【备战2019年高考】高三数学一轮热点难点名师精讲与专题15：导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题

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1、考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的值都大（小） ，则)(xfy0 )(0xf0称 是函数 的一个极大（小）值。)(0xf（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域 ,再求导，再解方程 （注意

2、和 求交集） ，最后列表确定极值。D1()0fxD一般地，函数在 点 连续时，如果 附近左侧 0，右侧 0，那么 是极小值。0x（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数 在点 处有极值是 =0 的充分非必要条件。()fx00()fx（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设 是定义在闭区间 上的函数， 在 内有导数，可以这样求

3、最值：)(xfy,ab)(xfy,ab求出函数在 内的可能极值点（即方程 在 内的根 ） ；,ab0)(/f nx,21比较函数值 ， 与 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.)(afbf )(,)(,21nxffx（2）如果是开区间 ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。,应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例 1】 【江西省南昌市 2017-2018 学年度高三第二轮复习测试卷（六） 】已知函数 （） ， （）求函数 的最大值；（）当 时，求证：对任意 时，不等式 恒成立.(0,1【答案】 （） （）证明见解析.【详解】（）因为 ，令 解得()=1 (

4、)=1 =0当 时， ，即 在区间 为增函数；(,1)()0当 时， ，即 在区间 为减函数所以()=(1)=1（） ，由第（1）问可知()=()=2() (0,1)又因为 ，存在 ，使得 ，即(0,1) 0(0,1 (0)=0 00=0当 时， ，即 在 为减函数；当 时， ，(0,0) ()0若 ， ， 无零点；若 ， ， 只有一个零点；若 时，而 ，由于 在 时为减函数，可知： 时， .(0)=10从而 ， 在 和 上各有一个零点 .综上讨论可知： 时 有两个()=20 ()零点，即所求 的取值范围是 . (,+)【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据

5、题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解方法、规律归纳:1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， f(x) a 恒成立，只需 f(x)min a 即可； f(x) a 恒成立，只需 f(x)max a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值

6、)，然后构建不等式求解.2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.实战演练:1 【江西省南昌市 2017-2018 学年度高三第二轮复习测试卷（四） 】已知函数（）若 时，求函数 的最大值；()（）若 时，恒有 ，求 的取值范围.【答案】 （1）0；（2） .令 ，由 知0在 单调递减()=2(2+1)(2+2)2(1)2 0恒成立，转化为 ;()()2 【2018 年普通高等学校招

7、生全国统一考试模拟试题（二） 】已知函数 ， . (1)若函数 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围；()(2)证明:方程 有且只有一个实数根.()=0【答案】(1) (2) 见解析(2)令 ,即 ,即 ，(0,+)也就是证明函数 的图象与直线 有且只有一个交点.由 ，得 记 ,所以 令 ，当 时, , 在区间 内单调递减;()当 时, , 在区间 内单调递增，()所以当 时, 有有极小值 ，故 ，因此 在区间 内单调递增，(0,+)又因为当 ,且 时, ,当 时, ,(0,+) 0() + ()+因此函数 的图象与直线 有且只有一个交点,故方程 有且只有一个实数根.()=0【点睛】已知函数

8、有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3 【广东省广州市仲元中学 2018 届高三七校联合体考前冲刺交流考试】已知函数 ()=2，其中 0（1）设 是 的导函数，讨论 的单调性；()() ()（2）证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一解(0,1) ()0 ()=0 (1,+)【答案】 （1）增 ，减（ 0，1） （2）见解析(1,+)【详解】（1）解：由已

9、知，函数 的定义域为 ， 所以 当 时， ， 单调递减 当时， ， 单调递增 （2）证明：由 ，解得 令则于是，存在 ，使得 令由（）知： ，即 当 时，有由（）知， 在区间 上单调递增故：当 时， ，()0又当 时， 所以，当 时， . 综上述，存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一解4 【江西省南昌市 2017-2018 学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数 ，斜率为 的直线 过点 ，其中 .（）若函数 的图象恒在直线 的上方（点 除外） ，求 的值；() （）证明： .+2+12【答案】 （1） ；（2）见解析.【详解】（）直线 的方程为 ， =()=()+令 ，有 ，()=()()

