21.2.1配方法【教案】

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1、21.2.121.2.1 配方法配方法 第第 1 1 课时课时 教学内容教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 过程与方法过程与方法 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程 情感态度与价值观情感态度与价值观 历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效

2、数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣. 重、难点重、难点 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 2 难点： 通过根据平方根的意义解形如 x2=n， 知识迁移到根据平方根的意义解形如 （x+m）2=n（n0）的方程 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2； （2）9x2+12x+_=（3x+_）

3、2； （3）x2+px+_=（x+_）2 问题 2如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从 B 点同时出发，几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？ 老师点评： 问题 1：根据完全平方公式可得： （1）16 4； （2）4 2； （3） （2p）22p 问题 2：设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得：12x2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得 x=22 即 x1=22，x2

4、=-22 可以验证，22和-22都是方程12x2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值 所以 22秒后PBQ 的面积等于 8cm2 二、探索新知二、探索新知 上面我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=22，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x， 那么 2t+1=22 即 2t+1=22，2t+1=-22 BCAQP方程的两根为 t1=2-12，t2=-2-12 例例 1 1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么

5、原方程就转化为（x+2）2=1 解：由已知，得： （x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例例 2 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率 分析： 设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房面积就应该是 10+10 x=10 （1+x） ；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=1.2 即 1+x=

6、1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20% （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P6练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3 3某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那

7、么二月份的营业额就应该是（1+x） ，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x 那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=256 x+32=1.6，即 x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10% 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x2=p （p0） ， 那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如 （mx+n）2=

8、p（p0） ，那么 mx+n=p，达到降次转化之目的 六、布置作业六、布置作业 1教材 P16复习巩固 1 2选用作业设计: 第第 2 2 课时课时 教学内容教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 过程与方法过程与方法 通过复习可直接化成 x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 重难点重难点 1重点：讲清“直接降次有困难，如 x2+6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤 2难点：不可直接降次解方程化为可直接

9、降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成 x2=p 或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得 x=p或 mx+n=p（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 二、探索新知二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题问题 1：印度古算中有这样一首诗： “一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分

10、之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起” 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是 12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？ 问题问题 2：如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为 5000m2，道路的宽为多少？ 老师点评：问题 1：设总共有 x 只猴子，根据题意，得： x=（18x）2+12 整理得：x2-64x+768=0 问题 2：设道路的宽为 x，则可列方程： （20-x） （32-2x）=

11、500 整理，得：x2-36x+70=0 （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式而后二个不具有 （2）不能 既然不能直接降次解方程， 那么， 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程， 下面，我们就来讲如何转化： x2-64x+768=0 移项 x=2-64x=-768 两边加（642）2使左边配成 x2+2bx+b2的形式 x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式（x-32）2=256 降次x-32=16 即 x-32=16 或 x-32=-16 解一次方程x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=1

12、6 都是方程的根，所以共有 16 只或 48 只猴子 学生活动：学生活动： 例例 1按以上的方程完成 x2-36x+70=0 的解题 老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324， （x-18）2=254，x-18=254，x-18=254或 x-18=-254，x134，x22 可以验证 x134，x22 都是原方程的根，但 x34 不合题意，所以道路的宽应为 2 例例 2解下列关于 x 的方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 分析： （1） 显然方程的左边不是一个完全平方式， 因此， 要按前面的方法化为完全平方式； （2）同上 解： （1）x

13、2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5 可以，验证 x1=7，x2=-5 都是 x2+2x-35=0 的两根 （2）x2-2x-12=0 x2-2x=12 x2-2x+12=12+1 （x-1）2=32 x-1=62即 x-1=62，x-1=-62 x1=1+62，x2=1-62 可以验证：x1=1+62，x2=1-62都是方程的根 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P6探究改为课堂练习，并说明理由 教材 P39练习 1 、2 （1） 、 （2） 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3如图，在 RtACB 中，C=9

14、0，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后PCQ 的面积为 RtACB面积的一半 分析：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtABC 面积的一半，PCQ 也是直角三角形根据已知列出等式 解：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半 根据题意，得：12（8-x） （6-x）=121286 整理，得：x2-14x+24=0 （x-7）2=25 即 x1=12，x2=2 x1=12，x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去 所以 2 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半

15、五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： 左边不含有 x 的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 六、布置作业六、布置作业 1教材 P17复习巩固 2 2选用作业设计选用作业设计 BCAQP第第 3 3 课时课时 一、教学内容分析一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，在华师大版的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综

16、合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、 分析、 归纳的能力， 以及逻辑思维能力、 推理论证能力， 并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、教学目标二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能：知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别

17、式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法：过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观：情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 三、教学策略：三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性， 本节课主要采用了引导发现、 讲练结合的教学方法， 按照 “实践认识实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性

18、。具体如下： 序号 教师 学生 1 设置悬念 引发兴趣 争先恐后，欲解疑团 2 设计练习，创设情境 动手解题，亲身感知 3 启发引导，发现结论 观察分析、得出结论 4 引导学生，理论验证 阅读理解，自学教材 5 揭示定理内涵 加深认识理解 6 应用定理，解决问题 巩固应用，形成技能 7 归纳小结 整体把握 8 布置作业 巩固提高 四、教学流程：四、教学流程： 、设置悬念，引发兴趣：、设置悬念，引发兴趣： 【教师】 ：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同

