第13讲旋转中的最值路径长 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第 13 讲旋转中的最值、路径长讲旋转中的最值、路径长 【板块一】旋转最值 题型一 运用垂线段最短求最值 【例 1】如图，等边ABC 边长为 6，点 E 是中线 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 FC，连接 DF，在点 E 运动过程中，DF 的最小值为 . 【例 2】如图，点 B（0，3） ，点 A 为 x 轴上一动点，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得 AC，连接 OC，求 OC 长的最小值. 题型二 运用两边之和大于第三边求最值 【例3】如图，在直角ABC中，ACB90，BCAC5，BP2，将PC绕点C逆时针旋转90得 线段CD，连接B

2、D，当BP绕点B旋转时，线段BD的最小值为 . BACxyOCABPD【例 4】如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，BCCA.若 AC52，点 P 为 BC 的中点，动点 Q 满足 PQ3，将线段 AQ 绕点 A 逆时针旋转 90到线段 AM，连 PM，则线段 PM 的最小值为 . 题型三 运用中线，中位线求最值 【例 5】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线交于点 O，把边 BA，CD 分别绕点 B，C 以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形 ABCD 的形状也随之发生改变，AC 与 DB 交于点 O，那么在旋转的过程中，求 AO的最大值. 题型四 运用平移、轴对称结合旋转

3、求最值 【例 6】如图，在等腰ABC 中，BAC120，ABAC62，点 D 在边 BC 上，CD2，将线段CD 绕点 C 逆时针旋转（其中 0360）得到 CE，连接 AE，以 AB，AE 为边作ABFE，连接 DF，则 DF 的最大值为（ ） A.615 B.214 C.262 D.226 BCAMQPBADCODAOCADEBF针对练习 1 1.如图，在ABC 中，C90，BC6，AC10，D 为线段 AC 上一动点，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 90.点 B 的对应点为点 E，连接 AE，求 AE 长的最小值. 2.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的

4、坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得 PM，求 AM 长的最大值. 3.如图，边长为4的正方形ABCD外有点E ，AEB90，F为DE的中点，连接CF.求CF的最大值. ACBDExAMBPyOFEDCBA【板块二】旋转图形中动点的路径与动线段的取值范围 题型一 旋转图形中点的运动路径 【例1】在平面直角坐标系中，点C沿某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90到点B(m，1)，若5m5，求点C运动的路径长. 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y13x1 分别交 x 轴，y 轴于点 B，点 A，点 M

5、为直线 AB 上一动点，连接 OM，将线段 OM 绕点 M 逆时针旋转 90，点 O 的对应点为点 N.当点 M 运动时，判断点 N的运动路线是什么图形，并说明理由. 题型二 旋转图形中变量的取值范围 【例3】在RtABC中，ACB90，ACBC，D，E分别在AC，BC上，DEAB，CFDE于点F，AC6，CF4，G是AE中点. （1）如图1，直接写出FG，BE的数量关系和位置关系为 ； （2）如图2，将CFE绕点C旋转，在旋转过程中，线段GF的取值范围是 . yxABCMNO-55yxNMBAO图1ABCDEFG图2ABCEFG 针对练习2 1.如图，矩形ABCD中，BC2AB8.点M，N分

6、别为AD，BC的中点，连接MN，点P是BC边上的动点，将PM绕点P顺时针方向旋转90得PE，当点P从点B运动到点C的过程中，点E运动的路径长为 . 2.如图，一副含30角和45角的三角板ABC和DEF叠E在一起，边BC与EF重合，BCEF12cm，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，将DEF绕点G按顺时针方向旋转，旋转角度从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 . 3.如图，在RtABO中，BOA90，AO6，BO8，动点P从点A开始沿边AO向点O以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点O开始沿边OB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ.点P，Q分别从点A，O

7、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长. NMPABCDEFHC(F)GDB(E)AGFEDCBAyxOMPQAB第第 13 讲讲 旋转中的最值、路径长旋转中的最值、路径长 【板块一】旋转最值 题型一 运用垂线段最短求最值 【例 1】如图，等边ABC 边长为 6，点 E 是中线 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 FC，连接 DF，在点 E 运动过程中，DF 的最小值为 . 【解析】取 AC 的中点 G，连接 EG，在DCF 和GCE 中，CECF，DCFGCE， DCFGCE（SAS