10、=() ()=.当 单调增， （不合题意） ；()0,() (1), ()=0, 0= ()(,0) (0)(1)即12记 ，()=e(+1)(0(0)=0 e+1由 知， =2(0,1)e2+2+12+2=12这说明 在 上无解()=12又 ， ，且 在 上单调递增，(2)=e2 ()12 ()所以 在 上恰有一解.()=12综上所述， 在 上恰有一解()=128 【福建省罗源第一中学 2018 届高三 5 月校考】已知函数 （ ） =2， （ ） =332为自然对数的底数） ， （1）试讨论函数 的极值情况；（2）证明：当 且 时，总有 （ ） +3（ ） 0【答案】 （1）极大值为 ，

11、无极小值（2）见解析(2)=2(2)2()【详解】（1） 的定义域为 ，().()=21= 2当 时， ，故 在 内单调递减， 无极值；()0 003e32 +6303e32+630设函数 ，则 .记 ，()=3e32 ()=3(e2+2) ()=e2+2则 . 当 变化时， ， 的变化情况如下表：()=e2 () ()由上表可知 ，而 ，()(2) (3)=e222+2=222+2=2(2+1)由 ，知 ，所以 ，所以 ，即 .21 (2)0 ()0 ()0所以 在 内为单调递增函数.所以当 时， .() ()(0)=0即当 且 时， .所以当 且 时，总有 .0 3e32 ()+3()0【

12、点睛】本题考查了极值的概念和二次求导，利用导数判断函数的单调性，难点是转化思想的应用9 【黑龙江省哈尔滨市第六中学 2018 届高三下学期考前押题卷（二） 】已知 ()=（1）证明： ；（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2） 【详解】（1）令 ，令 ，可得函数 在 上单调递增，()因此存在 ，使得 可得 ，0(12,1) 0=0函数 在 上单调递减，在 上单调递增，() (0,0) (0,+)函数 在 处取得极小值即最小值， () =0因此 ; ()+1（2）令函数 时， ，0 ()0可得 ，函数 在 上单调递增，()0 () 1,+)满足条件，时， 在 上单

13、调递增，0 1,+)时， 此时函数 在 上单调递增，0因此函数 在 上单调递减，() 1,0)因此 不满足条件舍去,综上可得， 的取值范围是 . (,10 【江苏省盐城市东台中学 2018 届高三学业质量监测】已知函数 ， ()=+2 （1）若 在 处取得极值，求 的值；()=1 （2）设 ，试讨论函数 的单调性；()=()+(3) ()（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： =2 (1)+(2)+312=0【答案】(1) .=1(2)见解析.(3)证明见解析.【详解】（1）解：因为 ，所以 ，()=+2()=1+12因为 在 处取得极值，()=1所以 ，解得 (1)=1+12=0 =1验

14、证：当 时， ，=1()=1+12=(1)(2+1) (0)易得 在 处取得极大值 ()=1（2）解：因为 ，()=()+(3)=+2+(3)=2+(2)所以 ()=12+(2)=(+1)(21) (0)若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；0(0,12) ()0 ()(0,12)当 时， ， 函数 在 上单调递减 (12,+) ()0)当 时，易得函数 在 和 上单调递增，0)则 ，()=11=1 (0)当 时， ，所以函数 在 上单调递减；(0,1) ()0)(0,1)当 时， ，所以函数 在 上单调递增(1,+) ()0 ()=(0)(1,+)所以函数 在 时，取得最小值，最小值

15、为 ()=(0)=1 1所以 ，2(1+2)2+(1+2)1即 ，所以 或 2(1+2)2+(1+2)10 1+212 1+21因为 为正实数，所以 1,21+212当 时， ，此时不存在 满足条件，1+2=12 12=1 1,2所以 1+21211 【重庆市合川区高 2018 届高三下 5 月模拟】已知 ，函数 在点 处与 轴相 ()=1 (1,1) 切（）求 的值，并求 的单调区间； ()（）当 时， ，求实数 的取值范围1 ()(1) 【答案】 （1）见解析（2）(,12（2）令 ， 则 ，()=()(1) 0()=1(+1 )1令 ，则 ，()=()()=1(1+12)（）若 ，因为当

