13.3.1等腰三角形(二)等腰三角形的判定 变式训练+体验真题(含答案解析)
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1、13.3.1等腰三角形(二)等腰三角形的判定题型一:格点图中画等腰三角形【例题1】(2022陕西无八年级期末)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A5B6C7D8变式训练【变式1-1】(2022河南安阳八年级期末)如图,A,B两点在一个的正方形网格的格点上,每个小方格都是边长为1的正方形,点C也在格点上,且为等腰三角形,在图中所有符合条件的点C的个数为()A7个B8个C9个D10个【变式1-2】(2022山东淄博七年级期末)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点已知A,B是两个格点,如果点C也
2、是图形中的格点,且ABC为等腰三角形,所有符合条件的点C有()A3个B4个C5个D6个【变式1-3】(2022山东菏泽八年级期末)在正方形网格中,网格线的交点称为格点如图,已知,是两格点,如果点也是格点,且使得是以为腰的等腰三角形,那么点的个数有()A个B个C个D个题型二:找出图中的等腰三角形【例题2】(2019内蒙古赤峰市八年级期中)如图,A=36,DBC=36,C=72图中的等腰三角形个数是( )A4个B3个C2个D1个变式训练【变式2-1】(2021湖北八年级期末)已知,如图,在ABC中,ABAC,D,E分别在CA,BA的延长线上,且BECD,连BD,CE(1)求证:DE;(2)若BAC
3、108,D36o,则图中共有 个等腰三角形【变式2-2】(2021吉林八年级期末)如图,在四边形ABCD中,ABCD,1=2,DB=DC (1)求证:AB+BE=CD(2)若AD=BC,在不添加任何补助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形【变式2-3】(2020南昌市心远中学八年级期中)在下图中,将图1中的,沿翻折得到图2,将图2中的不动,把向左平移得图3,则图3中有_个等腰三角形题型三:根据等角对等边证明等腰三角形【例题3】(2021广东深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级阶段练习)已知:如图,点D是ABC的BC边的中点,垂足分别为E、F,且DEDF求证:ABC是等腰三角形变式训练【变式3
4、-1】(2021云南红河八年级期末)如图,在中,点E在上,点D在上,、交于点F,且,试判断的形状,并说明理由【变式3-2】(2022河南南阳八年级期末)已知:如图,在ABC中,AB=AC,A=100,BD是ABC的平分线,BD=BE求证:(1)CED是等腰三角形;(2)BD+AD=BC【变式3-3】(2022浙江台州八年级期末)如图,D是RtABC斜边BC上的一点,连接AD,将ACD沿AD翻折得AFD,恰有AFBC,(1)若C35,BAF ;(2)试判断ABD的形状,并说明理由题型四:根据等角对等边求边长【例题4】(2019云南玉溪八年级期中)如图,AE=AD,ABC=ACB,BE=4,AD=
5、5,求AC的长度变式训练【变式4-1】(2022江苏八年级专题练习)如图,点,四点共线,且,(1)求证:;(2)若,求线段的长【变式4-2】(2020湖北恩施八年级阶段练习)如图所示,一艘轮船在近海处由南向北航行,点是灯塔,轮船在处测得灯塔在其北偏东42的方向上,轮船又从向北航行30海里到,测得灯塔在其北偏东84的方向上(1)求的度数:(2)轮船在处时,到灯塔的距离是多少?【变式4-3】(2021山东七年级期末)如图,在中,点,在上,(1)求证:(2)若,求的长【题型5】直线上与已知两点组成等腰三角形的点【例题5】(2021青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟)如图,直角坐标系中,点、,点P在x
6、轴上,且是等腰三角形,则满足条件的点P共_个变式训练【变式5-1】(【新东方】初中数学1238初二上)如图,在中,在直线或直线上取点,使得为等腰三角形,符合条件的点有_个【变式5-2】(2021上海七年级期末)如图,在直线上有一点,直线外有一点,点在直线上,是以、为腰的等腰三角形(1)在图中画出(2)已知,求【变式5-3】如图所示,直线m,n交于点B,m,n的夹角为,A是直线m上的点,在直线n上寻找一点C,使是等腰三角形,这样的点C有( )A1个B2个C3个D4个【题型6】作等腰三角形【例题6】(2021陕西九年级一模)如图,ABC中,ABAC,A36请利用尺规作图法在AC上求作一D,使得BD
7、把ABC分成两个等腰三角形(保留作图痕迹,不写作法)变式训练【变式6-1】(【新东方】初中数学20210625-003【初二上】)已知和线段(如图),用直尺和圆规作等腰三角形,使顶角,底边上的高线【变式6-2】如图,有一块三边长分别为的三角形硬纸板,现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形(不写作法,保留作图痕迹)【变式6-3】(2021山东九年级一模)已知:如图,和线段h求作:等腰,使顶角,底边上的高为h【题型7】等腰三角形的性质与判定变式训练【变式7-1】(【新东方】初中数学1307【初二上】)在中,平分是上一点,交于F点,交的延长线于交的延长线于
