第16讲与圆有关的位置关系 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第16讲与圆有关的位置关系知识导航1.若的半径为r，OPd，则点P在外dr；点P在上dr；点P在内dr.2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离dr；l与相切dr；l与相交dr；3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质.【板块一】切线的判定方法技巧当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等）题型一 连半径，证垂直【例1】如图，AD，BD是的弦，且ADB90，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2CDDB，连接CA，求证：AC是的切线。 【例2】如图，抛物线y与x轴

2、交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：直线CP是ABC的外接圆的切线. 题型二 作垂直，证半径【例3】如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC90，且ADBCCD，求证：以CD为直径的圆与AB相切. 针对练习11.如图，ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且ECBBAC，求证：直线1是的切线. 2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DEDB交直线AC于点E.若AB2DE，求证：DC与相切. 3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC

3、与相切. 4.如图，AD是ABC的高，且ADBC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。 5.如图，在等腰ABC中，ABAC，C的平分线与边AB交于点P，ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MDAC交于点D，连接PD.求证：PD与相切. 【板块二】切线的性质方法技巧已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）.题型一 遇切线，连半径，求角度【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，APC的平分线交AC于点D.（1）求ADP的度数；（2）连接BC交PD

4、于点E，若CD，CE的长是方程x2mx2m0的两个根，求DE的长. 【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A，C，D三点的恰好与AB相切. （1）求OCD的度数；（2）求的值题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长【例3】如图，在矩形ABCD中，AD8，点E是边AB上的一点，且AEAB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积. 【例4】如图，直线yx3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值 针对练习21.如图，AB为

5、的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若E32，则ECD_2.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若C40，则DEB_3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若ABC55，则ACD_. 4.如图，在ABC中，BC2AC2a，当ABC最大时，则的值. 5.如图，在RtABC中，C90，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB1：2：5，求的值. 6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，

6、P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长. 7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB2，DE3，求的半径.【板块三】切线长定理双切图方法技巧从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.【例1】【教材变式】（课本P1016改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，ABAC，过点A作AFCD于点F，交于点E.（1）求证：AECF；（2）若AB2，求AE的长. 【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，PB，PC分别与相切于点B，C，PC与BA的延

7、长线交于点D，过点P作PEPB，交AC的延长线于点E.（1）求证：AB2PE；（2）若AD1，CD3，求AE的长. 【例3】如图，在矩形ABCD中，以BC为直径在矩形内作半圆O，过点A作AE与相切于点E，连接CE，BE，若，求的值. 【例4】如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，弦BCPA，连接AC，若2ACBC，的半径是5，求PA的长. 针对练习31.如图，PA、PB分别与O相切于A，B两点，P，点Q是O上异于A，B的一点，则AQB （用含的式子表示） 2.如图，点C在以AB为直径的O上，过点B，C分别作O的切线相交于点P，连接AC，OP.若2OP9AC，求的值3.如图，在RtABC中，A

8、CB90，O经过A，C两点，交边AB于点D，分别过C，D两点作O的切线相交于点E（1）求证:CED2B；（2）DE交BC于点F，当DEAC时，若3EC5EF，DF4，求O的半径长.4.如图，菱形ABCD的边AB20，面积为320，O与边AB，AD都相切，AO10，求O的半径长【板块四】切线长定理多切图反复运用切线长定理及其基本图形是解决“多切图”问题的基本策略；母子直角三角形是基础，勾股定理及面积法是常见的数学方法，方程思想是核心.【例1】如图，PA，PB分别与O相切于点，B，点C，M在O上，AMB60，过点C作O的切线分别交PA，PB于点E，F，且PEF的外心在PE上，O的半径为（1）求PE

9、F的周长（2）求AE的长【例2】（1）如图1，O与四边形ABCD的各边都相切已知四边形的面积为S，ABa，BCb，CDc，ADd，O的半径为r求r的值（用相关的字母表示）；若a13，c7，r4，则S80（直接写出结果）（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC13，AB21，CD11，与分别为ABD与BCD的内切圆，其半径分别为，求的值. 【例3】已知:在四边形ABCD中，ADBC，CDBC，O分别与边AB，BC，CD，AD相切，切点分别为G，F，E，H.（1）如图1，若ABC60，求证:BFCF；（2）如图2，GE，BC的延长线交于点P，若CD4，BF3，求GP的长针对练习41.如