19、学们可以随便地出两个题考考我。 【学生】会争先恐后地编题考老师。 【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲， 为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。 设置练习，创设情境。设置练习，创设情境。 【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。 用公式法解一元二次方程（用投影仪打出） (注：找三名学生板演，其余学生在位上做) 【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。 【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况， 培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻” ，从而发挥了学生的主观能动性。 启发引导，发

20、现结论：启发引导，发现结论： 【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了 a、b、c 的值，然后求出它的值24bac，为什么要这样做呢？ 【学生】会初步说出 24bac的作用是：它能决定方程是否可解。 【教师】 （1）由此可见：在解 22004axbxcabac 一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据24bac的值的符号来判断 的根的情况，因此，我们把 24bac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“ （读作 delta， 它是希腊字母） ”来表示， 即=24bac。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表

21、示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。 2244bacbac2 注意： 而应为： （3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根 【说明】 ：这样设计（1）是为了让学生明白：24bac 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用， 从而很自然地引出了根的判别式概念。 （2） 是为了培养学生从具体到抽象的观察、 分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识， 真正体验自己发现结论的成功乐趣。 200axbxca 一元二次方程的情 况有哪几种，谁能总结出来？ 【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。 引导学生，理论验证：引导学生，理论验证： 【教师

22、】 一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真阅读课本 P39 的内容， 书上从理论方面给我们做了很好的解释。 【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。 【说明】 这样设计是为了培养学生思维的严谨性， 养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。 揭示定理：揭示定理： 【教师】 （1）由此我们就得出了关于 200axbxca 一元二次方程的根的判别式定理：22004axbxcabac 在一元二次方程中， 若若0 则方程有两个不相等的实数根则方程有两个不相等的实数根 若若 =0 则方程有两个相等的实数根则方程有两个相等的实数根 若若0 则方程没有实数根则方程没有实数根 （2）

23、我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定逆定理：理： 22004axbxcabac 在一元二次方程中， 若方程有两个不相等的实数根，则若方程有两个不相等的实数根，则0 若方程有两个相等的实数根，若方程有两个相等的实数根， 则则=0 若方程没有实数根，若方程没有实数根， 则则0 （3）定理与逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情况下，根据值的符定理的用途是：在不解方程的情况下，根据值的符号，用定理来判断方程根的情况。号，用定理来判断方程根的情况。 逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定值的符号，进而可求出系数中某些字母的

24、取值范围。确定值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。 【说明】 这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论， 如何将感性认识上升到理性认识， 以及加深学生对两个定理的认识， 为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。 重中之重重中之重 （4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。 应用定理，解决问题：应用定理，解决问题： 【教师】【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。 例例 1： 不解方程判别下列方程根的情况 （用投影仪打出）： 不解方程判别下列方程根的情况 （用投影仪打出） 分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定值的符号， （4）补充了一

25、个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中值的符号的判断方法， 也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。 分析：我先提出两个问题： （1）是谁决定了方程有无实数根？ 学以致学以致 用用 222221 23402 169243 517042 20 xxyyxxxkxk 22221240 xmxmxm例 ：求证关于 的方程没有实数根 （2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？ 例 2 是补充的一个用定理证明的题目， 它含有字母系数，它的证明实际与例 1 的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。 注意；例 1，例 2 之后我设计了一个小结

26、： （1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。 小结（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是： 把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值，计算； 用配方法等将变形， 使之符号明朗化后， 判断的符号。 根据根的判别式定理，写出结论。 （2）注意关于的变形；一般情况下，由配方或因式分解后能变形成 等形式；那么的符号就明朗了，即可判断其符号。 学生练习； 不解方程，判别下列方程根的情况 22221 168-3 2 96103 2980 47180 xxxxxxxx 225

27、 21210mxmx 【说明】以上例题的设计， 主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会， 同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑， 各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题， 解决问题的能力。 222222222222aaaaaa 注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。 分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出0，再由0 解这个不等式，从而求出 a 的取值范围，进而得出 a 的正整数解。 注意：本思考题是我补充的一个用

28、逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。 归纳小结归纳小结 【教师】 （1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。 （2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理 0 0 1 2022bbxaa 、 0方程有两个相等的实数根 【说明】 这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容， 与前后知识的联系以及它在

29、教材中的地位， 能起到提纲挈领的作用。 2221450 xxaxaaa思考题：已知关于 的方程当 取何正整数时，方程有实数根？ 22004axbxcabac3 一元二次方程21 242bbacxa 、0方程有两个不相等的实数根0 布置作业：布置作业： 1、阅读课本 P39 的内容； 2、不解方程判定下列方程根的情况： 222223110260 3 3650 4 4 04115 - 3 0 6 46 -07(4)58416xxxxxxxxxxx xx 注 （第 3、4 题供学有余力的学生做） 【说明】 这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识， 培养学生自觉学习的习惯， 同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。 2124bacxx无意义、 、 不存在0方程没有实数根2242101 2xxnxbnxn 、已知方程没有实数根求证：一定有两个不相等的实数根