高等数学第八章第三节《曲面及其方程》课件

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1、四、二次曲面四、二次曲面 第三节 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面 曲面及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 222) 3()2() 1(zyx07262zyx化简得 即 说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例引例: : 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为 , ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程

2、 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形. 两个基本问题两个基本问题 : : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 故所求方程为 例例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 xyzoM0M

3、表示上(下)球面 . Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例2. 研究方程 说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. . 表示怎样 一个球面球面 , 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹. 定义定义2. . 一条平面曲线 二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. 该定直线称为旋转旋转 轴轴 . . 例如例如 : 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 , ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,

4、0),(11zyf,), 0(111CzyM若点 给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有 0),(22zyxf则有 该点转到 0),(zyfozyxC思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. xyzL), 0(zyMxy例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转 122222czyax绕 z 轴旋转 122222czayx这两种曲面都叫

5、做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 zxyz三、柱面三、柱面 引例引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解解: :在 xoy 面上， 表示圆C, 222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆 故在空间 222Ryx过此点作 柱面柱面. . 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面圆柱面 oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程, xyzxyzo定义定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线

6、为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面. 12222byax z 轴的平面平面. 0 yx 表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线准线, l 叫做母线母线. xyzooxzy2l一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l四、二次曲面四、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方

7、程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 ) 1 1. 椭球面椭球面 ),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围： czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆 ,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与 )(11czzz的交线为椭圆： 1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样 )(11byyy的截痕 及 也为椭圆.

8、当abc 时为球面. (3) 截痕: 1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数) z2. 抛物面抛物面 zqypx2222(1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) zyx3. 双曲面双曲面 (1)(1)单叶双曲面单叶双曲面 by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆. 时, 截痕为 22122221byczax(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况

9、: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） by 1)2时, 截痕为 0czax)(bby或by 1) 3时, 截痕为 22122221byczax(实轴平行于z 轴; 1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0(2) 双叶双曲面双叶双曲面 ),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线 上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 zxyo222222czbyax单叶双曲面 11双叶双曲面 图形图形 4. 椭圆锥面椭圆锥面 ),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆 在平面 x0 或 y0 上的截痕

10、为过原点的两直线 . zxyo1)()(2222t byt axtz , (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P28 ) xyz内容小结内容小结 1. 空间曲面 三元方程 0),(zyxF 球面 2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面 如, 曲线 00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面: 0),(22zyxf 柱面 如,曲面 0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 2. 二次曲面 三元二次方程 ),(同号qp 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面 2222byax1双叶双曲面 2222byax1 椭圆锥面: 22222zbyax5x922 yx1 xy斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 思考与练习思考与练习 1. 指出下列方程的图形: