【备战2019年高考】高三数学一轮热点难点名师精讲与专题24：三角形中的范围问题你处理好了吗

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1、 考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在 中，由ABC.222cossabcabcCABCaburru2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围.基础知识回顾:1、正弦定理： ，其中 为 外接

2、圆的半径2sinisinabcRABCABC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） 22222sinisinsiabc（2） （恒等式）coconcsibCBaCBA（3） 2isaA2、余弦定理： csb变式： 此公式在已知 的情况下，配合均值不等式可得到 和 的221obc ,aAbc最值 3、三角形面积公式：（1） （ 为三角形的底， 为对应的高）2Sah h（2） 1sinsisin2bCcAacB（3） （其中 为外接圆半径）2siniRCRABCR4、三角形内角和：

3、，从而可得到：B（1）正余弦关系式： sinisinABCcocoB（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：sinsincosicABBAcon6、辅助角公式： ，其中 2sicossinababtanb应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例 1】 【海南省海南中学 2018 届高三第五次月考】设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,（）求 B 的大小;（）若 ,求 的取值范围.=6【答案】 （1） （2） 63 ， ， ，由得 的范围是 .( 3,3)【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正

4、、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例 3】 【重庆市西南大学附中高 2018 级第四次月考】已知函数 .()=(+6)（1）求 的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ， ，求 周长的取值范=4围【答案】 （1）对称轴方程为 ， ，对称中心为 ， （2）=512+2 (8,4+833由 ， ，

5、的对称中心为 ，() (6+2, 34) （2） ， ， ，(+)2=16 ，得： ， ，又 ， ，8042+6220 250)【答案】() .() . 【解析】分析：（）利用余弦定理和三角形的面积公式化简 得到（ +)22=43,再解这个三角方程即得 A 的值. （II）先根据 有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到 m 的取值范围 ，再写出 S 的函数表达式求其最大值.详解：()由己知 2+22+2=由余弦定理得 ，所以 ，即 ,，-6（ -6， 56）， -6=6所以 .综上所述， .点睛：本题在转化 有且只有一解时,容易漏掉 m=2 这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像

6、分析，不能死记硬背.先由正弦定理得 再画正弦函数的图像得到 或 .7 【四川省资阳市 2018 届高三 4 月模拟考试（三诊） 】在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 sinabABsincCB（1）求 A（2）若 ，求 的取值范围42【答案】 （1） ；（2） .316,3（2）根据余弦定理， ，22cos3ab所以 ，216bc则有 ，又 ，3216bcb所以 的取值范围是 2c,3【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当

7、条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往ab2a往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8 【衡水金卷 2018 年普通高校招生全国卷 I A 信息卷】在 中，内角 所对的边分别为ABC,，已知 .,abcsin3cosCA（1）求角 的大小；A（2）若 ，且 ，求边 的取值范围.4B【答案】(1) ；(2) .32,319 【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 2018 届高三 4 月联考】在 中，内角 的对边分别为 ，ABC, ,abc已知 ，且 .2acbsinco3sinAC（1）求 的值；（2）若 ， 为 的面积，

8、求 的取值范围.4BSB82cosSA【答案】(1) (2) b8,2（2）由正弦定理 得 sinbcBC14sinsin82sin2SbcAAC，38co8cos8os4SA在 中，由 得 ， ABC30420A3,8230,4A32cos2,14A.82cos8,2SA10 【吉林省吉林市 2018 届高三第三次调研考试】锐角 中， 对边为 ， ABC,ABC,abc22sin3cosbacBCaA（1）求 的大小； （2）求代数式 的取值范围.Ab【答案】 （1） （2）32bca试题解析：（1） ， ，22cosbaB22sin3cosbacBCaAC ，cosin3BCA 2cos,

9、A ，cosin3又 是锐角三角形，BC ，s0 3in,2A锐角 （2）由正弦定理得 ，sinsinabcABC si,aBbc ,23si sincosi 2insnin 6BBaAA 为锐角三角形，且BC3 ，即 , 解得 ， 02BC023B62B ,36 sin12B 3bca故代数式 的取值范围 3,211 【甘肃省西北师范大学附属中学 2018 届高三冲刺诊断考试】已知函数()=22+(26)（1）求函数 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时 x 的取值集合；（2）已知 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，若 ，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)2, .(

10、2) a1,2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得 ,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果(2)由 ，求得 ，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边 的取值范围详解：（1） ,，可得 f(x)递增区间为 ,函数 f(x)最大值为 2，当且仅当 ，即 ，2+6=2+2即 取到 .=+6() |=+612 【2018 年衡水金卷信息卷 全国卷 I A 】已知 的内角 的对边分别为 ，若向量BC,A,abc，且 .2,cos,cosmbBna/mn（1）求角 的值；A（2）已知 的外接圆半径为 ，求 周长的取值范围.C23ABC【答案】(1) (2) 34,6【解析】试题分析：（1）

11、由 ，得 ，利用正弦定理统一到角上易得/mn2)0cosa（2）根据题意，得 ，由余弦定理，得 ，结合均值不等式可cosA； siaRA223bc得 ，所以 的最大值为 4，又 ，从而得到 周长的取值范围.6bbcbcABC试题解析：（1）由 ，得 ./mn2)0osAaB（由正弦定理，得 ，sisincsiBcoAC即 . 2nB在 中，由 ，ABC0sin得 .1cos2又 ，所以 .0,313 【天津市部分区 2018 年高三质量调查（二） 】已知函数 （ ）的图象上0相邻的最高点的距离是 .（1）求函数 的解析式；（2）在锐角 中，内角 满足 ，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2)

12、 .()=(2+6) ()(12,1)（2）由 得，即 ，又 ，(0,2) =3 是锐角三角形， ，(6,2) ，()(12,1)点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题14 【2018 年普通高校招生全国卷 一（A） 衡水金卷 】三信息卷 （五） 】在锐角 中，内角 ， ABC， 的对边分别为 ， ， ，且 .BCabc25sin2sin4BC（1）求角 ；A（2）若 ，求 周长的取值范围.3aBC【答案】(1) (2) 3,【解析】试题分析：（1）将所给的三角恒等式整理变形可得 ，结合 ABC 为锐角三角形可得 ，2810cosA12cosA.3

13、A（2）设 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 .则 BCr1r2bcrsinBC，利用 ABC 为锐角三角形可求得 ，则 ， 6sin 63,162i周长的取值范围是 .AB3,（2）设 的外接圆半径为 ，ABCr则 ， .32arsin1 ，bcrsiBC23sinB36sinB由题意 ，02 3B ，62 ，2363B ，,1sin ，3,2bc 周长的取值范围是 .ABC3,15 【江苏省苏锡常镇四市 2017-2018 学年度高三教学情况调研（二） 】在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ，设 的面积为 ，且 . ， ， （1）求 的大小；（2）设向量 ， ，求 的取值范围=(2， 3)=(3， 2)【答案】(1) .=3(2) .(6， 323（2）由向量 ， ，得=(2， 3)=(3， 2)由（1）知 ，所以 ，所以 =3 +=23 023所以 24(4， 1312)所以 (24)( 22， 1所以 即取值范围是 (6， 323 (6， 323