第14讲旋转图形综合探究 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第第14讲讲 旋转图形综合探究旋转图形综合探究 考点一 轴对称与中心对称图形 1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 2. 把一个图形绕着某一个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 3. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 关于中心对称的两个图形是全等图形. 4. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号嫌烦，即点关于原点的对称点为. 考点二 以等边三角形为背景的旋转问题 举例：举例： 如图，BCM 中，BMC12

2、0 ，以 BC 为边向三角形外作等边ABC，把ABM 绕着点 A 按逆时针方向旋转 60 到CAN 的位置. 举例：举例：如图，已知ABC 为等边三角形，M 为三角形外任意一点 1P),(1yxP举例：举例：已知：如图，P 为等边三角形 ABC 内一点求相应的度数. 考点三 以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题 举例：举例： 举例：举例：如图，在正方形 ABCD 中，EDF=45 举例：举例：如图，D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上一点 【例1】如图1，已知等边ABC，过点B作BGAC于点G，D为AB上一点，EDBC交BG的延长线于点E.如图2，将BDE绕点B顺时针旋转，取AE

3、的中点M，连接DM，CM，试确定DM与CM的关系. 【例2】在ADC中，DADC4，ADC120 . （1）如图1，求AC的长； （2）如图2，M为AC上一动点（M不与点A，C重合），将AM绕点A逆时针旋转60 得AN，连接NC，DM，Q为NC的中点，连接DQ. 求证：DM2DQ； 当点M在AC上运动时，直接写出AM4DQ的最小值为 . 【例3】如图.在ABC中，ACB30 . （1）如图1，ABAC2，求BC的长； （2）如图2，ABAC，点P是ABC内一点，且PA2，PB21，PC3.求APC的度数； （3）如图3，点P为ABC内一点，AC4，AB7（CBCA），求PAPBPC的最小值.

4、图1GFEDCBAM图2ABCDE图1DCADCAMNQ图2B图1CAACD图2BPABC图3P针对练习 1.已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM. （1）如图1，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，直接写出你的结论； （2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转， 使D， E， F三点在一条直线上， 若AB13， CE5， 请画出图形，并直接写出MF的长. 2.在等腰直角ABC和DEC中，DECE，ACAB，CEDCAB90 .

5、（1）将ADCE绕点C旋转至如图1位置，N是BD中点，试探究EN与AN的关系并证明你的结论； （2）如图 2，M 是 CD 的中点，求AMBE的值. 图1MGFEDCBA图2MABCDEFG备用图1ACDB备用图2ABCDABCDEN图1MEDCBA图23.如图，等边ABC与等腰三角形EDC有公共顶点C，其中EDC120 ，ABCE26，连接BE，P为BE的中点，连接PD，AD. （1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系； （2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请

6、说明理由； （3）如图3，若ACD45 ，求PAD的面积. 第第 1414 讲讲 旋转图形综合探究旋转图形综合探究 考点一 轴对称与中心对称图形 1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 2. 把一个图形绕着某一个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 3. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 关于中心对称的两个图形是全等图形. 4. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号嫌烦，即点关于原点的对称点为. 考点二 以等

7、边三角形为背景的旋转问题 举例：举例： 如图，BCM 中，BMC120 ，以 BC 为边向三角形外作等边ABC，把ABM 绕着点 A 按逆时针方向旋转 60 到CAN 的位置. 图1PABCDE图2PDCBA(E)图3EDCBAP1P),(1yxP 举例：举例：如图，已知ABC 为等边三角形，M 为三角形外任意一点 举例：举例：已知：如图，P 为等边三角形 ABC 内一点求相应的度数. 考点三 以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题 举例：举例： 举例：举例：如图，在正方形 ABCD 中，EDF=45 举例：举例：如图，D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上一点 【例1】如图1，已知

8、等边ABC，过点B作BGAC于点G，D为AB上一点，EDBC交BG的延长线于点E.如图2，将BDE绕点B顺时针旋转，取AE的中点M，连接DM，CM，试确定DM与CM的关系. 【解析】 DMMC且MC3DM.理由如下： 方法一：延长CM至点N，使MNMC，连接AN，DN，DC，NE，四边形ACEN为平行四边形，设AC交DE图1GFEDCBAM图2ABCDEEDCBA图2OMN于点O，则DENEOC，在四边形BDCO中BDO120 ，BCO60 ，故DOC360 120 60DBC180 DBC，故DENEOCDBC，又NEACBC，BDDE.故BDCEDN.DNDC，NDCBDE120 .DM为

9、NC边上的中线，得RtDMC，且DCM30 ，故DMMC，MC3DM； 方法二：延长DM至点P，使MPMD，连接AD，PE，AP，DC，则四边形ADEP为平行四边形，同法一有PACCOEDBC，ACPBCD；DCPC.可得DCP60 ，CM为等边DCP的边DP的中线，DMMC，MC3DM； 方法三：延长ED至T，使DTDE，连接TA，TB，DC，证BTABDC，DCTA2DM，设ATDMDE，则BTA60 BDC，MDCBDEBDCMDE120 (60 )60 ，倍长DM至P，DCP为等边三角形，得证. 【例2】在ADC中，DADC4，ADC120 . （1）如图1，求AC的长； （2）如图2