8、），DFEG.根据垂线段最短，EGAD 时，EG 最短，即 DF 最短， 306021CAD，362121ACAG，EG 的最小值为5 . 132121AG， DF 的最小值为 1.5. 【例 2】如图，点 B（0，3） ，点 A 为 x 轴上一动点，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得 AC，连接 OC，求 OC 长的最小值. 【解析】在 x 轴正半轴上取点 F，使 OFOB3，延长 CF 交 y 轴于点 D，在 OB 上截取 OEOA. 证AFCBEA. CFAAEB135，得点 C 在直线 DF 上运动，ODF 为等腰 直角三角形，当 OCDF 时 OC 最小为22323. 题型二

9、 运用两边之和大于第三边求最值 【例3】如图，在直角ABC中，ACB90，BCAC5，BP2，将PC绕点C逆时针旋转90得 线段CD，连接BD，当BP绕点B旋转时，线段BD的最小值为 . 【解析】连接 AP，DCBPCA（SAS） ，APBD，当点 P 在 AB 的延长线上时， BACEFDGBACxyOBACEFDxyOCABPDCABPDAP 的最大值ABPB252，BD 的最大值为225. 【例 4】如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，BCCA.若 AC52，点 P 为 BC 的中点，动点 Q 满足 PQ3，将线段 AQ 绕点 A 逆时针旋转 90到线段 AM，连 PM，则线段

10、PM 的最小值为 . 【解析】连接 AP，将 AP 绕点 A 逆时旋转 90到 AN，连接 PN，MN.易证APQANM，MNPQ3，APAN522 PCAC，PN2AP25，325MNPNPM，PM 最小值为325. 题型三 运用中线，中位线求最值 【例 5】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线交于点 O，把边 BA，CD 分别绕点 B，C 以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形 ABCD 的形状也随之发生改变，AC 与 DB 交于点 O，那么在旋转的过程中，求 AO的最大值. 【解析】首先证 ABCD，得四边形 ABCD为菱形，ACBD.取 BC 的中点 G，连接 AG，OG，

11、则 OGBC211，AG51222，在AOG 中，1515AO，故 AO的最大值为15 . 题型四 运用平移、轴对称结合旋转求最值 【例 6】如图，在等腰ABC 中，BAC120，ABAC62，点 D 在边 BC 上，CD2，将线段CD 绕点 C 逆时针旋转（其中 0360）得到 CE，连接 AE，以 AB，AE 为边作ABFE，连接 DF，则 DF 的最大值为（ ） A.615 B.214 C.262 D.226 【解析】过点 C 作 COAB，COAB，连接 OF，则四边形 COFE 为平行四边形，COEFAB62， BCAMQPBCAMQPNBADCODAOBADCODAOGCADEBF

12、CADEBFOHOFCECD2，连接 DO，则 DFODOF，由 OC/AB，得BCOABC30，过点 O 作 OHBC 于点 H，则 OH621OC，2322OHOCHC，又 DC2，故 HD22，1422HDOHOD，因 DFODOF，而 ODOF214 ，故214 DF，DF 的最大值为214 . 针对练习 1 1.如图，在ABC 中，C90，BC6，AC10，D 为线段 AC 上一动点，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 90.点 B 的对应点为点 E，连接 AE，求 AE 长的最小值. 解： 在 AC 上取点 F,使 CFBC6.在 CB 上取点 G， 使 CGCD， 可证DEFBD

13、G， EFDBGD135，AFE45，得点 E 在直线 FE 上运动，且 AEFE 时，AE 的最小值为222610. 2.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得 PM，求 AM 长的最大值. 解：将APM 绕点 P 顺时针旋转 90得NPB，连接 AN，则 BNAM，ANP 为等腰直角三角形， 222PAAN，又3AB.在ANB 中，223223BN，即 AM 长的最大值为223. 3.如图，边长为4的正方形ABCD外有点E ，AEB90，F为DE的中点，连接CF.求

