高等数学第七章第五节《可降阶高阶微分方程》课件

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1、可降阶高阶微分方程 第五节 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 一、一、 )()(xfyn令 ,) 1( nyz因此 1d)(Cxxfz即 同理可得 2)2(d Cxynxd 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 21CxC型的微分方程型的微分方程 例例1. 解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设 , )(xpy 原方程化为一阶方程 设其通解为 ),(1Cxp则得 ),(1C

2、xy再一次积分, 得原方程的通解 21d),(CxCxy二、二、 例例2. 求解 yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: 代入方程得 pxpx2)1(2分离变量 积分得 ,ln)1(lnln12Cxp,3 0 xy利用 , 31C得于是有 )1(32xy两端再积分得 233Cxxy利用 ,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为 三、三、 ),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令 ),(ypy xpydd 则xyypdddd故方程化为 设其通解为 ),(1Cyp即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例例3. 求解 代入方程得 两端积分得 ,lnlnln1Cyp,1yCp 即(一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解解: xpydd 则xyypddddyppdd例例4. 解初值问题 解解: 令 02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得 积分得 1221221Cepy利用初始条件, , 0100 xyyp, 01C得根据 yepxydd积分得 ,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为 xey1得 内容小结内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 , )(xpy 令 , )(ypy 思考与练习思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可.