第一章勾股定理 同步测试（含答案）2022—2023学年北师大版八年级数学上册

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1、第一章勾股定理第一章勾股定理 一选择题一选择题 1如图，分别以直角三角形的两条直角边为边长构造两个正方形，两个正方形的面积分别为1 和 2，则该直角三边形的斜边长为（ ） A5 B3 C D 2如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A12 米 B13 米 C14 米 D15 米 3一个杯子的底面半径为 6cm，高为 16cm，则杯内所能容下的最长木棒为（ ） A6cm B12cm C16cm D20cm 4一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第( )组 A13，12，12 B12，1

2、2，8 C13，10，12 D5，8，4 5课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ） A行，不行 B不行，行 C，都行 D，都不行 6一部电视机屏幕的长为 58 厘米,宽为 46 厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误差忽略不计)( ) A34 英寸(87 厘米) B29 英寸(74 厘米) C25 英寸(64 厘米) D21 英寸(54 厘米) 7如图所示，甲渔船以 8 海里/时的速度离开港口 O 向东北方向航行，乙渔船以 6 海里/时的速度离开港口 O 向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ） A12

3、 海里 B13 海里 C14 海里 D15 海里 8下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A1，2，3 B3，4，5 C5，12，17 D32，42，52 9如图，这是用面积为 18 的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”如果大正方形的边长为 9，那么小正方形的边长为（ ） A1 B2 C3 D4 10如图，AD 是 ABC 的中线，若 ABAC5，BC6，则 AD 的值是（ ） A4 B3 C2 D2 二填空题二填空题 11如图，一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米 12如图所示,李明从家出发向正北方向走了 12

4、00 米,接着向正东方向走到离家 2000 米远的地方,这时,李明向正东方向走了_米. 13 如图， 小明将一张长为 20cm， 宽为 15cm 的长方形纸剪去了一角， 量得 AB=3cm， CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_ 14如图，在 ABC 中，C90 ，AC4，BC2以 AB 为一条边向三角形外部作正方形ABDE，P 为 DE 上一点，则四边形 ACBP 的面积为 15 如图， “赵爽弦图”由 4 个完全一样的直角三角形所围成， 在 Rt ABC 中， ACb， BCa，ACB90 ， 若图中大正方形的面积为 60， 小正方形的面积为 10， 则 （a+b）2的值为 16

5、如图， 每个小正方形的边长都相等， A， B， C是小正方形的顶点， 则ABC的度数为 17观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；若 a，144， 145 是其中的一组勾股数， 则根据你发现的规律， a （提示： 5， 13， ） 18某住宅小区有一块草坪如图所示，已知 AB3 米，BC4 米，CD12 米，DA13 米，且 ABBC，这块草坪的面积是 米2 三解答题三解答题 19有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少 20 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上， 旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图 求彩旗

6、下垂时最低处离地面的最小高度 h彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm） 21如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2c2 22如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高 4 米,宽 2.8 米,求这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 23 （1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，由此他发现

7、最小数是奇数的勾股数的构造方法你发现了吗？请你写出以下几组勾股数组： 5， ， ；7， ， ；9， ， ； （2）写出一般规律的表达方式， （用字母 n 表示，n 为正整数） n ， ， 24 （1）如图 1，长方体的长为 4cm、宽为 3cm，高为 12cm，现有一只蚂蚁从点 A 处沿长体表面爬到点 G 处，求它爬行的最短路程； （2）如图 2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm 的点 A 处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 25如图

8、， ABC 中，ACB90 ，AB10cm，BC6cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在 AC 上，且满足 PAPB 时，求出此时 t 的值； （2）若点 P 恰好在BAC 的角平分线上，求 t 的值 第一章勾股定理第一章勾股定理 一选择题一选择题 1如图，分别以直角三角形的两条直角边为边长构造两个正方形，两个正方形的面积分别为1 和 2，则该直角三边形的斜边长为（ ）选：C A5 B3 C D 2如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）选 A A12 米 B13 米 C1

9、4 米 D15 米 3一个杯子的底面半径为 6cm，高为 16cm，则杯内所能容下的最长木棒为（ ）选：D A6cm B12cm C16cm D20cm 4一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第( )组选 C A13，12，12 B12，12，8 C13，10，12 D5，8，4 5课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）选：A A行，不行 B不行，行 C，都行 D，都不行 6一部电视机屏幕的长为 58 厘米,宽为 46 厘米,则这部电视机的大小规格为(实际测量误

10、差忽略不计)( )选 B A34 英寸(87 厘米) B29 英寸(74 厘米) C25 英寸(64 厘米) D21 英寸(54 厘米) 7如图所示，甲渔船以 8 海里/时的速度离开港口 O 向东北方向航行，乙渔船以 6 海里/时的速度离开港口 O 向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）选：D A12 海里 B13 海里 C14 海里 D15 海里 8下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ）选：B A1，2，3 B3，4，5 C5，12，17 D32，42，52 9如图，这是用面积为 18 的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”如果大正方形的边长为 9，那么小正

