A，C 两点作O分别交 BC，AB 于点 D，E，若 CD1、AC3，且 E 为 AB 的中点，求 BD 的长. 答案：连接 AD，DE，AD22ACCD10，BD10. 题型二利用圆内接四边形转化与有关的角题型二利用圆内接四边形转化与有关的角 【例 3】如图，AB 是O 的直径，ACDC， CEDB 于点 E，求ABBDBE的值. 答案：连接 CA，CD，AD，CB，过点 C 作 CFAB 于点 F，证CBECADCDACBA， CBECBF，BEBF，CECF，CAFCDE， AFED，ABBD(AFBF)(DEBE)2BE ，ABBDBE2. PODBCAEACBDOPO

42、DBCAEACBDOEODBCAFACBDOE 【例 4】如图，O1与O2都经过 A，B 两点，点 P 是O1上的一点，直线 PA，PB 分别与O2交于 C，D 两点，连接 CD，PO，求证：PO1CD. 答案：延长 PO1交O1于点 E，交 CD 于点 F，连接 AB，EB，证DPABPEB， PE 是直径，PFBFPD90，PO1CD. 针对练习针对练习 4 1.如图、 AB， AC， AD 都是O 的弦， BAC60， DAC30， AB4， AD6， 则 CD 的长为_. 答案：连接 BD，BC，则 BD 是O 的直径，DBCDAC30，BCD90，CD12BD13 2.如图，ABC

43、内接于O， ADBC 于点 D，BEAC 于点 E，AD，BE 相交于点 H，若 BC6，AH4，则O 的半径长为_. 答案：作直径 CF，连接 FA，FB易证 AFBE，BFAD，四边形 AHBF 为平行四边形，AHBF4，CF213，O 的径为13. PO1O2DBCAEFACBDO2O1PODBCAACBDOHEODBCAFACBDOEH3.如图，四边形 ABCD 是半径为 R 的O 的内接正方形、点 P 是AD上的一动点(不与 A，D 重合)，连接PA，PB，PC，PD. (1)分别求PAPCPB，PCPAPD的值 (2)求证：PA2PB2PC2PD2为定值. 答案：连接 AC，BD则

44、 AC，BD 是O 的直径，APCBPD90， PA2PC2AC24R2，PB2PD2BD24R2，PA2PB2PC2PD28R2即为定值. 4.如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，DAB90，ABC60，BABC，经过 A，D，C 三点的0 交 BC 于点 E，连接 DE 并延长，交 AB 的廷长线于点 F，连接 CF，DB. (1)求证：CFDB； (2)当 AD3时，求点 E 到 CF 的距离. 答案： (1)连接 AC， AE， ABC 是等边三角形， 证AECADC90， CEBE， ECDEBF，DEEF，四边形 CDBF 平行四边形，CFBD；(2)过点 E 作 EHCF 于

45、点 H， ABC 是等边三角形，CAD30，CD1，ACAB2， BDCF22ADAB7，SEFC12SFBC34， 12CFEH34，EH2114，点 E 到 CF 的距离为2114. 【板块五】弧的中点【板块五】弧的中点 方法技巧方法技巧 PODBCAFEODBCAHACBDOEF弧的中点有三种常见的处理方法：弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：弧的中点与圆上的另一点相连，构建内(外)角平分线. 题型一题型一 弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦 【例 1】如图，在O 中，AD 是直径，CD 为弦，点 B

46、 是ADC的中点，若 AB85，CD12求 AD 的长. 答案：连接 AC，BO 并延长交 AC 于 E，连接 BC，证 BEAC，OE12CD6，设O 的半径为 R，则(85)2(R6) 2AE2R262，R10 或 R16(舍去)，AD2R20. 题型二题型二 弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形 【例 2】如图，AB 是O 的直径，点 D 是 AB 的中点，DC 是O 的弦，AMCD 于点 M，BNCD 于点N，(AMBN) (1)求证：CMAMDN； (2)若O 的半径为 5，CD72，求BNAM的值. (3)在(2)的条件下，求

47、 ON 的长. 答案：(1)连接 DA，DB，则 DADB，ADB90，连接 CA，CB，则ACDECD45，CMAM，证DAMBDN，AMCMDN. (2)由(1)可设CMAMDNx， 则DMCDCM72x， 在RtADM中， x2(72x)2(52)2，解得 x132或 x242，AMBN，BNAM43 ODBCAEACBDONMODBCAHACBDOMN(3)延长 NO 交 BC 于 H， NCNB， OCOB，NO 垂直平分 BC，OH12AC3，又NH22BN4，ONNHOH1. 题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线

48、 【例 3】已知 PA，PB 是O 的弦，弦 CDPA 于点 E (1)如图 1，若点 C 是劣弧AB的中点，求证：AEPEPB (2)如图 2，若点 C 是优弧AB的中点，试判断线段 AE，PE 与 PB 之间存在怎样的数量关系？证明你的结论. 答案：(1)过点 C 作 CFBP，垂足为点 F，连接 CA，CB，AB，CP，证CPACBACABCPF，PCEPCF，CAECBF， PFPE，BFAE，AEBFBPPFPEBP. (2)结论:AEPEPB，过点 C 作 CFPB，垂足为 F，连接 CA，CB，CP， PCEPCF,CAECBF,AEBF, PEFP,ABBFPFPBPEPB.

49、针对练习针对练习 5 1.如图，AB 是O 的，BC 是O 的直径，点 D 是AB的中点，弦 CD 交 AB 于点 P，若 AB4，BC5，求 DP 的长 答案：连接 OD 交 AB 于点 E，则 ODAB，BE12AB2，OE22OBBE32，DE1，连接BD，则PDB90，BD22DEBE5，设 PEx，则 PBx2，(x2)2(5)2DP212x2，x12，DP52. EPODBCAPEODBCAFACBDOPEFACBDOEPPODBCAEACBDOP2.如图，ABC 内接于0，点 D 是BAC的中点，DEAB 于点 E，求ABACAE的值. 答案：连接 DB，DC，过点 D 作 DF

50、CA 交 CA 的延长线于点 F，证DAFDBCDCBDAE，ADEADF，DBEDCF，AEAF，BECF，ABAC(AFBE)(CFAF)AEAF2AE，即ABACAE2. 3.如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是O 上的一点，且BAC2ECA (1)求证：ECED； (2)连接 BE，AE，若 AD6，CE45，求ABE 的面积. 答案：(1)连接 CD，OE，则ADC90，AOE2ECABAC，OEAB，EOCD， ECED . (2)延长 EO 交 CD 于点 G，则 DGCG，OG12AD3，设O 的半径为 r，则 r232CG