10、图O是ABC的内切圆，O的一条切线DE与AB,AC分别相交于点D,E.若BC6，O的半径为2，则ADE的周长是（B）A.15B.9C.7.5D.72.如图，O与四边形ABCD的各边都相切，点M，N分别是AD，BC的中点，四边形的周长为a，则下列说法正确的是（D）A.MNaB.MNa C .MNaD.以上都不正确3.如图，在RtABC中，ACB90，O分别与三边相切于点D，E，F，若AD10，BC5，则OB的长为4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆，过点D作直线DE与O相切于点F，交AB边于点E.若正方形的边长为1，求ADE的面积5.如图，在等边ABC中，AB6，O是ABC的内切圆，切

11、点分别为D，E，F.点M在O上，且BMDM，求BM的长.【板块五】三角形的内心方法技巧三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.如图，点I是ABC的内心，IDBC于点D，IEAC于点E，IFAB于点F，A，B，C的对边分别为a，b，c，则:（1）BIC90BAC，AIC90ABC，AIB90ACB；（2）IDIEIF，点I是DEF的外心，DEF为锐角三角形；（3）AEAF（bca）， BDBF（acb）；CDCE（abc）.【例1】如图，点O是ABC的内心，ODBC于点D，OeAC于点E，OFAB于点F（1）若AB9，BC14，AC13，

12、则AF4，CD9；（2）若AB9，AC13，则DCBD4；（3）若A90，AB6，AC8，则OD2；（4）若A90，求证:. 【例2】如图，O是ABC的外接圆，点I是ABC的内心，AI的延长线交O于点M.（1）如图1，连接IB，IC，求证:MBMIMC；（2）如图2，若AIOI，求证:ABAC2BC. 【例3】如图，在扇形OAD中，AOD90，OA6，点P为上的一动点（不与点A，D重合），PQOD于点Q，点I为OPQ的内心，过O，I，D三点的圆的半径为r.问:r的值是否发生变化？若不变，求r的值；若变化，请说明理由针对练习51.已知点是ABC的外心，点I是ABC的内心，若B0C110，则BIC

13、_2.在扇形OAB中，AOB30，ACOB于点C，点I为AOC的内心，以I，O，B为顶点的三角形的外接圆的直径为，则AC的长为 3.如图，AB是O的直径，点P为半圆上的一点（不与A，B重合），点I是ABP的内心，PI的延长线交O于点M（1）求的值；（2）过点I作INPB于点N，求的值4.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），经过O，A两点的分别交x轴的正半轴，y轴的负半轴于点B，C，点I是OBC的内心，IGBC于点G，求BGCG的值.5.已知AB是O的直径，点D为O上的一点，点E为ABD的内心，AB10（1）如图1，连接AE，BE，若OEBE，求AE的长；（2）如图2，点C为的中点，过点C

14、作CMAE于点M，若AD8，求CM的长【板块六】 隐形的圆“道是无圆却有圆”常见的隐圆有两类：（1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上（圆的定义）；（2）若定长线段的张角是定角（定弦定角），则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类冋题的基本模式 题型一 利用圆的定义构隐圆 【例1】如图，在四边形ABCD中，ABACAD5，且ADBC，对角线BD8，求CD的长 【例2】如图，在ABCD中，AB4，BC3，ABC60，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE1，求BP的最大值 题型二 利用定弦定角构隐圆【例3】如图，在正方形ABCD中，A

15、C，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PEAP交BC于点E若CAE15，求的值【例4】如图，ABC为等边三角形，面积为9，点P为ABC内的一动点，且满足PABPCA，求线段BP的最小值针对习61如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦（CD与AB不平行），点M是CD的中点，CEAB于点E，DFAB于点F，且EMF60，求的值 2如图，AB是半圆O的直径，点C是上的一点，且AOC120，点P是上的一动点，PEOA于点E，PFOC于点F，CDOB于点D，求证：EFCD 3如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，且AEB90，点F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值 4如图，在四边形ABC

16、D中，DABABC90，ADAB1，BC2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q，求DQ的最小值 5如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，BFAE于点F，连接CF（1）求证：CFAB；（2）连接DB，DF，求证：BDFBCF【板块七】 隐圆隐切线求最值在与最值有关的动态几何向题中，常利用“隐圆”或 “辅助圆”，借助切线的性质转化为与切线相关的间题解决 【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的一点，连接AE，过点B作BGAE于点G，连接CG并延长交AD于点F，求AF的最大值 变式训练：（1）求DG的最小值；（2）当AF最大时，求AE的长【例2】如图，点

17、C是O上的一点，O的半径为2，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，且ODOE，求AB的最大值 【例3）】如图，在矩形ABCD中，AB，点P是边BC上的一动点（不与B，C重合），PQAP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，求矩形ABCD的周长【例4）如图，A（0，8），B（0，2），点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当AEB最大时，求点E的坐标针对习71如图，点P为O内的一定点，点A为O上的一动点，射线AP，AO分别与O交于B，C两点，若O的半径为3，OP，则弦BC的最大值为 2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内的一点，且AC2，设

