山东省淄博市高青县2021-2022学年七年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、山东省淄博市高青县2021-2022学年七年级上期中数学试卷一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1. 下列四个图形中，轴对称图形有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 42. 三角形三边之长分别是：3，4，5；8，15，17；9，24，25；13，12，15其中能构成直角三角形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 如图，已知ABCCDE，其中ABCD，不正确的是（）A. ACCEB. BACDCEC. ACBECDD. BD4. 如图，在RtABC中，ACB=90，AD平分CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 115.

2、如图，ABAC，若要使ABEACD，则添加的一个条件不能是（ ）A. BCB. BECDC. BDCED. ADCAEB6. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ）A B. C. D. 7. 已知a、b、c为ABC的三边，且满足（ab）（a2+b2c2）=0，则ABC是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 在等腰三角形ABC中，A2B，则C的度数为（ ）A. 36B. 45C. 36或45D. 45或729. 下列说法正确的是（ ）三角形的角平分线是射线；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；三

3、角形的三条高都在三角形内部A. B. C. D. 10. 等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（）A. 25cmB. 15cm或25cmC. 20cmD. 20cm或25cm11. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 12. 如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若AOB=40，则MPN的度数是（ ）A. 90B. 100C. 120D. 140二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13. 如图，在ABC中，C=90，A

4、D平分BAC，AB=5，CD=2，则ABD面积是_14. 如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若ABC的周长26cm，AEC的周长17cm，则AB的长为_15. 如图，已知ABC的面积为10，AD平分BAC且ADBD于点D，则ADC的面积为_ 16. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_cm17. 在中，如果点P在AC边上，且点P到的两个顶点的距离相等，那么AP的长为_三、解答题（共7小题，共7

5、0分） 18. 如图，ABCD，CACD，点E在BC上，且DEAB，求证：ABEC19. 如图，在ABC中，AE是角平分线，AD是高，BAC70，EAD10，求B的度数20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位正方形，已知ABC的三个顶点在格点上（1）画出A1B1C1，使它与ABC关于直线a对称；（2）求出A1B1C1的面积；（3）在直线a上画出点P，使PAPC最小，最小值为 21. 如图，在三角形ABC中，AB10，BC12，AD为BC边上的中线，且AD8，过点D作DEAC于点E（1）求证：ADBC；（2）求DE长22. 在等边ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CEDC，连

6、接ED并延长交AB于点F（1）求证：DBE是等腰三角形；（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由23. 如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：（1）站应建在距站多少千米处？（2）和垂直吗？说明理由24. 如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M（1）若A=40，求NMB度数（2）如果将(1)中A的度数改为70，其余条件不变，求NMB的度数（3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由山东省淄博市高青县2021-

7、2022学年七年级上期中数学试卷一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1. 下列四个图形中，轴对称图形有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：左起第一、三两个图形是轴对称图形，第二、四两个图形不是轴对称图形，故选：B【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2. 三角形三边之长分别是：3，4，5；8，15，17；9，24，25；13，12，15其中能构成直角三角形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形

8、中两条较短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可【详解】解：32+4252，能构成直角三角形；82+152172，能构成直角三角形；92+242252，不能构成直角三角形；122+132152，不能构成直角三角形；能构成直角三角形有，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较短边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断3. 如图，已知ABCCDE，其中ABCD，不正确的是（）A. ACCEB. BACDCEC. ACBECDD. BD【答案】C【解析】根据全等三角形的性质进行判断即

9、可【详解】解：ABCCDE，AB=CDACB=CED，AC=CE，BAC=ECD，B=D第三个选项ACB=ECD是不正确的故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题时注重识别全等三角形的对应边和对应角，特别是由已知AB=CD找到对应角是解决问题的关键4. 如图，在RtABC中，ACB=90，AD平分CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】作DHAB于H根据角平分线的性质定理得出CD=DH，代入求出即可【详解】解：如图，作DHAB于HC=90，AD平分BAC交BC于点D，CD=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），CD=

10、10，DH=10，即点D到AB的距离是10故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等5. 如图，ABAC，若要使ABEACD，则添加的一个条件不能是（ ）A. BCB. BECDC. BDCED. ADCAEB【答案】B【解析】已知条件AB=AC，还有公共角A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可【详解】A、添加B=C可利用ASA定理判定ABEACD，故此选项不合题意；B、添加BE=CD不能判定ABEACD，故此选项符合题意；C、添加BD=CE可得AD=AE，可利用利用SAS定理判定ABEACD，故此选项不合题意；D、添加AD

11、C=AEB可利用AAS定理判定ABEACD，故此选项不合题意；故选B6. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据三角形的高的概念判断即可【详解】解：A、AD是ABC边BC上的高，不符合题意；B、AD不是ADC边AC上的高，不符合题意；C、BD是DBC边BC上的高，不符合题意；D、BD是ABC边AC上的高，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高7. 已知a、b、c为ABC的三边，且满足（ab）（a2+b2c2）=0，则ABC是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C.

