第10讲旋转作图 讲义（学生版+教师版）2022年人教版九年级数学上册

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1、第二十三章旋转第二十三章旋转 第第 1010 讲讲 旋转作图旋转作图 知识导航 旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的旋转效果. 【板块一】旋转三要素 方法技巧 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。 题型一 已知旋转中心与旋转角确定对应点 【例 1】如图，ABC 绕 B 点旋转后，点 O 是点 A 的对应点，画出ABC 旋转后的三角形. 【例 2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的

2、三个顶点都是网格线的交点。已知 A（2，2） ，C（1，2） ，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 90，则点 A 的对应点的坐标为（ ） A.（2，2） B.（5，3） C.（2，2） D.（3，1） 题型二 已知旋转中心及旋转角度画旋转后的图形 CCOBAxyDDAOBA【例 3】如图，四边形 ABCD 绕点 O 旋转后，顶点 A 的对应点为点 E，试确定点 B，点 C，点 D 的对应点的位置以及旋转后的四边形。 题型三 已知旋转前后的图形，确定旋转中心 【例 4】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC由ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 坐标为 . 针对训练 1 1.如图，在平面直角

3、坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1）. （1）画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的图形A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）将（1）中所得A1B1C1先向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位得到A2B2C2，画出A2B2C2，则点C2的坐标为 ； （3）若A2B2C2可以看作ABC 绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 . 【板块二】直角坐标系中画旋转图形 ABOCDEHGFEDCOBAxy1234BACCOBA32121321xy（3，1）A1COBAB1C1A2B2C2方法技巧 紧扣三要素画图，数形结合求坐标. 题型一 直角坐标系中画旋转图形 【例

4、 1】如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，OA2，AOB 30，ABO45 （1）画出ABO 绕点 O 逆时针旋转 120后的图形； （2）求旋转变换后点 B 的对应点 B的坐标； 题型二 直角坐标系中求点的坐标 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） ，B（0，2） ，点 P（a，a）.若APB90，请直接写出 a 的值 . 针对练习 2 xyOACBDBAxyAOB1.如图，已知直线 y2x2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，将该直线绕点 B 顺时针旋转 45，求旋转后所得直线的解析式. 2.已知点 A 的坐标为（2，4） ，点 M 为 x 轴上一

5、动点，将点 A 绕点 M（m，0）顺时针旋转 90得到点 C.若点C 恰好落在坐标轴上，则 m . 【板块三】用无刻度的直尺画旋转图形 xyABOxDCABOxyAMOxyAM1C2M2C1MO方法技巧 格点多边形绕格点旋转 90的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K 型”全等寻找旋转后多边形的顶点。 题型一 理解题意，确定旋转中心或旋转角度，再画图 例 1 如图，在下列 1010 的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（1，1） ，B（3，3） ，C（4，1）都是格点，点 B 关于 y 轴的对称点为点 B1； （1）描出点 B1，并写出点 B1的坐标。 （2）画出ABC

6、绕某格点按顺时针方向旋转 n（0n180）后得到A1B1C1，且 A，C 的对应点 A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及 n 的值； （3）写出线段 BC 与 B1C1的关系。 题型二 按题中所给步骤画图 xyCOBA【例 2】 （2019 武汉四调第 20 题）如图，在下列 1010 的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1） ，B（5，4） ，C（1，8）都是格点。 （1）直接写出ABC 的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 统点 A 顺时针旋转角度 得到AB1C1，BAC，其中 B，C 的对应点分别为 B1，C1，操作如下： 第一步：找一个

7、格点 D，连接 AD，使DABCAB； 第二步：找两个格点 C1，E，连接 C1E 交 AD 于 B1； 第三步：连接 AC1，则AB1C1即为所作出的图形； 请你按步骤完成作图，并直接写出 D，C1，E 三点的坐标。 针对练习 3 1.如图，点 A（0，2） ，B（1，2） ，C（2，4）.将ABC 绕点 D 旋转 90得到A1B1C1，点 A，B，C 的对应点分别为 A1，B1，C1. （1）画出点 D 的位置并写出点 D 的坐标； （2）六个点 A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有_个。 2横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点 A（1，3） ，B（2，0）

