2023年北京市中考数学一轮复习《第25课时:矩形、菱形、正方形》同步练习(含答案)
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1、第25课时矩形、菱形、正方形1一、填空题1(2021北京中考真题)如图,在矩形中,点分别在上,只需添加一个条件即可证明四边形是菱形,这个条件可以是_(写出一个即可)2(2019北京中考真题)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为_3(2019北京中考真题)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形所
2、有正确结论的序号是_4(2018北京中考真题)如图,在矩形中,是边的中点,连接交对角线于点,若,则的长为_5(2022北京西城二模)如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,点F在线段DE上,且AFBF若AB=4,BC=7,则EF的长为_6(2022北京西城一模)如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上,且DG=EF只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形,这个条件可以是_(写出一个即可)7(2022北京海淀二模)如图,在平行四边形ABCD中,过AC中点O的直线分别交边BC,AD于点E,F,连接AE,CF只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形,这个条
3、件可以是_(写出一个即可)8(2021北京西城二模)图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案,它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分,图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成在菱形中,在对角线上截取,连按,可将菱形分割为“风筝”(凸四边)和“飞镖”(凹四边形)两部分,则图2中的_二、解答题9(2022北京中考真题)在中,D为内一点,连接,延长到点,使得(1)如图1,延长到点,使得,连接,若,求证:;(2)连接,交的延长线于点,连接,依题意补全图2,若,用等式表示线段与的数量关系,并证明10(2022北京中考真题)如图,在中,交于点,点在上,(1)求证:四边形是平行四边形;(2)若求证
4、:四边形是菱形11(2021北京中考真题)如图,在四边形中,点在上,垂足为(1)求证:四边形是平行四边形;(2)若平分,求和的长12(2020北京中考真题)在中,C=90,ACBC,D是AB的中点E为直线上一动点,连接DE,过点D作DFDE,交直线BC于点F,连接EF(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设,求EF的长(用含的式子表示);(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明13(2020北京中考真题)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OGEF(1)求证:四边形OEFG是
5、矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长14(2018北京中考真题)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明15(2018北京中考真题)如图,在四边形中,AB/DC,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接(1)求证:四边形是菱形;(2)若,求的长16(2022北京东城二模)如图,在平行四边形中,点是的中点,连接并延长,交的延长线于点,连接(1)求证:四
6、边形是菱形;(2)若,求菱形的边长17(2022北京东城一模)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点(),连接BE,DE(1)求证:;(2)过点E作交BC于点F,延长BC至点G,使得,连接DG依题意补全图形;用等式表示BE与DG的数量关系,并证明18(2022北京西城二模)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别在DA,BC的延长线上,且BEED,CF=AE(1)求证:四边形EBFD是矩形;(2)若,求BF的长19(2022北京西城一模)已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转(),得到线段BE,连接EA,EC(1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若BE平分A
7、BC,AB=4,则AEC=_,四边形ABCE的面积为_;(2)当点E在正方形ABCD的外部时,在图2中依题意补全图形,并求AEC的度数;作EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF用等式表示线段AE,FB,FC之间的数量关系,并证明20(2022北京西城一模)如图,在ABC中,BA=BC,BD平分ABC交AC于点D,点E在线段BD上,点F在BD的延长线上,且DE=DF,连接AE,CE,AF,CF(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若BAAF,AD=4,求BD和AE的长21(2022北京朝阳二模)在正方形ABCD中,E为BC上一点,点M在AB上,点N在DC上,且,垂足为点
8、F(1)如图1,当点N与点C重合时,求证:;(2)将图1中的MN向上平移,使得F为DE的中点,此时MN与AC相交于点H,依题意补全图2;用等式表示线段MH、HF,FN之间的数量关系,并证明22(2022北京朝阳二模)如图,在菱形ABCD中,O为AC,BD的交点,P,M,N分别为CD,OD,OC的中点(1)求证:四边形OMPN是矩形;(2)连接AP,若,求AP的长23(2022北京朝阳一模)如图,在矩形中,相交于点O,(1)求证:四边形是菱形;(2)若,求四边形的面积24(2022北京海淀二模)如图,在RtABC中,A =90,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,连接DF,EF(1)求证:
9、四边形AEFD是矩形;(2)连接BE,若AB = 2,tan C =,求BE的长25(2022北京海淀一模)如图,在中,D是BC的中点,点E,F在射线AD上,且(1)求证:四边形BECF是菱形;(2)若,求菱形BECF的面积26(2021北京东城二模)如图,在菱形ABCD中,点E是CD的中点,连接AE,交BD于点F(1)求BF:DF的值;(2)若AB=2,AE=,求BD的长27(2021北京东城一模)尺规作图:如图,已知线段a,线段b及其中点求作:菱形ABCD,使其两条对角线的长分别等于线段a,b的长作法:作直线m,在m上任意截取线段;作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O;以点O为圆心,
10、线段b的长的一半为半径画圆,交直线EF于点B,D;分别连接AB,BC,CD,DA;则四边形ABCD就是所求作的葵形(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明证明:,四边形ABCD是_,四边形ABCD是菱形(_)(填推理的依据)28(2021北京东城一模)如图,在平行四边形ABCD中,过点D作于点E,DE的延长线交AB于点F,过点B作交DC于点G,交AC于点M过点G作于点N(1)求证:四边形NEMG为矩形;(2)若,求线段AC的长29(2021北京西城二模)如图,在中,为的角平分线,连接(1)求证:四边形为矩形:(2)连接,若,求的长30(2021北京朝阳二模)已知