18、BOCm，则m的取值范围是 3如图，点A，B，P三点在一条直线上，AB4，PB2，ACB90，当APC最大时，求PC的长 4如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点P是边AB上的一点，PQCP交边BC于点Q，求BQ的最大值 5如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D是边AB上的一点，点E，F分别是边BC，AC上的动点，且DEF45 （1）若DF2，求DEF的外接圆的半径； （2）当DF的值最小时，求AF的长 6如图，在四边形ABCD中，ADBC，CDBC，ABC60，AD8，BC12，点P是边AD上的动点，当BPC最大时，求PC的长第16讲与圆有关的位置关系知识导航1.若

19、的半径为r，OPd，则点P在外dr；点P在上dr；点P在内dr.2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离dr；l与相切dr；l与相交dr；3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质.【板块一】切线的判定方法技巧当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等）题型一 连半径，证垂直【例1】如图，AD，BD是的弦，且ADB90，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2CDDB，连接CA，求证：AC是的切线。 【解析】连接AB，则AB是的直径，设CDx，BDy，则ACADCDx

20、yxx（xy），ABADBDxyyy（xy），ACAB（xy）BC，CAB90，AC是的切线.【例2】如图，抛物线y与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.（1）判断ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：直线CP是ABC的外接圆的切线. 【解析】（1）易求A（2，0），B（8，0），C（0，4），易证AC2BC2AB2，ACB90，故ABC是直角三角形；（2）设ABC的外心为O，ACB90，O（3，0），连接OC，OP，作PEy轴于点E，P（3，），OC25，OP，CPCEPE，OC CP OP，OCP90，直线CP是ABC的外接圆的切线， 题型二 作垂直，证半

21、径【例3】如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC90，且ADBCCD，求证：以CD为直径的圆与AB相切. 【解析】取CD的中点O，连接AO并延长交BC的延长线于点E，则AODEOC，AOOE，ADCE，ADBCCEBCCDBE，取AB的中点F，连接OF，则OFBC，且OFBECD，ABC90，OFAB，以CD为直径的圆与AB相切.针对练习11.如图，ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且ECBBAC，求证：直线1是的切线. 解：作直径CF，连接BF，则CBF90，.BCFF90；ECBBACF，BCFECB90，即OCl，直线l是的切线.2.如图，AB是的直径，点C是上的一

22、点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DEDB交直线AC于点E.若AB2DE，求证：DC与相切. 解：连接OC，OD，则OADE，OADE，四边形AODE是平行四边形，AEOD，OACOCACODBOD，OCDOBD，OCDOBD90，DC与相切.3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切. 解：连接CO并延长交AB于点E，连接OA，OB，AOEBOE，CEAB，DCAB，OCDC，DC与相切.4.如图，AD是ABC的高，且ADBC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。 解：过点O作OMBC于点M，取CD的

23、中点N，连接FN，则FNAD，FNAD，OMFNAD，EFBCAD，OMEF，BC与相切.5.如图，在等腰ABC中，ABAC，C的平分线与边AB交于点P，ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MDAC交于点D，连接PD.求证：PD与相切. 解：设与AB相切于点S，连接IS，ID，IM，则PSIIMCIMB90，设BACB2，则SP1BPCB3，SIP903，MD/AC，DMBACB2，IDMIMD902，DIM4，MIC90，DIP903SIP，IPDIPS，.IDPISP90，PD与相切【板块二】切线的性质方法技巧已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股

24、定理求线段的长（遇切线，连半径）.题型一 遇切线，连半径，求角度【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，APC的平分线交AC于点D.（1）求ADP的度数；（2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方程x2mx2m0的两个根，求DE的长. 【解析】（1）连接OC，则OCP90，设A，则COP2，CPO902，APDCPO45，ADP180（AAPD）135；（2）由（1）知：CDE45CED，CDCE，方程有两个相等的实数根，（m）42m0，m8（m0含去），CDCE4，DECD4.【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A

25、，C，D三点的恰好与AB相切. （1）求OCD的度数；（2）求的值【解析】（1）连接OA，则OAB90，设OCDBD,则AOB2D2，290，OCD30；（2）过点A作AEOC于点E，设的半径为1，BOCD30，OB2OA2BC1，AEAB，题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长【例3】如图，在矩形ABCD中，AD8，点E是边AB上的一点，且AEAB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积. 【解析】连接NO并延长交EF于点G，则NOCD， NGEF， EGGF，连接OM，则OMBC，四边形OMBG是矩形，OMBG，设EGGFx，则ENx，在