12、 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【详解】(ab)(a+bc)=0，ab=0,或a+bc=0，即a=b或a+b=c，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故选D.8. 在等腰三角形ABC中，A2B，则C的度数为（ ）A. 36B. 45C. 36或45D. 45或72【答案】D【解析】分A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可【详解】解：设Bx，则A2x，当A是顶角时，A+2B180，即：4x180，解得：x45，此时CB45；当A是底角时，2A+B180，即5x180，解得：x36，此时CA72，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解

13、答本题的关键，难度不大9. 下列说法正确的是（ ）三角形的角平分线是射线；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；三角形的三条高都在三角形内部A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断与；根据三角形的高的定义及性质判断；根据三角形的中线的定义及性质判断即可【详解】解：三角形的角平分线是线段，故说法错误；三角形的三条角平分线都在三角形内部，故说法正确；因为三角形的一条中线把该三角形分成的两个三角形等底同高，所以这两部分的面积相等，故说法正确；锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在

14、三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部故说法错误故正确的有故选：B【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题10. 等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（）A. 25cmB. 15cm或25cmC. 20cmD. 20cm或25cm【答案】A【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】解：当腰为5时，5+510，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+1010，所以能构成三角形，周长是：10+10

15、+525故选：A【点睛】本题考查了三角形的存在性，等腰三角形的腰和底边，分类思想，灵活运用分类思想是解题的关键11. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作点Q关于BD的对称点Q，连接PQ交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小最小值PE+PQ=PE+EQ=PQ，【详解】解：如图，ABC是等边三角形，BA=BC，BDAC，AD=DC=AQ+QD=3.5cm， AB=AC=2AD=7，作点Q关于BD的对称点Q，连接PQ交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小最小值为PE+PQ=PE+EQ=PQ， ,QD=D

16、Q=1.5（cm），AQ=AD+DQ=3.5+1.5=5(cm)BP=2（cm），AP=AB-BP=7-2=5（cm）AP=AQ=5（cm），A=60，APQ是等边三角形，PQ=PA=5（cm），PE+QE的最小值为5cm故选择：C【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题12. 如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若AOB=40，则MPN的度数是（ ）A. 90B. 100C. 120D. 140【答案】B【解析】先根据轴对称的性质、垂直平分线的性质、对顶角相等

17、可求得、，再利用平角定义、角的和差以及等量代换求得，最后根据三角形内角和定理即可求得答案【详解】解：与关于对称垂直平分平分同理可得，故选：B【点睛】本题考查了轴对称的性质、垂直平分线的性质、对顶角的性质、平角定义、角的和差、等量代换以及三角形内角和定理，体现了逻辑推理的核心素养二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13. 如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，AB=5，CD=2，则ABD的面积是_【答案】5【解析】过D作DEAB于E，由DAEDAC得到DE的长，进而解答；【详解】解：如图，过D作DEAB于E，DAE和DAC中，AD平分BAC，则DAE=DAC，DEA=DCA=90

18、，DA=DA，DAEDAC（AAS），DE=DC=2，ABD的面积=ABDE=52=5，故答案为：5；【点睛】本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键14. 如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若ABC的周长26cm，AEC的周长17cm，则AB的长为_【答案】9cm#9厘米【解析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案【详解】解：DE是AB的垂直平分线，EA=EB，ABC的周长26cm，AB+AC+BC=26(cm)，AEC的周长17cm，AC+CE+EA=AC+CE+

19、EB=AC+BC=17(cm)，AB=26-17=9（cm），故答案为：9cm【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键15. 如图，已知ABC的面积为10，AD平分BAC且ADBD于点D，则ADC的面积为_ 【答案】5#5平方厘米【解析】延长BD交AC于E，由“ASA”可证ABDAED，可得BD=DE，由面积关系可求解【详解】解：延长BD交AC于E，AD平分BAC，BAD=EAD，在ABD和AED中，ABDAED（ASA），BD=DE，ADC的面积=10=5（），故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的

20、定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键16. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_cm【答案】13【解析】如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，过B作于点，则，在中，由勾股定理得，故答案为：13【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧

21、面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键17. 在中，如果点P在AC边上，且点P到的两个顶点的距离相等，那么AP的长为_【答案】4或【解析】根据勾股定理求出AC的值，分三种情况进行讨论，若PBPC，连结PB，设PAx，得出PBPC8x，再根据勾股定理求出PA的值；若PAPC，得出PA4；若PAPB，由图知，不存在；从而得出PA的长【详解】在RtABC中，A90，BC10，AB6，AC，若PBPC，连结PB，设PAx，则PBPC8x，在RtPAB中，PB2AP2AB2，（8x）2x262，x，即PA，若PAPC，则PA4，若PAPB，由图知，在RtPAB中，不可能，PA4或故答案是：4或【点睛】此