8、，C（0，1）都是格点将ABC 绕点A 逆时针旋转 90得到AB1C1（点 B，C 的对应点分别为 B1，C1） xyCOBAxyA1B1C1OABC（1）作出AB1C1； （2）找一个格点 D，使直线 BD 平分四边形 ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点 D 的坐标 3如图，在下列 1414 的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3） ，B（7，5） ，C（12，5）都是格点 （1）直接写出ABC 的形状是 ； （2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求ABC 的面积的方法： 作出 AB 的中点 E； 将ABC 绕点 E 旋转锐角a，使A B/y 轴，并且点A也是

9、格点，请画出A B C?，直接写出下列点的坐标：A（ ， ） ，B（ ， ） ，C（ ， ） ； 求ABC 的面积 4如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 都在格点上 （1）ABC 的面积是 ； BCAxOyACByOx（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 a得到DEC（其中 0a180） ，点 B 的对应点 E 落在 AC 所在的网格线上，操作步骤如下： 第一步：取格点 E，使 CECB5； 第二步：取格点 F，使FCEACB，且 CF5，连接 EF； 第三步：在射线 AC 上取一点 N，使 CN6，另取一点格点 M，MN/EF； 第四

10、步：延长 CF 交 MN 于点 D，则DEC 为所作 请你按步骤完成作图，并直接写出 AD 的长 5如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的网格中，点 A，B，C，M 均在格点上请你在图中找到一个点 P，使得 AP，AC 关于直线 AB 对称（要求仅用无刻度的直尺作图） 操作步骤如下： （1）第一步：将线段 AB 向上平移 2 个单位长度得到格点 E，F（其中 A，B 的对应点分别为点 E，F） ，在图中作出线段 EF； （2）第二步：将MEF 绕点 O 顺时针旋转 90得到FDC（其中 M，F 的对应点分别为 F，C） ，在图中作出 D，O 两点； （3）第三步：连接 CD 交 EF

11、 于点 P，连接 AP，则 AP，AC 关于直线 AB 对称，请简要说明理由 第二十三章旋转第二十三章旋转 BCACABM第 10 讲 旋转作图 知识导航 旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的旋转效果. 【板块一】旋转三要素 方法技巧 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。 题型一 已知旋转中心与旋转角确定对应点 【例 1】如图，ABC 绕 B 点旋转后，点 O 是点 A 的对应点，画出ABC 旋转后的三角

12、形. 【解析】要画出ABC 旋转后的三角形，应找出三方面的关系：旋转中心 B；旋转角ABO；C 点旋转后的对应点 C . 【例 2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点。已知 A（2，2） ，C（1，2） ，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 90，则点 A 的对应点的坐标为（ ） A.（2，2） B.（5，3） C.（2，2） D.（3，1） 答案： D .【解析】 将点 A 右移 2 个单位， 再下移 2 个单位到原点 O， 如图建立直角坐标系， 取点 D（1，2） ，则ADC 为直角三角形， 且 AD1， DC4， 将ADC 绕点 C 顺时针

13、旋转 90到 RtBADC， 则 AD1，CD4.即将点 C 右移 4 个单位，然后上移 1 个单位，得点 A（3，1）. 题型二 已知旋转中心及旋转角度画旋转后的图形 CCOBAxyDDAOBA【例 3】如图，四边形 ABCD 绕点 O 旋转后，顶点 A 的对应点为点 E，试确定点 B，点 C，点 D 的对应点的位置以及旋转后的四边形。 【解析】如图，点 B，C，D 的对应点分别是点 F，G，H，四边形 EFGH 是四边形 ABCD 绕点 O 旋转后得到的四边形。 题型三 已知旋转前后的图形，确定旋转中心 【例 4】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC由ABC 绕点 P 旋转得到，则点

