【备战2019年高考】高三数学一轮热点难点名师精讲与专题13：导数法巧解单调性问题

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1、 考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减） ，只需证明在函数的定义域内 （ ）0()fx（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域 求导 解不等式 0得解集 求 ,得函数的单调递增D()fx()fPD（减）区间。一般地，函数 在某个区间可导， 0 在这个区间是增函数()fx()f()fx一般地，函数 在某个区间可导， 0 在这个区间

2、是减函数x（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数 在某个区间可导， 在这个区间是增(减)函数 ()fxf ()fx0【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式 （)0（不要带等号） ，最后求二者的交集，把它写成区间。已知函数的增（减）区间，应得到 （）0，必须要带上等号。()fx求函数的单调增（减）区间，要解不等式 0，此处不能带上等号。()单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“ ”连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例 1】1 【河南省郑州市第一中学 2019届高三上学

3、期入学摸底测试】设函数 .（1）讨论 的单调性；（2）设 ，当 时， ，求 的取值范围.0【答案】(1)见解析(2) 当 时， ，所以 在 单调递增，()0 ()当 时， ；(,(),()0当 时， ；当 时， ；()(1)=0又 ， ，根据零点存在性定理知函数 在 和 各有一个零点() (0,0)【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.【例 4】 【山东省临沂市沂水县第一中学 2018届高三第三轮考试】已知函数 .()=2（1）若函数 在点 处切线的斜率为 4，求实数 的值；() (3,(3) （2）求函数 的单调区间；()（3）若函数 在

4、上是减函数，求实数 的取值范围.1,4【答案】 （1）6；（2）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；（3）(0,22) ( 22,+) 716,+)【详解】（1） ，而 ，即 ，解得 .()=2 (3)=4 233=4（2）函数 的定义域为 .()当 时， ， 的单调递增区间为 ；()0 ()当 时， .当 变化时， 的变化情况如下:(),()由此可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .() (0,22) ( 22,+)（3） ，于是 .()=12=2+21因为函数 在 上是减函数，所以 在 上恒成立，()即 在 上恒成立. 又因为函数 的定义域为 ，所以有 在 上恒成立.() (0

5、,+)于是有 ，设 ，则 ，所以有， ，当 时， 有最大值 ，于是要使 在 上恒成立，只需 ，1,4即实数 的取值范围是 .716,+)类型三、已知函数的单调性求参数的范围【例 5】 【名校联盟 2018年高考第二次适应与模拟】已知函数 .（1）若函数 在定义域 内单调递增，求实数 的取值范围；（2）对于任意的正实数 ，且 ，求证： .(+)() 32【答案】(1) ;(2)见解析.【详解】（1）依题意，导数 对于任意 恒成立，即不等式0对于任意 恒成立，即不等式 对于任意 恒成立;2+2(1)+10 02+12+1 0又因为当 时 （当 时取等号） ，则 ，故实数 的取值范围是 . 02+1

6、2+11+1=2 =1 (,2(2)由于目标不等式 中两个字母 与 可以轮换，则不妨设 .令 ，则 . = 1欲证目标不等式 . （）3(1)2(+1)0根据（1）的结论知，当 时 在 上递增.又因为 ，则=321(1)=0【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的,任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围.()0 ()0【例

7、6】 【2017 山西省长治二中等四校高三联考】已知函数 f(x) alnx ax3( a R)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 y f(x)的图象在点(2， f(2)处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1,2，函数g(x) x3 x2 在区间( t,3)上总不是单调函数，求 m的取值范围f x m2【答案】 a ；减区间为(，4)和(1,0)，增区间为(4，1)和(0，)12.方法、规律归纳:1、利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f( x)；(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f( x)0和 f( x)0，解

8、集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f( x)0()0 1 ()16因此选项 C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C. 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.5 【浙江省台州中学 2018届高三模拟考试】当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）()=A B 2()0203=(3)1 (2017+)(+2017)2(1)0。(1)1(1)1 【详解】（1） ()=43+32+4=(42+3+4)当 时， =103 ()=(4210+4)=2(21)(2)令 ，解得 ， ， ()=0 1=02=12 3=2当 变化时， ， 的变化情况如下表： () (