11、方形的边长为（ ）选：C A1 B2 C3 D4 10如图，AD 是 ABC 的中线，若 ABAC5，BC6，则 AD 的值是（ ）选 A A4 B3 C2 D2 二填空题二填空题 11如图，一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 8 米 12如图所示,李明从家出发向正北方向走了 1200 米,接着向正东方向走到离家 2000 米远的地方,这时,李明向正东方向走了_1600_米. 13 如图， 小明将一张长为 20cm， 宽为 15cm 的长方形纸剪去了一角， 量得 AB=3cm， CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_2

12、0cm_ 14如图，在 ABC 中，C90 ，AC4，BC2以 AB 为一条边向三角形外部作正方形ABDE，P 为 DE 上一点，则四边形 ACBP 的面积为 14 解：C90 ，AC4，BC2， AB2， 正方形的面积AB2（2）220， S ABPS正方形ABDE10， S ACBACBC 4 24， 四边形 ACBP 的面积S ABP+S ABC10+414， 故答案为：14 15 如图， “赵爽弦图”由 4 个完全一样的直角三角形所围成， 在 Rt ABC 中， ACb， BCa，ACB90 ， 若图中大正方形的面积为 60， 小正方形的面积为 10， 则 （a+b）2的值为 110

13、16 如图， 每个小正方形的边长都相等， A， B， C 是小正方形的顶点， 则ABC 的度数为 45 解：如图，连接 AC 由题意，AC，BC，AB， ACBC，AB2AC2+BC2， ABC 是等腰直角三角形，且ACB90 ， ABCCAB45 ， 故答案为：45 17观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；若 a，144，145 是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a 17 （提示：5，13，） 解：由题意得：a2+14421452， a214521442， a17 故答案为：17 18某住宅小区有一块草坪如图所示，已知 AB3 米，BC4 米，

14、CD12 米，DA13 米，且 ABBC，这块草坪的面积是 36 米2 三解答题三解答题 19有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少 解：连接 AC， 在 Rt ACD 中，AC 为斜边， 已知 AD4，CD3， 则 AC5， AC2+BC2AB2， ABC 为直角三角形， S四边形ABCDS ABCS ACDACCBADDC24， 答：该四边形面积为 24 20 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上， 旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm） 解：如图， 120c

15、m,90cmACBC， 22150cmABACBC， 150cmEM ， 320 150 170cmhEFEM 21如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2c2 解：由图可知： S正方形4 ab+（ba）2 2ab+b2+a22ab a2+b2 S正方形c2， 所以 a2+b2c2 22. 如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古

16、通道,现有一辆卡车装满家具后,高 4 米,宽 2.8 米,求这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 解：过直径的中点 O 作直径的垂线，交下底边于点 D，如图所示， 在 RtABO 中，由题意知 OA=2，DC=OB=1.4， 所以 AB2=22-1.42=2.04， 因为 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.041.96， 所以卡车可以通过. 23 （1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法你发现了吗？请你写出以下几组勾股数组： 5， 12 ， 13 ；7， 24 ， 25 ；9， 40 ， 41 ； （2） 写出一般规律的表达方式， （用字母

17、n 表示， n 为正整数） n ， ， 解： （1）； ； ； （2）一般规律的表达方式：n， 24 （1）如图 1，长方体的长为 4cm、宽为 3cm，高为 12cm，现有一只蚂蚁从点 A 处沿长体表面爬到点 G 处，求它爬行的最短路程； （2）如图 2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 3cm 的点 A 处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 解： （1）分三种情况： 把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是

18、AG（cm） ； 把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 AG（cm） ； 把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 AG（cm） ； ， 所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是cm； （2）如图，将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离 高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处， AD5cm，BD123+312（cm）， AB13（cm） 25如图， ABC 中，ACB

19、90 ，AB10cm，BC6cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在 AC 上，且满足 PAPB 时，求出此时 t 的值； （2）若点 P 恰好在BAC 的角平分线上，求 t 的值 解：（1）连接 PB， ACB90 ，AB10cm，BC6cm， AC8（cm）， CP2+BC2PB2， PAPB2tcm， （82t）2+62（2t）2， t； （2）当点 P 在BAC 的平分线上时，如图，过点 P 作 PEAB 于点 E， 此时 BP（142t）cm，PEPC（2t8）cm，BE1082（cm）， 在 Rt BEP 中，PE2+BE2BP2， 即：（2t8）2+22（142t）2， 解得：t， 当 t12 时，点 P 与 A 重合，也符合条件， 当 t或 12 时，点 P 恰好在BAC 的平分线上