第1章特殊的平行四边形 单元测试卷（含答案）2022-2023学年北师大版九年级数学上册

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1、 第第 1 章特殊的平行四边形章特殊的平行四边形 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC6cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒cm 的速度向终点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度向终点 C 运动，将PQC沿 BC 翻折，点 P 的对应点为点 P设 Q 点运动的时间为 t 秒，若四边形 QPCP 为菱形，则 t 的值为（ ） A B2 C D3 2如图若要使平行四边形 ABCD 成为菱形则需要添加的条件是（ ） AABCD BADBC CABBC DACBD

2、3如图，RtABC 中，DC 是斜边 AB 上的中线，EF 过点 C 且平行于 AB若BCF35，则ACD 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 4如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 P 在 AB 上，PEAC 于 E，PFBD 于 F，则 PE+PF 等于（ ） A B C D 5如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，则EF 的最小值为（ ） A2 B2.2 C2.4 D2.5 6四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它为正方形的条件是（ ） AAOCD BAOCOBODO CAO

3、CO，BODO，ACBD DAOBOCODO，ACBD 7顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（ ） A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形 8如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 的外侧作正方形 ABED，过点 D 作 DFBC，垂足为 F，则 DF 的长为（ ） A2+2 B5 C3 D +1 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 9如图，以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第 n 个四边形的周长为 10如图，菱

4、形 ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形 11如图，ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AC4，BC3，P 为 AB 上一动点，且 PEAC 于 E，PFBC 于 F，则线段 EF 长度的最小值是 12如图是一个矩形桌子，一小球从 P 撞击到 Q，反射到 R，又从 R 反射到 S，从 S 反射回原处 P，入射角与反射角相等 （例如PQARQB等） ， 已知AB8， BC15， DP3 则小球所走的路径的长为 13如图，在 RtABC 中，C90，AB10，若以点 C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点D，则 AC 的长等于 14如图，分别以

5、直角ABC 的斜边 AB，直角边 AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边ACE，F 为 AB的中点，DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，ACB90，BAC30给出如下结论： EFAC；四边形 ADFE 为菱形；AD4AG；FHBD 其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上） 15如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 OAC8cm，BD6cm，点 P 为 AC 上一动点，点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发沿 AC 向点 C 运动设运动时间为 ts，当 t s 时，PAB 为等腰三角形 16如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE

6、、BE、DE过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P若 AEAP1，PB下列结论： APDAEB；点B到直线AE的距离为；EBED；SAPD+SAPB1+；S正方形ABCD4+ 其中正确结论的序号是 17如图，在 34 的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个 18如图，在四边形 ABCD 中，ACBD6，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EG2+FH2 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 88 分）分） 19在等腰ABC 中，ABAC8，BAC100，AD 是BAC 的平分线，交 BC 于 D，点 E 是 AB 的中点，连接 DE （1）求

7、BAD 的度数； （2）求B 的度数； （3）求线段 DE 的长 20如图，在ABCD 中，BC2AB4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点 （1）求证：ABECDF； （2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积 21如图，ABC 中，BAC90，点 D 是 BC 的中点，AEDC，ECAD，连接 DE 交 AC 于点 O， （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若 ABAO，求 tanOCE 的值 22 如图，ABC 中， 点 O 是边 AC 上一个动点， 过 O 作直线 MNBC 设 MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACD 的外角平分线于点 F （1）求证：OEO

8、F； （2）若 CE12，CF5，求 OC 的长； （3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由 23已知ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 是等边三角形，AB4cm，求这个平行四边形的面积 24 如图， 四边形 ABCD 是矩形， E 是 BD 上的一点， BAEBCE， AEDCED 求证： 四边形 ABCD是正方形 25已知，如图，矩形 ABCD 中，AD6，DC7，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，AH2，连接 CF （1）若 DG2，求证四边形 EFGH 为正方形； （2

9、）若 DG6，求FCG 的面积； （3）当 DG 为何值时，FCG 的面积最小 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1解：连接 PP交 BC 于 O， 若四边形 QPCP为菱形， PPQC， POQ90， ACB90， POAC， ， 设点 Q 运动的时间为 t 秒， APt，QBt， QC6t， CO3， ACCB6，ACB90， AB6， ， 解得：t2， 故选：B 2解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：ABBC 故选：C 3解：EFAB，BCFB， BCF35

10、， B35， DC 是斜边 AB 上的中线， ADBDCD， BBCD，ACDCAD， ADCB+BCD， ADC70， ACD（18070）55， 故选：C 4解：方法一：设 APx，PB3x EAPEAP，AEPABC； AEPABC，故； 同理可得BFPDAB，故 +得， PE+PF 方法二：（面积法） 如图，作 BMAC 于 M，则 BM， SAOBSAOP+SPOB， AOBMAOPE+OBPF， OAOB， PE+PFBM 故选：B 5解：在ABC 中，AB3，AC4，BC5， AB2+AC2BC2， 即BAC90 又PEAB 于 E，PFAC 于 F， 四边形 AEPF 是矩形，