8、点H(1)求证:是等腰三角形;(2)猜想与的大小有什么关系?证明你的猜想【变式7-2】(2021沈阳市第七中学八年级月考)如图,ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC,(1)求证:ABEACF;(2)若BAE=30,则ADC= 【变式7-3】(2019全国八年级专题练习)如图所示,在中,交于点,点是中点,交的延长线于点,交于点,若,求证:为的平分线.题型五:体验真题【真题1】(2022广东广州中考真题)如图,点D,E在ABC的边BC上,B = C,BD = CE,求证:ABDACE【真题2】(2021广西河池中考真题)如图,是的外角(1)尺规作图
9、:作的平分线AE(不写作法,保留作图痕迹,用黑色墨水笔将痕迹加黑);(2)若,求证:【真题3】(2020山东济宁中考真题)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42方向上,在海岛B的北偏西84方向上则海岛B到灯塔C的距离是()A15海里B20海里C30海里D60海里13.3.1等腰三角形(二)等腰三角形的判定题型一:格点图中画等腰三角形【例题1】(2022陕西无八年级期末)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C的个数是()A5B6C7D8【答案】D【分
10、析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:AB为等腰ABC底边;AB为等腰ABC其中的一条腰【详解】解:如图,C为格点,为等腰三角形,AB为等腰ABC底边时,符合条件的C点有4个(包括两个等腰直角三角形); AB为等腰ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个综上:这样的点C有8个,故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,分类讨论,数形结合的思想是解题的关键变式训练【变式1-1】(2022河南安阳八年级期末)如图,A,B两点在一个的正方形网格的格点上,每个小方格都是边长为1的正方形,点C也在格点上,且为等腰三角形,在图中所有符合条件的点C的个数为
11、()A7个B8个C9个D10个【答案】D【分析】分两种情况:AB为等腰三角形的底边,连接AB,作AB的垂直平分线,得到的格点C有6个符合要求;AB为等腰三角形的一条腰,分别以A、B为圆心,AB长为半径画圆,得到的格点C有4个;画出图形,即可得出结论【详解】解:如图所示:AB为等腰三角形的底边,符合条件的点C的有6个;AB为等腰三角形的一条腰,符合条件的点C的有4个所以符合条件的点C共有10个故选:D【点睛】此题考查了画等腰三角形,熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键,注意数形结合的解题思想【变式1-2】(2022山东淄博七年级期末)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点已知A,B是两个格
12、点,如果点C也是图形中的格点,且ABC为等腰三角形,所有符合条件的点C有()A3个B4个C5个D6个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义即可求解【详解】解:如图所示:,故为等腰三角形,故为等腰三角形,故为等腰三角形,故为等腰三角形,故为等腰三角形,则一共有5个等腰三角形,故选:C【点睛】本题考查了作图与设计作图,解题的关键是掌握等腰三角形的定义,学会运用数形结合的思想解决问题【变式1-3】(2022山东菏泽八年级期末)在正方形网格中,网格线的交点称为格点如图,已知,是两格点,如果点也是格点,且使得是以为腰的等腰三角形,那么点的个数有()A个B个C个D个【答案】B【分析】根据网格结构,分别以A
13、、B为圆心,AB为半径作圆与网格线的交点即为点C,即可得到点C的个数【详解】解:如图,以为等腰其中的一条腰时,符合条件的点有个 故选:B【点睛】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想题型二:找出图中的等腰三角形【例题2】(2019内蒙古赤峰市八年级期中)如图,A=36,DBC=36,C=72图中的等腰三角形个数是( )A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】先计算出BDC,再计算出ABC,然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断【详解】A=36,DBC=36,ABD为等腰三角形,BD