26、RtNEG中，（x）x8，EGx4，连接OE，设OEONOMr，在RtOEG中，r（8r）4，r5，EBEGGB9，ABEB12，S矩形ABCD96.【例4】如图，直线yx3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值 【解析】连接CQ，则QCQP，连接CP，PQ，当CP最短时，PQ有最小值，此时CP1AB，连接CA，易知：BC4，OA4，AB5，BCOAABCP1，CP1，PQ的长的最小值是针对练习21.如图，AB为的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若E32，则

27、ECD_答案：742.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若C40，则DEB_答案：115或653.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若ABC55，则ACD_. 答案：204.如图，在ABC中，BC2AC2a，当ABC最大时，则的值. 解：ACa，点A在以C为圆心，以a为半径的上（与直线BC的交点除外），当ABC最大时，AB与相切，切点记为A，连接CA，则CAB90，此时，ABa，当ABC最大时， 5.如图，在RtABC中，C90，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D

28、作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB1：2：5，求的值. 解:连接OD，证EDEB，设OA1，OC2，AB5，则BC4，连接OE，设EBEDx，则CE4x，OC CEOEODDE，22（4x）212x2，x，即BE，CE4x ，6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长. 图1 图2解：如图1中，当P与直线CD相切时，设PCPMx.在RtPBM中，PM2BM2PB2，x4（8x），x5，PC5，BPBCPC853；如图2中，当OP与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK

29、AD，四边形PKDC是矩形，PMPKCD2BM，BM4，PM8，在RtPBM中，PB4，综上所述，BP的长为3或4.7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB2，DE3，求的半径.解：过点O作OMCD于点M，交AB于点N，则ONAB，ANAB1DM，NMAD2，连接OE，则OED90，连接OA，设的半径为r，ONx，OEDEODOMDM，OAONAN，的半径为【板块三】切线长定理双切图方法技巧从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.【例1】【教材变式】（课本P1016改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，

30、ABAC，过点A作AFCD于点F，交于点E.（1）求证：AECF；（2）若AB2，求AE的长. 【解析】（1）连接BE，则AEB90，ABECAF，CFAE，（2）由（1）得BEAF，易证AEOD，ODBE，BE2DF，设AExCF，CDCA2.DF2x，BE42x，在ABE中有：x（42x）2，x1， x2 2（舍去）,AE【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，PB，PC分别与相切于点B，C，PC与BA的延长线交于点D，过点P作PEPB，交AC的延长线于点E.（1）求证：AB2PE；（2）若AD1，CD3，求AE的长. 【解析】（1）连接PO，OC，PB，PC与相切，CPOBPO，O

31、CPOBP90，POBPOC，BOCOCAOAC，OACOCA，POCOCA，ACOP，又PEAB，四边形PEAO是平行四边形，AB2AO2PE；（2）设OCOAR，在RtOCD中，R232（R1），R4，设PBPCx，在RtPBD中，x292（x3）2，x12，AEPO4.【例3】如图，在矩形ABCD中，以BC为直径在矩形内作半圆O，过点A作AE与相切于点E，连接CE，BE，若，求的值. 【解析】连接OA交BE于点F，则OA垂直平分BE，设BC2，AB3，OA，BF，BE，OF，CF2OF，【例4】如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，弦BCPA，连接AC，若2ACBC，的半径是5，求PA

32、的长. 【解析】连接AB、OP相交于点M，连接AO并延长交BC于点N，连接CO，证ANBC，CNNBBC，ACAB，证O垂直且平分AB，设CN4a，则BC8a，AC4a，AN8a，在RtCON中，5（4a）（8a5），a1，AMAB2，OM，设MPy，OPOAAPAMMP，（y）5（2）y，y4，在RtAMP中，PA（2）（4）100，PA10针对练习31.如图，PA、PB分别与O相切于A，B两点，P，点Q是O上异于A，B的一点，则AQB （用含的式子表示） 解:连接OA，OB，则AOB180，分类讨论点分别在优弧和劣弧上AQB90或AQB902.如图，点C在以AB为直径的O上，过点B，C分别

33、作O的切线相交于点P，连接AC，OP.若2OP9AC，求的值解:连接BC，交OP于点D.则OP垂直且平分BCODAC，设AC2,则OD1.0P9，DP8，设DBx.则，3.如图，在RtABC中，ACB90，O经过A，C两点，交边AB于点D，分别过C，D两点作O的切线相交于点E（1）求证:CED2B；（2）DE交BC于点F，当DEAC时，若3EC5EF，DF4，求O的半径长.解：（1）连接OC,OD,则DOC180CED,ADOC90CED,B90ABCED，CED2B（2）延长DO交AC于点HDEAC，四边形CFDH是矩形，DFCH4，CFDH，设EF3x，则EC5xED，3x45x，x2，C

