第一章空间向量与立体几何 章末试卷（含答案）2022-2023学年高二上数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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1、第一章空间向量与立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A4B1C3D22.点到原点的距离为（ ）A. 1B. 3C. 5D. 93已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则） A B C D4. 如图，在三棱锥SABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，则（ ）A. B. C. D. 5.设点，若，则点的坐标为（ ）A B C D6.在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，则（ ）ABCD7.已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距

2、离为（ ） 8如图，在三棱锥中，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）ABCD二、多选题（共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9在正方体中，设，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A，B，C， D，10.下列说法不正确的是（ ）A若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于30B两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C二面角的大小范围是D二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小11设是空间的一个基底，若，给出下列向量组可以作为空间的基底的是（

3、 ）ABCD12.在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A. 当时，的周长为定值B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，有且仅有一个点，使得D. 当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.空间两点，间的距离是_ ，A关于平面的对称点坐标为_14在ABC中，若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为_15.如图，在直三棱柱中，点分别是的中点，点是上的动点若，则线段长度为_16. 三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 .4、 解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知，（1）若，

4、求的值；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的值18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点(1)证明：EF平面PCD(2)若PD平面ABCD，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值19.、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAPB，PAPB，PC2.(1)证明：平面PAB平面ABCD；(2)若H为PA的中点，求二面角DCHB的余弦值20.如图，已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将RtBED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足（1）求四面体的体积；（2）请计算：直线与所成角的大小；直线与平面所

5、成的角的正弦21.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；（2）求点A到平面PCD的距离.22在平面，平面平面，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，为内的动点（含边界）（1）求点到平面的距离；（2）若_，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围参考答案1、 单项选择题：15 A C A D C 68 D B D 2、 多项选择题：9 AC 10 ABD 11 BCD 12 BD3、 填空题：13. 14.或15.16.5、 解答题：17解：（1）由已知可得，（2

6、），存在实数使得，联立解得（3），即，解得18解：(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以又平面PCD平面PCD，所以EF/平面PCD(2)解：连接，因为PD平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以，因为，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则设平面DEF的法向量，则，令，得设直线AF与平面DEF所成的角

7、为，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为19.解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO，PO，AC因为四边形ABCD为菱形，所以ABBCADCD.由ABC60，知ABC为等边三角形因为O为AB的中点，所以COAB，由勾股定理得CO.因为PAPB，PAPB，所以POAB，且POAB1.由PO2CO2PC2得COOP，又POAB，OCABO，所以PO平面ABCD，因为PO平面PAB，所以平面ABCD平面PAB.(2)以O为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(，2，0)，P(0，0，1)，H.从而，(

8、0，2，0)，(，1，0)设平面DCH的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1，n1，得取n1(1，0，2)设平面BCH的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n2，n2，得取n2(1，3)设所求二面角为，则|cos |cosn1，n2|.因为是钝角，所以所求二面角的余弦值为20.（1） ；（2）；21.解：（1）因平面ABCD，平面ABCD所以，因为，故以A为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为过点C作CEAD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为，所以DE=CE=2，故，设异面直线PC与AD所成角为，所以，异面直线PC与AD所成角的余弦值为.（2），设平面PCD的法向量为，则，即，令，解得：，故，设点A到平面PCD的距离为，则22解：（1）在三棱锥中，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，两两垂直，又，点到平面的距离为（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为以选条件为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，即，不妨令，则；同理可求得平面的法向量，（选条件）因为平面，平面，即，即，又，又平面，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，令，则，在上单调递增，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为