9、)所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数() (0,12) (2,+) (,0) (12,2)即 ，在 上恒成立，22+ 2,2所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 4 (,4【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及通过函数的极值求参数范围，不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（() () ()即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或() =() =() ()0恒成立； 讨论参数.()010 【广东省佛山市南海区南海中学 2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知函数 ，()=1()=() 设函数 ，讨论函

10、数 的单调性；()=()() ()（）求证：当 时，1,1+ ()()+1【答案】(1)见解析.(2)见解析.（）要证 ，即证 ，令 ， ()()+1 (1) ()=(1)当 时， ， 成立； =1 ()=0 (1)当 时， ， 1(1) ()0 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，() (,(1) (1),+) ()(1)=(1)(1)(1)=(1)1(1) ， ， ，10 1(1)1(1+)1=0 ，即 成立，故原不等式成立()0 (1)【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性和证明不等式成立，导数题目中含有参量较为常见，那么就要进行分类讨论，如何分类，为何这样分类一定要理清楚

11、11 【江西省南昌市 2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数 ()=()（）讨论函数 在 上的单调性；()(0,+)（）证明： 恒成立.20【答案】 （1） ，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上0 ()(0,+) 0 ()(0,1) (1,+)单调递减.（2）见解析， 单调递减.()0 ()(0,1) (1,+)调递减.（）证法一：由（）可知，当 时， ，0()=11特别地，取 ，有 ，即 ，所以 （当且仅当 时等号成立） ，=1 0 2 =因此，要证 恒成立，只要证明 在 上恒成立即可，20 (0,+)设 （ ） ，则 ，()= 0 ()=(1)2当

12、时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.(0,1) ()0 ()所以，当 时， ，即 在 上恒成立.=1 ()=(1)= (0,+)因此，有 ，又因为两个等号不能同时成立，所以有 恒成立.2 2012 【江西省南昌市 2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四） 】已知函数()=()+2,（）讨论 的单调性；()（）若 有两个零点，求 的取值范围.() 【答案】()见解析（） .0【解析】【分析】（）对函数 求导，讨论当 时， 时， 时， 时，由导数大于 0，可得增区() 020 ()时， 函数 单调递减，(0,(2)1) ()=(+1+2)0 ()（）当 时， 有唯一零点 不符合题

13、意；=0 ()=()=0 =1,由（）知：当 时，故 时，函数 单调递减， 时，函数 单调递增，0 (,0) () (0,+) ()时， ； 时， ， 必有两个零点； ()+ ()+(0)=0【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等13 【广东省东莞市 2018年全国卷考前冲刺演练精品卷】已知函数 .()=2(0)（1

14、）求函数 的单调区间；（2）设函数 .当 时，若函数 在 上为增()=12(1+()12|1()|2(0) =1 ()(0,+)函数，求实数 的取值范围.【答案】(1) 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.()(0,2) (,0)(2,+)(2) .(,123（2）记函数 ，()=()(1)=2+1(0)考察函数 的符号=()对函数 求导得=()()=(2) 112(0)当 时， 恒成立2 ()0,(2)=42320 1(1,+) ()1) ()=1+122(01) 当 时， 在 上恒成立0 ()0 (0,1)综合，知当 时，函数 在 为增函数123 ()(0,+)故实数 的取值范围是 .(,

15、123【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.14 【江苏省南通市 2018年高考数学模拟试题】已知函数 ，记 ，当()=2+1 1()=()2 时， ()=1()（1）求证： 在 上为增函数；2()(1 ， +)（2）对于任意 ，判断 在 上的单调性，并证明N ()(1 ， +)【答案】 （1）见解析（2）见解析所以当 时， 在 上恒成立1 ()0 (1 ， +)当 n=k+1时， ， +1()=()=(2+1)所以 +1()=(21)(

16、2+1)又当 时， ， ，1 210 2+11所以 在 上恒成立，(2+1)0 (1 ， +)所以 在 上恒成立，+1()=(21)(2+1)0 (1 ， +)所以 在 上为增函数+1()(1 ， +)由得证，对于任意 ， 在 上均为增函数N ()(1 ， +)【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15 【江西省南昌市 2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（三） 】已知函数 ，()=(1)+ 21其中 为正实数.（）求 的单调区间；()（）证明：当 时， .2 ()0 1 () (1,+)，()= 1 2(1)2=(1)2(1)2 =(+2)(1)2由 得 ，所以当 时， ；当 时， ，()0+2 11+2 ()0所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .()(1,1+2)