高等数学第十二章第十节《欧拉方程》课件

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程 xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则 xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkk

2、yDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程: )(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解解: 则原方程化为 亦即 其根 则对应的齐次方程的通解为 特征方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: CtBtAy2代入确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 特征根: 设特解: ,

3、2 tetAy 代入 解得 A = 1, 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 解解: 由题设得定解问题 ,tex 令,ddtD 记则化为 teyDDD54) 1(teyD5)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teAy 代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为 tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得 21, 121CC故所求特解为 xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程 提示提示: 原方程 直接令 作业作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)() 1(21aefypDpDDttDdd记