16、 时， ， ，所以 ，12 1 11 (1+12)0所以 即 在 上单调递增又因为 ，() () (1,+) (1)=0所以当 时， ，从而 在 上单调递增，1 ()0 () (1,+)而 ，所以 ，即 成立(1)=0 ()0 ()(1)（）若 ，可得 在 上单调递增12 () (0,+)因为 ， ，所以存在 ，使得 ，且当(1)=120 1(1,1+(2) (1)=0时， ，所以 即 在 上单调递减，(1,1) ()(1)综上所述， 的取值范围是 (,12【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性、切线方程函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力属难题.12 【黑龙江省哈尔滨市第六中

17、学 2018 届高三下学期考前押题卷（二） 】已知 ()=(1)()（1）若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围；,2 ()182（2） 时 为增函数，又 ， ，令 得 ，在 上减，在 上增，且不妨设 ，则 1，要证 ，只要证 ，即证 ，1 2 0 1 2 + 12 2 2 21 2 21又 ，即证 ，令， ，又 即，13 【广东省汕头市潮南区 2018 届高考(5 月)冲刺】已知函数 .()=2+()（1）讨论函数 在 上的单调性；() 1,2（2）令函数 ，是自然对数的底数，若函数 有且只有一个零点()=1+2+(),=2.71828. ()，判断 与 的大小，并说明理由. 【答案】 （

18、1）当 时， 在 上单调递增；当 或 时， 在2222 () 1,2 322 ()上单调递增 , 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；1,2920 ()间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）根据函数的单调性求出 在 上有唯()0) ()=0从而可求出 的取值范围即可 .（2）函数 ,()=1+2+()=1+则 ,()=11=()则 ，所以 在 上单调增,()=1+120 ()(0,+)当 ，所以0,(),+,()+所以 在 上有唯一零点 ,1当 ，所以 为 的最小值(1) ()由已知函数 有且只有一个零点 ，则 =1所以 则()=0,()=0, 11=01+=0 则 ，得 ,1(

19、11)+(11)=0 (2)1+1=0令 ，所以()=(2)1+1 (0) ()=0,则 ，所以 ,()=(1)(1+12) (0,1),()0,(1,+),()0,()=(2)11+1 =(2)110 0()=2+（1）当 时，若 的最小值为 ，求 的值；=34 () 0 （2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， . 0 0 ()0【答案】(1) (2)见解析=23【解析】【分析】（1）求出导函数 ，由导数与最值关系求得最小值，再由最小值为 0 可解得 ；() （2）用分离常数法把 化为 ，这样只要证明：存在实数 ，当()+2+ 0时， ，再凑配出 ，可证明 恒成立，0

20、()=0 ()=+( ) 0而只要 即得，这可由解二次不等式得 0 0（2）因为 ，()=2+ =+2+ 记 ，故只需证明：存在实数 ，当 时， ，()= 0 0 ()0，()= =+( )设 ， ，则 ，= 0=121=22易知当 时， ，故 ，=4 =2220 =0又由 ，解得： ，即 ，0+2+42 (+2+42 )2取 ，则当 时，恒有 ，0=(+2+42 )2 0 ()0即当 时，恒有 成立.0 ()0【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查导数在研究函数中应用，属于难题第（2）小题的关键是问题的转化不等式的放缩与函数的凑配是解题中重要一环，否则不易求解15 【河南省郑州市第一中学 2

21、019 届高三上学期入学摸底测试】设函数 .()=(2)+122（1）讨论 的单调性；()（2）设 ，当 时， ，求 的取值范围.=1 0 ()2 【答案】(1)见解析(2) (,2【详解】（1）由题意得 ，,()=(1)(+)当 时，当 ；当 时， ；0 (,1),()0在 单调递减，在 单调递增，() (,1) (1,+)当 时，令 得 ，0 (1,() ()0所以 在 单调递增，在 单调递减；() (,1),(),+) (1,()当 时， ，所以 在 单调递增，= ()0 () 当 时， ；0当 时， ；当 时， ；(),1) ()0 在 单调递增，在 单调递减；() (,(),(1,+) (),1)（2）令 ，有 ，()=()+2=(2)+122+2 ()=(1)+1令 ，有 ，()=(1)+1 ()=+1当 时， 单调递增 ，即 当 ，即 时， 在 单调递增，20 ()0,() (0,+)，不等式 恒成立，当 时， 有一个解，设为 根，22有 单调递减；当 时， 单调递增，有 ，当 时， 不恒成立；0综上所述， 的取值范围是 (,2