11、 EFAP 因为 AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4， EF 的最小值为 2.4， 故选：C 6解：A、不能判定为特殊的四边形； B、只能判定为矩形； C、只能判定为菱形； D、能判定为正方形； 故选：D 7解：等腰梯形的两条对角线相等， 顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形， 菱形的对角线互相垂直， 再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形 故选：D 8解：方法一：如图，延长 DA、BC 交于点 G， 四边形 ABED 是正方形， BAD90，ADAB， BAG1809090， ABC 是边长为 2 的等边三角形， AB2，ABC60， AGABtanA

12、BC2tan602， DGAD+AG2+2， G906030，DFBC， DFDG（2+2）1+， 故选 D 方法二：如图，过点 E 作 EGDF 于点 G，作 EHBC 于点 H， 则BHEDGE90， ABC 是边长为 2 的等边三角形， AB2，ABC60， 四边形 ABED 是正方形， BEDE2，ABEBED90， EBH180ABCABE180609030， EHBEsinEBH2sin3021，BHBEcosEBH2cos30， EGDF，EHBC，DFBC， EGFEHBDFH90， 四边形 EGFH 是矩形， FGEH1，BEH+BEGGEH90， DEG+BEG90， BE

13、HDEG， 在BEH 和DEG 中， ， BEHDEG（AAS）， DGBH， DFDG+FG+1， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 9解：根据三角形中位线定理得，第一个四边形的边长为，周长为 2， 第二个四边形的周长为4， 第三个四边形的周长是：4（）3， 第 n 个四边形的周长为 4（）n， 故答案为，4（）n 10解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：ACBD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABBC； 故添加的条件为：ACBD 或 ABBC 11解：连接 PC PEAC，PFBC， PECPFCC90； 又ACB90，

14、四边形 ECFP 是矩形， EFPC， 当 PC 最小时，EF 也最小， 即当 CPAB 时，PC 最小， AC4，BC3， AB5， ACBCABPC， PC 线段 EF 长的最小值为； 故答案是： 12解：入射角与反射角相等， BQRAQP，APQSPD，CSRDSP，CRSBRQ， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD90， DPS+DSP90，AQP+APQ90， DSPAQPCSRBQR， RSPRQP， 同理SRQSPQ， 四边形 SPQR 是平行四边形， SRPQ，PSQR， 在DSP 和BQR 中 DSPBQR， BRDP3，BQDS， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD8，

15、BCAD15， AQ8DS，AP15312， SPDAPQ， SDPQAP， ， DS， 在 RtDSP 中，由勾股定理得：PSQR， 同理 PQRS， QP+PS+SR+QR2+234， 故答案为：34 13解：如图，C90，点 D 为 AB 的中点， AB2CD10， CD5， BCCD5， 在 RtABC 中，AC5 故答案为：5 14解：ACE 是等边三角形， EAC60，AEAC， BAC30， FAEACB90，AB2BC， F 为 AB 的中点， AB2AF， BCAF， ABCEFA， FEAB， AEFBAC30， EFAC，故正确， EFAC，ACB90， HFBC， F

16、是 AB 的中点， HFBC， BCAB，ABBD， HFBD，故说法正确； ADBD，BFAF， DFB90，BDF30， FAEBAC+CAE90， DFBEAF， EFAC， AEF30， BDFAEF， DBFEFA（AAS）， AEDF， FEAB， 四边形 ADFE 为平行四边形， AEEF， 四边形 ADFE 不是菱形； 故说法不正确； AGAF， AGAB， ADAB， 则 AD4AG，故说法正确， 故答案为： 15解：四边形 ABCD 是菱形，AC8cm，BD6cm， ACBD，AOOC4cm，BOOD3cm， 由勾股定理得：BCABADCD5cm， 分为三种情况：如图 1，

17、当 PAAB5cm 时，t515； 如图 2，当 P 和 C 重合时，PBAB5cm，t818； 如图 3，作 AB 的垂直平分线交 AC 于 P，此时 PBPA，连接 PB， 在 RtBOP 中，由勾股定理得：BP2BO2+OP2， AP232+（4AP）2， AP； t1， 故答案为：5 或 8 或 16解：EAB+BAP90，PAD+BAP90， EABPAD， 又AEAP，ABAD， 在APD 和AEB 中， ， APDAEB（SAS）； 故此选项成立； APDAEB， APDAEB， AEBAEP+BEP，APDAEP+PAE， BEPPAE90， EBED； 故此选项成立； 过 B