11、:如图,ABC为锐角三角形,ABAC求作:BC边上的高AD作法:以点A为圆心,AB长为半径画弧,交BC的延长线于点E;分别以点B,E为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相交于点F(不与点A重合);连接AF交BC于点D线段AD就是所求作的线段(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明证明:连接AE,EF,BFAB=AE= EF = BF,四边形ABFE是_(_)(填推理依据)AFBE即AD是ABC中BC边上的高参考答案1(答案不唯一)【分析】由题意易得四边形是平行四边形,然后根据菱形的判定定理可进行求解【解析】解:四边形是矩形,四边形是平行四边形,若要添加一个条件使其
12、为菱形,则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由:一组邻边相等的平行四边形是菱形;故答案为(答案不唯一)【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定,熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键212【分析】由菱形的性质得出OA=OC,OB=OD,ACBD,设OA=x,OB=y,由题意得:,解得:,得出AC=2OA=6,BD=2OB=4,即可得出菱形的面积【解析】解:如图1所示:四边形ABCD是菱形,OA=OC,OB=OD,ACBD,设OA=x,OB=y,由题意得:,解得:,AC=2OA=6,BD=2OB=4,菱形ABCD的面积=;故答案为12
13、【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用;熟练掌握正方形和菱形的性质,由题意列出方程组是解题的关键3【分析】根据矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理即可得到结论【解析】解:如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,OA=OB=OC=OD,ABCD,ADBC,OBM=ODP,OAQ=OCN,过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,BOM=DOP,AOQ=CON,所以BOMDOP(ASA),AOQCON(ASA),所以OM=OP,OQ=ON,则四边形MNPQ是平行四边形,故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形
14、;故正确;如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,故存在无数个四边形MNPQ是矩形;故正确;如图,当PMQN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故正确;当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则AMQDQP,AM=QD,AQ=PD,PD=BM,AB=AD,四边形ABCD是正方形,当四边形ABCD为正方形时,四边形MNPQ是正方形,故错误;故正确结论的序号是故答案为:【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理,熟记各定理是解题的关键4【分析】根据勾股定理求出,根据/,得到,即可求出的长【解析】解:四边形是矩形,/,在中,是中点,/,故答案为:【点睛】考
15、查矩形的性质,勾股定理,相似三角形的性质及判定,熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键5【分析】利用三角形中位线定理得到DE=BC由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可【解析】解:点D、E分别是边AB、AC的中点,DE是ABC的中位线,BC=7,DE=BC=7=AFBF,D是AB的中点,AB=4,DF=AB=4=2,EF=DE-DF=-2=故答案为:【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用,直角三角形的性质,解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半6或【分析】由DE是中位线得出,又DG=EF表示的是对角
16、线相等,根据:对角线相等的平行四边形是矩形;增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可【解析】解:分别是的中点,当时,四边形DFGE是平行四边形,四边形DFGE是矩形;当时,四边形DFGE是平行四边形,四边形DFGE是矩形;故答案为:或【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定,根据:对角线相等的平行四边形是矩形;准确分析出平行四边形的判定是解题关键7(答案不唯一)【分析】根据菱形的判定即可解【解析】是平行四边形ADBCFAC=ECA,AFE=FEC,AO=COAOFCOE(AAS)AF=CE又AF=CE四边形AECF 是平行四边形,又四边形AECF是菱形故答案为:(答案不唯一)【点睛】本题考
17、查了平行四边形的性质、菱形的判定等,熟练掌握菱形判定是解决问题的关键8144【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明,可以先求出的度数,再根据三角形全等求出,进而得出的度数【解析】在菱形中, , ,在 与中 故答案为:144【点睛】题目主要考查了菱形对角线的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明方法,难度适中9(1)见解析(2);证明见解析【分析】(1)先利用已知条件证明,得出,推出,再由即可证明;(2)延长BC到点M,使CMCB,连接EM,AM,先证,推出,通过等量代换得到,利用平行线的性质得出,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可
18、得到【解析】(1)证明:在和中, , , ,(2)解:补全后的图形如图所示,证明如下:延长BC到点M,使CMCB,连接EM,AM,CMCB, 垂直平分BM,在和中, , , , , , ,即, , 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,垂直平分线的性质,平行线的判定与性质,勾股定理的逆用,直角三角形斜边中线的性质等,第二问有一定难度,正确作辅助线,证明是解题的关键10(1)见解析(2)见解析【分析】(1)先根据四边形ABCD为平行四边形,得出,再根据,得出,即可证明结论;(2)先证明,得出,证明四边形ABCD为菱形,得出,即可证明结论【解析】(1)证明:四边形ABCD为平行四边形,即,四边形
19、是平行四边形(2)四边形ABCD为平行四边形,四边形ABCD为菱形,即,四边形是平行四边形,四边形是菱形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质,菱形的判定和性质,平行线的性质,熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法,是解题的关键11(1)见详解;(2),【分析】(1)由题意易得ADCE,然后问题可求证;(2)由(1)及题意易得EF=CE=AD,然后由可进行求解问题【解析】(1)证明:,ADCE,四边形是平行四边形;(2)解:由(1)可得四边形是平行四边形,平分,EF=CE=AD,【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数,熟练掌握平行四边形的性质与判定
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