【备战2019年高考】高三数学一轮热点难点名师精讲与专题12：一条特殊的线--函数的切线

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1、 基础知识回顾:（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点 A 附近取点 B，并使 B 沿曲线不断接近 A。这样直线 AB 的极限位置就是曲线在点 A 的切线。（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点 A 附近的点向 不断接近，当与 距离非常小时，观察直线 是否稳定在一个B位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数 在 处的3yx1,切线，与曲线有两个公共点。（3）在定义中，点 不断接近 包含两个方向， 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论BAA从哪个方向接近，直线

2、的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 处的切线。对于一个函数，A并不能保证在每一个点处均有切线。例如 在 处，通过观察图像可知，当 左边的点向其yx0, 0x无限接近时，割线的极限位置为 ，而当 右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 ， yx两个不同的方向极限位置不相同，故 在 处不含切线yx,（4）由于点 沿函数曲线不断向 接近，所以若 在 处有切线，那么必须在 点及其附近有定义BAfAA（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数 上点 在 附近有定义且附近的点yfx0,fxf，则割线 斜率为：00,BxfAB0000fxfxfxfk当 无限接近 时，即 接近于零， 直线 到达极限

3、位置时的斜率表示为：A,00limxfxfk即切线斜率，由导数定义可知： 。故 为 在000limxfxfkfx0fxf处切线的斜率。这是导数的几何意义。0,Axf3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子在 处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右yx0,靠近，观察极限位

4、置是否相同即可（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：x在 处不可导yx0,综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1） （2）所谈的点不存在切线， （3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数。方法与技巧:1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点 的横坐标 ，因为 可“一点两代” ，代入A0x0到原函数，即可得到切点的纵坐标 ，代入到导函数中可得到切线的斜率 ,

5、从而一点一斜0fx fk率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标 ,再考虑利用条件解出核心要素0xy，进而转化成第一类问题0x4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用 求出参数值进0而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如： （图像为圆的一部21yx分）在 处的

6、切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，13,2像焦点在 轴的抛物线，可看作 关于 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解yyx析几何中处理焦点在 轴的抛物线切线问题的重要方法）5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。 “在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。应用举例:【例 1】 【山西省榆社中学 2018 届高三诊断性模拟考试】若曲线 的一条切线经过点 ，则此切线=的斜率为（ ）A B C 或 D 或14 18【答案】C【例

7、2】设 ，函数 的导函数 是奇函数，若曲线 的一条切线的斜aRxxfeafxyfx率是 ，则切点的横坐标为( )32A B C D lnln2lln2【答案】D【解析】分析：由函数 为奇函数，得 ，求的 ，设曲线上切点的横坐标为 ，fx1axfe0x解得 ，即可求得切点的横坐标的值.02xe详解：由题意，函数 为奇函数，则必有 ，f 0fa解得 ，即 ，所以 ，1axexe设曲线上切点的横坐标为 ，则根据题意得 ，解得 ，0 00xf 02xe故切点的横坐标 ，故选 D.0ln2x点睛：曲线的切线的求法：若已知曲线过点 ，求曲线过点 的切线，则需分点 是切点0,PxyP0,Pxy和不是切点两种

8、情况求解（1）当点 是切点时，切线方程为 ；0,Pxy 000fx（2）当点 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标 ；1,xy第二步：写出过 的切线方程为 ；P 11yfx第三步：将点 的坐标 代入切线方程求出 ；0,xy第四步：将 的值代入方程 ，可得过点 的切线方程1x11fx 0,Pxy【例 3】 【云南省昆明第一中学 2018 届高三第八次月考】已知定义在 上的函数(0,+)，设两曲线 与 在公共点处的切线相同，则 值等于（ ）()=2,()=64A B C D 3 3【答案】D ，0=1故选 D.点睛：本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是列出方程组，方程组主要是从“

9、两曲线 与在公共点处的切线相同”转化引申出来的，说明切线的斜率相等，且这个切点在两个函数的图象上，即切点的导数相等，且切点的坐标满足两个函数的解析式.【例 4】 【相阳教育“黉门云”2018 届高三高考等值试卷模拟卷】设函数 ，若曲线在点 处的切线方程为 ，则 （ ）A 0 B C 1 D 2【答案】A【解析】将 代入直线方程得 ,故切点为 ,直线斜率为 , ,.故选 A. (1)=+12=12,=0【例 5】 【云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七） 】若抛物线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）A B C D 【答案】A实战演练:1 【江西省南昌市 201

10、7-2018 学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数，若 和 图象有三条公切线，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【详解】设公切线与 分别相切于点 ,(,(),(,(), ，解得 ，代入化简得 ，=1+2+24 =1+24 1+334(0)函数 在区间 递增，在区间 递减，在区间 递增，()=1+2+24且 ， 可知 无上界，即 时，方程 有三解，故选 A.【点睛】本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题. 2 【江西省南昌市 2018 届高三二轮复习测试】已知函数 ，则 和 的公()=24+4,()=1切线的条数为A 三条 B 二条 C 一条 D 0 条【答案】A【点睛】这个题目考