18、 作 BFAE，交 AE 的延长线于 F， AEAP，EAP90， AEPAPE45， 又中 EBED，BFAF， FEBFBE45， 又BE， BFEF， 故此选项不正确； 如图，连接 BD，在 RtAEP 中， AEAP1， EP， 又PB， BE， APDAEB， PDBE， SABP+SADPSABDSBDPS正方形ABCDDPBE（4+）+ 故此选项不正确 EFBF，AE1， 在 RtABF 中，AB2（AE+EF）2+BF24+， S正方形ABCDAB24+， 故此选项正确 故答案为： 17解：第一行有 1 个矩形，第二行有 1 个矩形，第三行有 6 个， 第一列有 3 个，第二列

19、有 1 个，第四列有 3 个， 那么共有 1+1+6+3+1+315 个， 图中还有 11 个正方形，因为正方形也是矩形的一种， 因此共有 26 个矩形 故答案为 26 18解：如右图，连接 EF，FG，GH，EH， E、H 分别是 AB、DA 的中点， EH 是ABD 的中位线， EHBD3， 同理可得 EF，FG，GH 分别是ABC，BCD，ACD 的中位线， EFGHAC3，FGBD3， EHEFGHFG3， 四边形 EFGH 为菱形， EGHF，且垂足为 O， EG2OE，FH2OH， 在 RtOEH 中，根据勾股定理得：OE2+OH2EH29， 等式两边同时乘以 4 得：4OE2+4

20、OH29436， （2OE）2+（2OH）236， 即 EG2+FH236 故答案为：36 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 88 分）分） 19解：（1）AD 是BAC 的平分线， BADCAD， BAC100， BAD50； （2）ABAC， BC， ； （3）ABAC，AD 平分BAC， AD 是等腰ABC 底边 BC 上的高，即ADB90 在直角三角形 ABD 中，点 E 是 AB 的中点， DE 为斜边 AB 边上的中线， DE 20（1）证明：在ABCD 中，ABCD， BCAD，ABCCDA 又BEECBC，AFDFAD， BEDF ABECDF （2）解：四边

21、形 AECF 为菱形， AEEC 又点 E 是边 BC 的中点， BEEC，即 BEAE 又BC2AB4， ABBCBE， ABBEAE，即ABE 为等边三角形，如图， 过点 A 作 AHBC 于 H， BHBE1， 根据勾股定理得，AH 菱形 AECF 的面积为 2 21（1）证明：AEDC，ECAD， 四边形 ADCE 是平行四边形， BAC90，点 D 是 BC 的中点， ADBDCD， 平行四边形 ADCE 是菱形； （2）解：四边形 ADCE 是菱形， EOC90，AOCO，ACEACD， tanACB， tanOCE 22（1）证明：MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACD 的外

22、角平分线于点 F， 25，46， MNBC， 15，36， 12，34， EOCO，FOCO， OEOF； （2）解：25，46， 2+45+690， CE12，CF5， EF13， OCEF6.5； （3）解：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形 证明：当 O 为 AC 的中点时，AOCO， EOFO， 四边形 AECF 是平行四边形， ECF90， 平行四边形 AECF 是矩形 23解：四边形 ABCD 是平行四边形， AOOCAC，BOODBD， AOB 是等边三角形， AOBO ACBD 平行四边形 ABCD 是矩形， 在 RtABC 中， AB4cm

23、，AC2AO8cm， BC4cm， S平行四边形ABCDABBC4cm4cm16cm2 24证明：CED 是BCE 的外角，AED 是ABE 的外角， CEDCBE+BCE，AEDBAE+ABE， BAEBCE，AEDCED， CBEABE， 四边形 ABCD 是矩形， ABCBCDBAD90，ABCD， CBEABE45， ABD 与BCD 是等腰直角三角形， ABADBCCD， 四边形 ABCD 是正方形 25解：（1）四边形 ABCD 为矩形，四边形 HEFG 为菱形， DA90，HGHE，又 AHDG2， RtAHERtDGH（HL）， DHGHEA， AHE+HEA90， AHE+DHG90， EHG90， 四边形 HEFG 为正方形； （2）过 F 作 FMDC，交 DC 延长线于 M，连接 GE， ABCD， AEGMGE， HEGF， HEGFGE， AEHMGF， 在AHE 和MFG 中，AM90，HEFG， AHEMFG， FMHA2，即无论菱形 EFGH 如何变化，点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2， 因此； （3）设 DGx，则由第（2）小题得，SFCG7x，在AHE 中，AEAB7， HE253， x2+1653， x， SFCG的最小值为，此时 DG， 当 DG时，FCG 的面积最小为（）