22、题考查了勾股定理，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键三、解答题（共7小题，共70分） 18. 如图，ABCD，CACD，点E在BC上，且DEAB，求证：ABEC【答案】见解析【解析】由平行线的性质得出DEC=ABC，证明ABCCED（AAS），由全等三角形的性质得出结论AB=EC【详解】证明：DE/AB，DECABC，在ABC和CED中，ABCCED（AAS），ABEC【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，证明ABCCED是解题的关键19. 如图，在ABC中，AE是角平分线，AD是高，BAC70，EAD10，求B的度数【答案】45【解析】根据AE是角平分线，得BAEBAC35

23、，那么BADBAEEAD45根据AD是ABC的高，得ADC90根据三角形外角的性质，得ADCBBAD，那么BADCBAD45【详解】解：AE是角平分线，BAEBAC35BADBAEEAD351045AD是ABC的高，ADC90ADCBBAD，BADCBAD904545【点睛】本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知ABC的三个顶点在格点上（1）画出A1B1C1，使它与ABC关于直线a对称；（2）求出A1B1C1的面积；（3）在直线a上画出点P，使

24、PAPC最小，最小值为 【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）画图见解析；最小值为.【解析】（1）分别作点A、B、C关于直线a的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求（2）用ABC所在的矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解（3）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P即可【详解】（1）如图，A1B1C1即所求（2）SA1B1C1=22-122-11=（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求则PAPC最小值为AC1=.【点睛】考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接21. 如

25、图，在三角形ABC中，AB10，BC12，AD为BC边上的中线，且AD8，过点D作DEAC于点E（1）求证：ADBC；（2）求DE的长【答案】（1）证明见详解；（2）4.8；【解析】（1）求出BD，求出AD2+BD2AB2，根据勾股定理的逆定理得出ADB90即可；（2）求出ACAB10，根据三角形的面积公式求出DE即可【详解】（1）证明：BC12，AD为BC边上的中线，BDDCBC6，AD8，AB10，BD2+AD2AB2，ADB90，即ADBC；（2）解：ADBC，AD为BC边上的中线，ABAC，AB10，AC10，ADC的面积S，解得：DE4.8点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的

26、逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形22. 在等边ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CEDC，连接ED并延长交AB于点F（1）求证：DBE是等腰三角形；（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由【答案】（1）见解析；（2），理由见解析【解析】（1）连接，根据等边三角形的性质求得，根据三角形外角的性质，以及，求得,根据等角对等边，进而即可得证；（2）过作，连接，证明四边形是平行四边形，可得,再根据已知条件证明是的中位线，等量代换进而即可求得【详解】（1）连接， ABC是等边三角形， D为A

27、C的中点，,，DBE是等腰三角形；（2）过作，连接，是等边三角形 D为AC的中点，是等边三角形，ABC是等边三角形，四边形是平行四边形，AFD=180-60-30=90，是的中点为AC的中点，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，中位线的性质定理，等腰三角的判定，作出辅助线是解题的关键23. 如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站距离相等，则：（1）站应建在距站多少千米处？（2）和垂直吗？说明理由【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和E

28、C垂直，理由见解析【解析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据DAEEBC，得出AE=BC=6km；（2）DE和EC垂直，利用DAEEBC，得出DEC=90，进而可以证明【详解】解：（1）使得C，D两村到E站的距离相等DE=CE，DAAB于A，CBAB于B，A=B=90，AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），DA=8km，CB=6km，x2+82=（14-x）2+62，解得：x=6，AE=6km答：E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由如下：在DAE与EBC中，

29、DAEEBC（SAS），DEA=ECB，D=CEB，DEA+D=90，DEA+CEB=90，DEC=90，即DEEC【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出DAEEBC是解决问题的关键24. 如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M（1）若A=40，求NMB的度数（2）如果将(1)中A度数改为70，其余条件不变，求NMB的度数（3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由【答案】（1）20；（2）35；（3）规律NMB=A【解析】（1）根据等边对等角，由AB=AC可得到ABM=ACB，再结合已知A的度数，即可求出NMB的度数；（2

30、）仿照第（1）问的求解过程即可得到NMB的度数；（3）结合上述两问的解答，即可发现NMB和A之间的大小关系，然后仿照上述解答过程进行验证即可【详解】解：（1）AB=AC，ABM=ACBBAC=40，ABM=ACB，ABM=(180-BAC)=70MN是AB的垂直平分线，ABM=70，NMB=90-ABM=90-70=20（2）与（1）同理可得B=(180-BAC)=55，NMB=90-55=35（3）规律：在等腰ABC中，当AB=AC时，NMB的度数恰好为顶角A度数的一半，即NMB=A理由如下：AB=AC，ABM=ACBABM=(180-A)=90-AABM=90-A，BNM=90，BMN=90-ABM=A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，三角形内角和定理的推论等知识利用等腰三角形顶角与底角的关系及直角三角形两锐角互余并进行等量代换是解题的关键