14、 P 坐标为 . 答案： （1，1）.【解析】连 AM ，CC ，分别作它们的中垂线，两中垂线的交点为 P（1，1）. 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1）. （1）画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的图形A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）将（1）中所得A1B1C1先向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位得到A2B2C2，画出A2B2C2，则点C2的坐标为 ； （3）若A2B2C2可以看作ABC 绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 . 解： （1）如图 C1（1，1） ； （2）如图 C2（3，3） ； （3）如图，作 BB2

15、的中垂线，作 CC2的中垂线，两中垂线的交点为（3，1） ，即旋转中心为（3，1）. 【板块二】直角坐标系中画旋转图形 ABOCDEHGFEDCOBAxy1234BACCOBA32121321xy（3，1）A1COBAB1C1A2B2C2方法技巧 紧扣三要素画图，数形结合求坐标. 题型一 直角坐标系中画旋转图形 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，OA2，AOB 30，ABO45 （1）画出ABO 绕点 O 逆时针旋转 120后的图形； （2）求旋转变换后点 B 的对应点 B的坐标； 【解析】 （1）如图； （2）过点 A 作 ACOB 于点 C，可求 AC12OA

16、1，OC3，OBOB31， 因BOB120，故点 B与点 B 关于 y 轴对称， 过点 B 作 BDx 轴于点 D，BD12OB3212，OD3BD3232， 故点 B 的坐标为（3232，3212） ，点 B坐标为（3232，3212）. 题型二 直角坐标系中求点的坐标 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） ，B（0，2） ，点 P（a，a）.若APB90，请直接写出 a 的值 . 答案：1 或 0【解析】AP2（a4）2a2，BP2（a2）2a2，AB216420，APB90， AP2BP2AB2，即 2a28a162a24a420，a11，a20. 针对练习 2 xy

17、OACBDBAxyAOB1.如图，已知直线 y2x2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，将该直线绕点 B 顺时针旋转 45，求旋转后所得直线的解析式. 解：A（1，0） ，B（0，2） ，过点 A 作 ACAB 交旋转后的直线于点 C，作 CDx 轴于点 D， ABC45，ABAC，再证AOBCDA，CDOA1，ADOB2， C（3，1） ，由 B（0，2） ，C（3，1） ，可求旋转后直线的解析式为 y13x2. 2.已知点 A 的坐标为（2，4） ，点 M 为 x 轴上一动点，将点 A 绕点 M（m，0）顺时针旋转 90得到点 C.若点C 恰好落在坐标轴上，则 m . 答案：2 或4

18、解：当 m2 时，点 C 在第一象限，不合；当 m2 时，若点 C 在 x 轴上，AMMC， 故AMC 为等腰直角三角形，符合，m2；当 m2 时，点 C 只可能在 y 轴负半轴上， 此时AM2C2为等腰直角三角形，AM1M2M2OC2，M2OAM14，m4，故 m2 或4. 【板块三】用无刻度的直尺画旋转图形 xyABOxDCABOxyAMOxyAM1C2M2C1MO方法技巧 格点多边形绕格点旋转 90的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K 型”全等寻找旋转后多边形的顶点。 题型一 理解题意，确定旋转中心或旋转角度，再画图 例 1 如图，在下列 1010 的网格中，横、纵坐标均为整数

19、的点叫做格点，例如 A（1，1） ，B（3，3） ，C（4，1）都是格点，点 B 关于 y 轴的对称点为点 B1； （1）描出点 B1，并写出点 B1的坐标。 （2）画出ABC 绕某格点按顺时针方向旋转 n（0n180）后得到A1B1C1，且 A，C 的对应点 A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及 n 的值； （3）写出线段 BC 与 B1C1的关系。 【解析】 （1）画图略，B1（3，3） ； （2）旋转中心的坐标为（0，0） ，n90； （3）BCB1C1且 BCB1C1. 题型二 按题中所给步骤画图 【例 2】 （2019 武汉四调第 20 题）如图，在下列 1010 的网格中