34、F4x8DH，设O的半径为r，则OH8r，OCr.在RtOCH中，r5.4.如图，菱形ABCD的边AB20，面积为320，O与边AB，AD都相切，AO10，求O的半径长解:连接DB，延长AO交BD于点MO与AB，D都相切，且ABADAM垂直平分BD，过点D作DNAB于点N，ABDN320.DN16，AN12，BN8BD，DMBD，连接OD，设O的半径为r，,【板块四】切线长定理多切图反复运用切线长定理及其基本图形是解决“多切图”问题的基本策略；母子直角三角形是基础，勾股定理及面积法是常见的数学方法，方程思想是核心.【例1】如图，PA，PB分别与O相切于点，B，点C，M在O上，AMB60，过点C

35、作O的切线分别交PA，PB于点E，F，且PEF的外心在PE上，O的半径为（1）求PEF的周长（2）求AE的长【解析】连接OA，OB，OP，则AOB2AMB120APB60OPBAB30PBPAOB3,ECEA，FCFB，PEEFPF（PEEA）（PFFB）PAPB6:（2）PEF的外心在PE上PFEBFC90，连接OC，则四边形OCFB是正方形，BFOB，PF3PE2PF62，AEPAPE23.【例2】（1）如图1，O与四边形ABCD的各边都相切已知四边形的面积为S，ABa，BCb，CDc，ADd，O的半径为r求r的值（用相关的字母表示）；若a13，c7，r4，则S80（直接写出结果）【解析】

36、（1）连接OA，OB，OC，OD及过切点的半径,S（abcd)rr证ABCDADBC，acbd20，abcd40s.（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC13，AB21，CD11，与分别为ABD与BCD的内切圆，其半径分别为，求的值. 【解析】（2）过点D作DEAB于点E，过点C作CFAB于点F，DECF，则AEBF5,.由（1）类比得，.,，【例3】已知:在四边形ABCD中，ADBC，CDBC，O分别与边AB，BC，CD，AD相切，切点分别为G，F，E，H.（1）如图1，若ABC60，求证:BFCF；（2）如图2，GE，BC的延长线交于点P，若CD4，BF3，求GP的长【解析】

37、（1）连接OE，OF，OB，得正方形OECF，OBFABC30BFOFCF（2）延长BA，CD相交于点M，连接OM，OE，OM垂直平分EG，由（1）知，OECE，证ECPOEMEPOM，证CECFED）2，BFBG3,设MEMGx，则MBx3,MCx2,BC5，在RtMCB中，x10ME,GPEGEP针对练习41.如图O是ABC的内切圆，O的一条切线DE与AB,AC分别相交于点D,E.若BC6，O的半径为2，则ADE的周长是（B）A.15B.9C.7.5D.7解:由（ABBCAC）r知ABBCAC21ABAC15，设O与AB相切于点F，与AC相切于点MAFAM（ABC）BC9ADE的周长是9，

38、故选B.2.如图，O与四边形ABCD的各边都相切，点M，N分别是AD，BC的中点，四边形的周长为a，则下列说法正确的是（D）A.MNaB.MNa C .MNaD.以上都不正确解:连接AC，取AC的中点，连接M，N，则（ABCD），易证ABCDADBCa,MN（当ABCD时，取等号）MNa，故选D.3.如图，在RtABC中，ACB90，O分别与三边相切于点D，E，F，若AD10，BC5，则OB的长为解:连接OE.OF设O的半径为r，则AC10r.AB15r，在RtABC中，r2，OB.4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆，过点D作直线DE与O相切于点F，交AB边于点E.若正方形的边长为

39、1，求ADE的面积解:AB，CD，DE都与O相切可设BEEFx，DEx1，AE1x，在RtADE中，xAE，5.如图，在等边ABC中，AB6，O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.点M在O上，且BMDM，求BM的长.解:ABC是等边三角形BDDC3，延长M交O于点N，连接NDDMN90ND为O的直径，连接OC，在RtODC中，OCD30，DC3，OD，ND，在RtBND中，DMBN,.【板块五】三角形的内心方法技巧三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.如图，点I是ABC的内心，IDBC于点D，IEAC于点E，IFAB于点F，A，B，C的对边分别为a，b，c，则:（1）BIC90BAC，AIC90ABC，AIB90ACB；（2）IDIEIF，点I是DEF的外心，DEF为锐角三角形；（3）AEAF（bca）， BD