14、C=A+DBC=26+36=72,而C=72,BDC=C,BDC为等腰三角形,ABC=180-A-C=72,ABC=C,ABC为等腰三角形故选:B【点睛】本题考查了等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等变式训练【变式2-1】(2021湖北八年级期末)已知,如图,在ABC中,ABAC,D,E分别在CA,BA的延长线上,且BECD,连BD,CE(1)求证:DE;(2)若BAC108,D36o,则图中共有 个等腰三角形【答案】(1)见解析;(2)5【分析】(1)证明EBCDCB(SAS),可得结论(2)根据等腰三角形的定义,判断即可【详解】(1)ABAC,ABCAC
15、B,在EBC和DCB中,EBCDCB(SAS),BECD(2)图中共有5个等腰三角形BAC108,ABAC,ABCACB36,DE36,DBCD,ECBE,DABEAC72,DBADAB72,EACECA72,DBDA,EAEC,ABD,AEC,BCD,BCE,ABC是等腰三角形故答案为:5【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定,等腰三角形不要漏找【变式2-2】(2021吉林八年级期末)如图,在四边形ABCD中,ABCD,1=2,DB=DC (1)求证:AB+BE=CD(2)若AD=BC,在不添加任何补助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形【答案】(1)见解析;(2)B
16、CD,BCE【分析】(1)由“ASA”可证ABDEDC,可得AB=DE,BD=CD,可得结论;(2)由全等三角形的性质可得BD=CD,AD=EC=BC,可求解【详解】(1)证明:ABCD,ABD=EDC在ABD和EDC中,ABDEDC(ASA),AB=DE, DE+BE=BD,BD=CD,AB+BE=CD;(2)ABDEDC,AD=EC,AD=BC,BD=CD,AD=BC=EC,BCD是等腰三角形,BCE是等腰三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是本题的关键【变式2-3】(2020南昌市心远中学八年级期中)在下图中,将图1中的,沿翻折得到图
17、2,将图2中的不动,把向左平移得图3,则图3中有_个等腰三角形【答案】3【分析】先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解【详解】解:图三标上字母如图所示根据对称性,是等腰三角形的有:三个故答案为:3【点睛】本题考查等腰三角形的判断,以及对称平移变换,属于基础题题型三:根据等角对等边证明等腰三角形【例题3】(2021广东深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级阶段练习)已知:如图,点D是ABC的BC边的中点,垂足分别为E、F,且DEDF求证:ABC是等腰三角形【答案】见解析【分析】HL证明RtBDFRtCDE,可得BC,根据等角对等边即可得证【详解】证明:DEAC,DFAB,BFDCED90,
18、D是BC的中点,BDCD,在RtBDF与RtCDE中,RtBDFRtCDE(HL),BC,ABAC,ABC是等腰三角形【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,全等三角形的性质与判定,掌握HL证明三角形全等是解题的关键变式训练【变式3-1】(2021云南红河八年级期末)如图,在中,点E在上,点D在上,、交于点F,且,试判断的形状,并说明理由【答案】为等腰三角形,证明见解析【分析】先利用AAS证明,可得AB=CB,可得,再证明,从而可得答案【详解】解:为等腰三角形理由如下:在和中,(AAS),即,为等腰三角形【点睛】本题考查的是全等三角形的判定,等腰三角形的判定,证明是解本题的关键【变式3-2】(20
19、22河南南阳八年级期末)已知:如图,在ABC中,AB=AC,A=100,BD是ABC的平分线,BD=BE求证:(1)CED是等腰三角形;(2)BD+AD=BC【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由AB=AC,A=100求出ABC=C=40,再由BD是ABC的平分线求出DBC=ABC=20,根据BD=BE求出BED=BDE=80,再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得EDC=40,则EDC=C,从而证明ED=EC,即CED是等腰三角形;(2)在BE上截取BF=BA,连结DF,先证明FBDABD,则FD=AD,BFD=A=100,可证明EFD=FED=80,则AD=FD=ED
20、=EC,即可证明BD+AD=BE+EC=BC(1)AB=AC,A=100,ABC=C=(180-100)=40,BD是ABC的平分线,DBC=ABC=20,BD=BE,BED=BDE=(180-20)=80,EDC=BED-C=80-40=40,EDC=C,ED=EC,CED是等腰三角形(2)如图,在边上取点,使,在和中,【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键【变式3-3】(2022浙江台州八年级期末)如图,D是RtABC斜边BC上的一点,连接AD,将ACD沿AD翻折得AFD,恰有AFBC,(1)若C
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