20、，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1） ，B（5，4） ，C（1，8）都是格点。 （1）直接写出ABC 的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 统点 A 顺时针旋转角度 得到AB1C1，BAC，其中 B，C 的对应点分别为 B1，C1，操作如下： 第一步：找一个格点 D，连接 AD，使DABCAB； 第二步：找两个格点 C1，E，连接 C1E 交 AD 于 B1； 第三步：连接 AC1，则AB1C1即为所作出的图形； 请你按步骤完成作图，并直接写出 D，C1，E 三点的坐标。 【解析】 （1）ABC 为直角三角形； （2）D（9，0） ，C1（7，6） ，E（6

21、，1）. xyCOBA 针对练习 3 1.如图，点 A（0，2） ，B（1，2） ，C（2，4）.将ABC 绕点 D 旋转 90得到A1B1C1，点 A，B，C 的对应点分别为 A1，B1，C1. （1）画出点 D 的位置并写出点 D 的坐标； （2）六个点 A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有_个。 解： （1）D（2，1） ； （2）4. 2横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点 A（1，3） ，B（2，0） ，C（0，1）都是格点将ABC 绕点A 逆时针旋转 90得到AB1C1（点 B，C 的对应点分别为 B1，C1） （1）作出AB1C1； （2）找一个格点

22、 D，使直线 BD 平分四边形 ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点 D 的坐标 答案： （1）B1（4，4） ，C1（3，2） ； （2）D（3，7） xyCOBAxyA1B1C1OABCBCAxOy 3如图，在下列 1414 的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3） ，B（7，5） ，C（12，5）都是格点 （1）直接写出ABC 的形状是 ； （2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求ABC 的面积的方法： 作出 AB 的中点 E； 将ABC 绕点 E 旋转锐角a，使A B/y 轴，并且点A也是格点，请画出A B C?，直接写出下列点的坐标：A（ ， ） ，B（

23、 ， ） ，C（ ， ） ； 求ABC 的面积 答案： （1）等腰三角形； （2）作图略；（4，4） ， （4，6） ， （14，1） ；50 4如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 都在格点上 （1）ABC 的面积是 ； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 a得到DEC（其中 0a180） ，点 B 的对应点 E 落在 AC 所在的网格线上，操作步骤如下： 第一步：取格点 E，使 CECB5； 第二步：取格点 F，使FCEACB，且 CF5，连接 EF； 第三步：在射线 AC 上取一点 N，使 CN6，另取一点格点 M，MN/EF；

24、第四步：延长 CF 交 MN 于点 D，则DEC 为所作 请你按步骤完成作图，并直接写出 AD 的长 yOxACBB1C1DACByOx 答案： （1）12； （2）图略，AD24 55 5如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的网格中，点 A，B，C，M 均在格点上请你在图中找到一个点 P，使得 AP，AC 关于直线 AB 对称（要求仅用无刻度的直尺作图） 操作步骤如下： （1）第一步：将线段 AB 向上平移 2 个单位长度得到格点 E，F（其中 A，B 的对应点分别为点 E，F） ，在图中作出线段 EF； （2）第二步：将MEF 绕点 O 顺时针旋转 90得到FDC（其中 M，F 的对应点分别为 F，C） ，在图中作出 D，O 两点； （3）第三步：连接 CD 交 EF 于点 P，连接 AP，则 AP，AC 关于直线 AB 对称，请简要说明理由 答案： （1）见答图； （2）见答图； （3）易证MEFFDC，CDEF，AB/EF，ABCP，FBCB，AB/EF，AB 平分 CP，AB 垂直平分 CP，AP，AC 关于直线 AB 对称 BCACABMMOPEBFDAC答图