高等数学第十一章第六节《高斯公式通量与散度》课件

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1、第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广推广 一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 高斯公式 通量与散度 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式 定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , yxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式公式) 231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: 设 ,321zzRy

2、xzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域 , ),(:22yxzz 则 yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz所以 zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 例例1. 用Gauss

3、 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标) zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 例例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 222zyxhozyx解解: 作辅助面 ,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧 1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z =

4、0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,记h1所围区域为, 则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2yxhyxDdd2421hhozyxh1例例3. .dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面 21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面 1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr202dcos41zoxy211用柱坐标用柱坐标 用极坐标用极坐标 三、通量与散度三、通量与散度 引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 kzyxRjzyxQizyxP

5、zyxv),(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 SRQPdcoscoscosSnvd若 为方向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . n流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 n 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且

6、为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 定义定义: 设有向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, SnAd为向量场 A 通过 有向曲面 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 AdivzRyQxP0divA表明该点处有正源,

7、 0divA表明该点处有负源, 0divA表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 0divA若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如例如, 匀速场 ),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场. 说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 内容小结内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式: yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用: 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) 2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPASnAdzRyQxPAdiv思考与练习思考与练习 所围立体, 判断下列演算是否正确? yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R31Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)( 3222 为