14、CF的最大值. 解： ACBDEACBDEFGxAMBPyOxAMBNPyOFEDCBA 取 AB 的中点 G，过点 G 作 GNCD 于点 N，延长 DC 至点 M，使 CMCD，则 MN6，GN4，GM226 +4213， 又 EG12AB2， 在EMG 中， EG2132， 而 FC12EM， 故 FC131，CF 的最大值是131. 【板块二】旋转图形中动点的路径与动线段的取值范围 题型一 旋转图形中点的运动路径 【例1】在平面直角坐标系中，点C沿某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90到点B(m，1)，若5m5，求点C运动的路径长. 【解析】 如图， 过点 C

15、作 MNy 轴， ANMN 于点 N， BMMN 于点 M， 则CANBCM， ANCM， CNBM，ANxc， CMyC1， CN4 yC， BMxCm， 解得 xC32m， yC52m， 5m5， 2m38，1xC4，yCxC1，当 xC1 时，C(1，0)；当 xC4 时，C(4，5)；点 C 的运动路径为224( 1)5 52. 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 y13x1 分别交 x 轴，y 轴于点 B，点 A，点 M 为直线 AB 上一动点，连接 OM，将线段 OM 绕点 M 逆时针旋转 90，点 O 的对应点为点 N.当点 M 运动时，判断点 N的运动路线是什么图形，并说

16、明理由. 【解析】 CNMABDEFGyxABCMNO-55yxNMBAO 点 N 在直线 y12x32上运动，理由如下：设 M(m，13m1)，过点 M 作 MCOB 于点 C，过点 N 作NDMC 于点 D，可证OCMMDN，OCMDm，NDCM113m，D(m，123m)，N(43m1，123m） ，xN43m1，yN123m，由2 得：243m43m1xN2yN，xN2yN 3，yN 12x32 题型二 旋转图形中变量的取值范围 【例3】在RtABC中，ACB90，ACBC，D，E分别在AC，BC上，DEAB，CFDE于点F，AC6，CF4，G是AE中点. （1）如图1，直接写出FG，

17、BE的数量关系和位置关系为 ； （2）如图2，将CFE绕点C旋转，在旋转过程中，线段GF的取值范围是 . 【解析】（1）FG12BE，且 FGBE； （2）延长 EF 至点 D，使 DFEF，连接 AD，易得 FG12AD，在 RtCDE 中，CD42.由旋转得，当点 D 在边 AC 上时，AD 最小，最小值为 ACCD642，FG 最小12AD322，当点 D 在边AC 延长线时， AD 最大， AD 最大值为 ACCD642， FG最大12AD322， 322FG322. 针对练习2 1.如图，矩形ABCD中，BC2AB8.点M，N分别为AD，BC的中点，连接MN，点P是BC边上的动点，将

18、PM绕点P顺时针方向旋转90得PE，当点P从点B运动到点C的过程中，点E运动的路径长为 . 解： yxOABCDMN图1ABCDEFG图2ABCEFGNMPABCDEF 过点E作EFBC于点F，是长MN，CE交于点G，证PMNEPF，PF MNNC，可证 EFFC.BCE45，即点E在BCD外角平分线上运动，运动径为GCCQ82. 2.如图，一副含30角和45角的三角板ABC和DEF叠E在一起，边BC与EF重合，BCEF12cm，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，将DEF绕点G按顺时针方向旋转，旋转角度从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 . 解： 如图，当旋转角

19、从0到30时，H运动路径为HH1，当旋转角从30到60时，H运动路径为H1H2，所以H移动的路径长为HH1 H1H22HH1HH22(9315)63(12312)12318. 3.如图，在RtABO中，BOA90，AO6，BO8，动点P从点A开始沿边AO向点O以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点O开始沿边OB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ.点P，Q分别从点A，O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长. 解：以 O 为原点 OA 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系，设运动时间为 t.则 PAt，OP6t，OQ2t，线段 PQ 的中点 M(62t，t)，由 02t8，0t6，得 0t4.又 xM62t，yMt，故 yw2xM6，GFEDCBAPMNQHC(F)GDB(E)AGFEDCBAH1H2HD1E1ABCDEFGyxOMPQABt4 时，M(1，4)，t0 时，M(3，0)，故点 M 所经过的路径为22(3 1)425.