11、查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和 x 轴的交点问题. 3 【山东省日照市 2018 届高三 5 月校际联考】已知 （ e 为自然对数的底数） ， ，直()=+2线 l 是 的公切线，则直线 l 的方程为()与 ()A B =1或 =1C D =或 =+1【答案】C【解析】【分析】设直线 与 的切点为 ，与 的切点为 ，根据公切线可得 的方程()= ()=+2 (2,2+2) 1,2组，解出 可得公切线方程.1,2【详解】设直线 与

12、的切点为 ，与 的切点为 ，则 ，消()= (1,1) ()=+2 (2,2+2)去 得到 ，故 或者 ，1=02=1 1=12=1 所以切线方程为： 或 ，故选 C.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是设出切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.4 【湖南省长郡中学 2019 届高三上学期第一次月考（开学考试） 】曲线 在点 处的切线(0,(0)方程是（ ）A B C D 【答案】D5 【陕西省洛南中学 2018 届高三第八次模拟考试】函数 的图像在点()=1+2 +(0,)处的切线斜率的最小值是（ ）A B C 1 D 222 3【答案】D【解析】【分析】先求导数,根据导数几何

13、意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当 时取等号，因此切线斜率的最小值是()=1+2=()=1+21=2 =12，选 D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6 【陕西省黄陵中学高新部 2018 届高三 6 月模拟考】已知函数 在点 处的()=22 2(4,(4)切线的倾斜角为 ，则 （ ）A B C D 【答案】

14、A7 【河北省衡水市武邑中学 2018 届高三下学期第六次模拟考试】已知直线 与函数的图象相切，则切点的横坐标为( )()=(0)A B C 2 D 22 2+22 1+2【答案】A8 【山东省沂水县第一中学 2018 届高三第三轮考试】已知函数 在 处的()=(+1)(0,(0)切线倾斜角为 ，则 （ ）A B C 0 D 3【答案】C【解析】【分析】由求导公式和法则求出函数的导数，由切线倾斜角为 求出切线的斜率，即可求出 的值【详解】求出导函数 ,又函数 在 处的切线倾斜角为 ，()=(+1)(0,(0) ，即1=1故选：C【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关

15、键在于求出切点 及斜率，其求(0,0)法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为： 若曲线(0,0) 0=(0)(0)在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 (0,(0) =09曲线 在点 处的切线斜率为（ ）()=A B C D 22【答案】C10 【山东省潍坊市青州市 2018 届高三第三次高考模拟考试】已知点 是曲线 上任意一点，=+记直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则（ ）A 存在点 使得 B 对于任意点 都有C 对于任意点 都有 D 至少存在两个点 使得0对于 D 选项，至少存在两个点 使得 ，即 至少存在两解， =1+ =1即 至少有两解，又

16、因为 恒成立，所以+=0(+)=+1+10至多有一个解，排除 D，+=0综上所述，选项 B 是正确的，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数 ，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、=+论证能力.11 【江西省临川一中 2018 届高三模拟考试】已知 是函数 图像上(1,2)、 (2,2)（ (21) ()=1|的两个不同的点，且在 两点处的切线互相垂直，则 的取值范围为（ ）、 21A B C D (0， +) (0， 2) 1， +) 2， +)【答案】D因此， =x1+ 2 =2，2

17、111 111所以， 的取值范围为： 2，+） 21故选：D点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质，涉及导数的运算和切线垂直的转化，以及运用基本不等式求最值，属于中档题解决多元问题，常用的方法有：二元化一元，变量集中，不等式的应用，线性规划等.12 【江西省抚州市临川区第一中学 2018 届高三全真模拟（最后一模） 】已知 、是函数 图象上的两个不同的点，且在 、 两点处的切线互相垂直，则(2,2)(21) ()=|的取值范围为（ ）21A B C D (0,+) (0,2) 1,+)【答案】D13 【河南省 2018 届高三最后一次模拟考试】已知函数 的图象在点 处的切线为 ,若 也与(0

18、,420)函数 的图象相切,则 必满足（ ）A B 1212,420=1+1n0+1n8令 ， ，()=421n1n81(12) ()=81=821 0所以 是 上的增函数.()=421n1n81(12,+)因为 ， ，所以 .(22)=11n(42)0 0( 22,1)本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查导数研究函数的切线方程，两曲线公切线的求解方法，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14 【辽宁省凌源二中 2018 届高考三模】已知函数 ,曲线 上存在不同的两点,使=()得曲线在这两点处的切线都与直线 平行,则实数 的取值范围是= A B C D (12,1) (12,1) (2,0) (1,1+2)【答案】A当 ， 有两根不同的解，+,()01=(12)2与 的图象有两个不同的交点，=1 =(12)2，解得 ，20 (0)0 ()【答案】C