高等数学第二章第四节《隐函数和参数方程求导相关变化率》课件

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1、第四节 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数显函数 . 例如例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数隐函数 . 则称此 隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) y例例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解解: 方程两边对 x 求导 得 xyydd54xydd21621x025211

2、dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 例例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解解: 椭圆方程两边对 x 求导 8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为 323y43)2( x即 例例3. 求 的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx 1) 对幂指函数 vuy 可用对数求导法求导 : uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: : 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意注意: 2) 有

3、些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如例如, 两边取对数 yln两边对 x 求导 yybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导 21yy41312111xxxx两边取对数 2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 0)( t时, 有 xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有 yxddyttxddddtytxdd1dd)()(t

4、t(此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 若上述参数方程中 二阶可导, 22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 ? 例例4. 设 )(tfx, 且 ,0)( tf求 .dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知 解解: )()(tftfty练习练习: P111 题8(1) (3) xydd;1t22ddxy21tt31t解解: 注意注意 : 例例5. 抛射

5、体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 2221)(gtvv再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, xyddtyddtxdd则 yxo抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 12arctanvv达到最高点的时刻 ,2gvt 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 yxo2vt g22vt g例例6. 设由方程 ) 10(1sin 222yytttx确定函数 , )(xyy 求 解解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 xy

6、dd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd 三、相关变化率三、相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 例例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 ,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 tan500h两边对 t 求导 2sect

7、ddthdd5001已知 ,minm140ddth h = 500m 时, ,1tan22tan1sec,2sec2tdd140500121)minrad/(内容小结内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 1. 设 由方程 确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得 0yxyyey再求导, 得 2yey yxey)(02 y 当 0 x时, , 1y故由 得 ey1)0(再代入 得 21)0(ey 求 求其反函数的导数 . 解解: 方法方法1 方法方法2 等式两边同时对 求导 y2. 设 , 求 解解： 0ddtxy3. 设 方程组两边同时对 t 求导, 得