第一章空间向量与立体几何 单元测试卷（含答案解析）2022-2023学年高二上数学人教A版(2019）选择性必修第一册

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1、第一章空间向量与立体几何一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.）1已知向量与共线，则实数（）A0B1C或2D或12对于空间的任意三个向量，它们一定是（）A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量3在平形六面体中，其中，则的长为（）ABCD4在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A BC D5已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）A-1B0C1D26已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）ABCD7已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）ABCD8若向量，则（）ABCD二、多项选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分.

2、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（）ABCD10已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）ABCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）11已知平面，写出平面的一个法向量_12已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则_.13已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则_14若向量，则的值是_.15在直三棱柱中，若，则=_.(用表示)四、解答题16如图所示，在平行六面体中，M、N分别是

3、、BC的中点设，(1)已知P是的中点，用、表示、；(2)已知P在线段上，且，用、表示17如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，求直线与平面所成角的正弦值18如图，四棱锥的底面是平行四边形，是的中点，点满足.(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.19如图，在三棱柱中， 面，为的中点.(1)求证：面；(2)求异面直线和所成角的大小.20四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.(1)求线段的长；(2)对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.参考答案1D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得，即可求出k的值.【详解】因为共线，所以，解得或1.故选：D2A【分析】由共面向量定理进行判

4、断【详解】根据向量共面定理知，与共面故选：A3B【分析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为是平行六面体，所以，所以有：，因此有：，因为，所以，所以，故选：B4A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.5D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，故选：D6B【分析】由，可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后列式计算即可得解.【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，所以，解得，.故选：B.7D【分析】若，则，从

5、而即可求解【详解】若，则，从而即,解之得：故选：D8C【分析】求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，故故选：C.9AB【分析】法向量垂直于平面，根据两法向量的位置关系分别进行判断即可.【详解】A选项，平面，不重合，所以平面，的法向量平行等价于平面，平行，故A正确；B选项，平面，不重合，所以平面，的法向量垂直等价于平面，垂直，故B正确；C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，故C错误；D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，故D错误.故选：AB.10BC【分析】要使，只需.对四个选项，分别判断、是否平行即可.【

6、详解】因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，要使，只需.对于A：.因为，所以、不平行.故A 错误；对于B：.因为，所以.故B 正确；对于C：.因为，所以.故C 正确；对于D：.因为，所以、不平行.故D错误；故选：BC.11（答案不唯一）【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：12【分析】根据可求出结果.【详解】因为平面，所以，则，解得.故答案为：13【分析】利用空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】因为，与的夹角为，所以由，故答案为：140【分析】由空间向量的数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为，所以，故答案为：

7、0.15【分析】连接根据直三棱柱的结构特征及空间向量减法的几何意义可得，结合已知即可求表达式.【详解】连接则.故答案为：16(1)，(2)【分析】由空间向量的线性运算可得.(1)因为M、N、P分别是、BC、的中点所以，；(2)因为，所以所以17【分析】求出平面的法向量，用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】，设平面的法向量为，则，解得：，令得：，则，设直线与平面夹角为，则故直线与平面所成角的正弦值为18(1)证明见解析；(2)二面角的余弦值为【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，以为原点，分别以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向

8、量法可求得二面角的余弦值.（1）由题意得，在中，由余弦定理可得，则，平面，平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，又，平面，所以平面，以为原点，分别以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，连接，在平行四边形中，由余弦定理可得，在直角三角形中，于是、，由得，设平面的法向量，则，取得，易知平面的一个法向量，则，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.19(1)见详解(2)【分析】(1)只需连接交于点，证明即可；(2)建系，写出的坐标即可.（1）如图所示，连接交于点，连接则是的中点又是的中点面，面面（2）建立如图所示空间直角坐标系，则异面直线和所成角20(1)1(2)【分析】（1）根据线面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.(1)面，在矩形中，易得：；(2)如四建立空间直角坐标系：则，由题意可知：为平面的一个法向量，直线与面所成角的正弦值为.