10、，M为AC上一动点（M不与点A，C重合），将AM绕点A逆时针旋转60 得AN，连接NC，DM，Q为NC的中点，连接DQ. 求证：DM2DQ； 当点M在AC上运动时，直接写出AM4DQ的最小值为 . 【解析】 （1）AC43； （2）倍长CD至点H，则AHD为等边三角形，可证ANHAMD，DMHN，又点D，点Q分别为CH，CN的中点，故2DQHNDM； 图1DCADCAMNQ图2图2QNMHABCD作BAC30DAM.使ABAD4.连接BM， MN， BH， 可证AMDABM， BMDMHN2DQ.AMANMN， 故HNMNMB4DQAMHB， 在AHB中， AHAB4.HAB120 ， AHB

11、DAC，HBAC43，故AM4DQ43，AM4DQ的最小值为43. 【例3】如图.在ABC中，ACB30 . （1）如图1，ABAC2，求BC的长； （2）如图2，ABAC，点P是ABC内一点，且PA2，PB21，PC3.求APC的度数； （3）如图3，点P为ABC内一点，AC4，AB7（CBCA），求PAPBPC的最小值. 【解析】 （1）取 BC 的中点 D，连接 AD，ABAC2，ADBC，DBDC.又C30 ，在 RtADC 中，AD12AC1，BDDC2221，BC23； （2）ABAC，C30 ，BAC120 ，把ABP绕点A逆时针旋转120 ，使点B落在C点处，点P落在Q点处，P

12、AQA2，PBQC21，又PAQ120 ，PQ23，PQ2PC2QC2，QPC90 ，又APQ30 ，APC120 ； （3）43.提示：把BPC绕点C遂时针旋转60 得到BPC，则ACB90 ，当A，P，P，B共线时，PAPBPC最小，由AC4，AB7，C30 ，可得BC33，则AB43. 针对练习 1.已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM. B图1CAACD图2BPABC图3PB图1DCAACD图2BPQABC图3PPB（1）如图1，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，直接写出你的结论； （2）如图2，点E在DC的延长

13、线上，点G在BC上，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转， 使D， E， F三点在一条直线上， 若AB13， CE5， 请画出图形，并直接写出MF的长. 解： （1）DMEM且DMEM，理由：延长EM交AD于点H，则AMHFME，MHME，AHEFEC，DHDE，EDH90 ，DMEM且DMEM； （2）结论不变.DMEM且DMEM.理由：延长EM交AD的延长线于点H， 四边形ABCD是正方形， 四边形EFGC是正方形， ADEDEF90 ， ADCD， ADEF， MAHMFE，AMMF，AMHFME，AMHSFME，MHME，AHEFEC，

14、DHDE.EDH90 ，DMEM，DMME； （3）过点 M 作 MRDE 于点 R，在 RtCDE 中，DE2213512，DMEM，DMME，MR12DE6，DRRE6，在 RtFMR 中，FM22MRFR22611157，如备用图 2，过点 M 作MRDE 于 R，在 RtMRF 中，MF221637，故 MF 的长为37或157. 2.在等腰直角ABC和DEC中，DECE，ACAB，CEDCAB90 . 图1MGFEDCBA图2MABCDEFG备用图1ACDB备用图2ABCDBGFEDCAMR备用图1FEDCBAGMR备用图2（1）将ADCE绕点C旋转至如图1位置，N是BD中点，试探究

15、EN与AN的关系并证明你的结论； （2）如图 2，M 是 CD 的中点，求AMBE的值. 解： （1）ENAN且ENAN.理由如下：延长EN至点F.且使NFEN，连接FB，DENBFN（SAS），DEBFCE， DEBF， 连接AE， AF， 延长CE交BF于点G， DEC90 ， CGB90 .由八字型得，ACEABF，ACE ABF（SAS），AEAF，CAEBAF，CAB90 ，EAF90 ，AEF为等腰直角三角形，N为EF的中点，ENAN，ENAN； （2）将线段 AM 绕点 A 顺时针旋转 90 至 AG，连接 MG，根据共顶点等腰三角形的旋转，得ACMABG（SAS） ，BGMC.

16、连接 EM，M 是 CD 的中点，MECMBG，延长 ME 交 BA 的延长线于点H， EMCCAH90 ， 在四边形 ACMH 中， MHAMCA180.MCAABG， MHAABG180 ，MHBG，又MEBG，四边 MEBG 为平行四边形，BEMG，MAG 为等腰直角三角形，AMMG22，AMBE22. 3.如图，等边ABC与等腰三角形EDC有公共顶点C，其中EDC120 ，ABCE26，连接BE，P为BE的中点，连接PD，AD. （1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系； （2）如图1，（

17、1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ABCDEN图1MEDCBA图2图1GNFEDCBA图2HGABCDEM（3）如图3，若ACD45 ，求PAD的面积. 解：（1）AD2PD； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：延长ED至点F，使DFED，连接BF，CF，连接BF，CF，BPEP，DP是BEF的中位线，BF2PD且BF/PD，EDC120 ，FDC60 ，CDF是等边三角形，BCAC，BCFACD，CFCD，BCFACD，BFAD，AD2PD； （3）如图 3，延长 ED 至点 F，使 DFDE，连接 BF，CF，延长 BF 交 AD 于点 G，由（2）得FBCDAC，AGBACB60 ，DPGB，ADPAGB60 ，在等腰CDE 中，CE26，CD22，过点 D 作 DMAC 于点 M，过点 P 作 PNAD 于点 N，ACD45 ，CMDM2，AM262， 在 RtADM 中， AD2(262)2223286， PN32PD34AD， 在PAD 中， SPAD12ADPN38AD24332. 图1PABCDE图2PDCBA(E)图3EDCBAP