高等数学第三章第八节《方程的近似解》课件

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1、三、一般迭代法 (补充) 第八节 的实根求方程0)(xf可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法 ，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间,0)()(, ,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfxoy)(xfy xoy.)(, )(的草图估计隔根区间由xyxyab)()(xx

2、ab)(xy)(xy(2) 逐步收索法 01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根 , )5 . 1, 1 (可转化为 .)5 . 1, 1 (即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右 搜索, 若 0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 . xoy213xy 1 xy1a1b2. 二分法二分法 ，设,)(baCxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一个根),(ba取中点 ，21ba1，若0)(1f.1即为所求根则，若0)()(1faf, ),(1a则

3、根;,111baa令, ),(1b否则对新的隔根区间 ,11ba重复以上步骤, 反复进行, 得 ,111bba令,11nnbababa的中点若取,nnba则误差满足 )(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作为0 n1a1b例例1. 用二分法求方程 04 . 19 . 01 . 123xxx的近似 实根时, 要使误差不超过 ,103至少应对分区间多少次 ? 解解: 设 ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(Cxf则9 . 02 . 23)(2xxxf)067. 5(0,),()(单调递增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (

4、f故该方程只有一个实根 , , 1,0为其一个隔根区间欲使 )01 (1211nn310必需 ,100021n即 11000log2n96. 8可见只要对分区间9次 , 即可得满足要求的实根近似值 10二、牛顿切线法及其变形二、牛顿切线法及其变形 :)(满足xf0)()(,) 1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况: xbayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff牛顿切线法的基本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与 )(xf 同号的端点为 ,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求

5、方 yxbao1x0 x在此点作切线 , 其方程为 )()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它与 x 轴的交点 , )0,(1x)()(0001xfxfxx其中 再在点 )(,(11xfx作切线 , 可得近似根 .2x如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : )()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 牛顿法的变形牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法简化牛顿法 若用一常数代替 yxbao, )(1nxf即用平行 , )()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线, 得 )()(011xfxfxxnnn),2, 1(n优点: ，

6、避免每次计算)(1nxf因而节省计算量. 缺点: 逼近根的速度慢一些. 三三. 一般迭代法一般迭代法 (补充) , )(0)(xxxf 转化为等价方程将方程在隔根区 ,0 x间内任取一点按递推公式 ),2, 1()(1nxxnn,nx生成数列,limnnx若则 即为原方程的根 . 称为迭代格式 , ,)(称为迭代函数x称为迭代0 x,lim存在称迭代收敛若nnx初值 . 否则称为发散 . 例例3. 用迭代法求方程 .2, 1 013内的实根在 xx解法解法1 将方程变形为 , 13 xx迭代格式为 , 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903发散 ! 解法解法2 将方程变形为 ,13xx迭代格式为 , 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 . 内容小结内容小结 1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法 二分法 牛顿切线法 简化牛顿法 一般迭代法