第十二章全等三角形 单元试卷（含答案解析）2022-2023学年人教版八年级数学上册

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1、 第十二章全等三角形第十二章全等三角形 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1如图，在ABC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE于点 H，以下结论：SABESBCE；AFGAGF；FAG2ACF；AFFB其中正确结论的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2如图，在 RtABC 中，ABC90，BD 是高，E 是ABC 外一点，BEBA，EC，若 DEBD，AD，BD，则BDE 的面积为（ ） A B C D 3已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 60，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A15或 75

2、 B30 C150 D150或 30 4如图，直线 l1，l2表示一条河的两岸，且 l1l2现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直） ，使得从村庄 P 经桥过河到村庄 Q 的路程最短，应该选择路线（ ） A路线：PFFQ B路线：PEEQ C路线：PEEFFQ D路线：PEEFFQ 5如图，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，点 E、F 分别是 AD、AB 上的动点，若BAC50，当 BE+EF 的值最小时，AEB 的度数为（ ） A105 B115 C120 D130 6如图，RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，BD 平分ABC，如果点 M，N 分别为BD，BC

3、 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是（ ） A4 B4.8 C5 D6 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 7如图，在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点（不与 A，D 重合） ，则 ABAC PBPC（填“” 、 “”或“” ） 8如图，AOB30，M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP6cm，则PMN的周长的最小值为 cm 9在ABC 中，AB，过点 A 作 ADCB 交直线 BC 于点 D，DAC36，则C 10如图，ABC 中，AACB，CP 平分ACB，BD，CD 分别是ABC 的两外角的平分线，下列结论中：CPCD；PA；B

4、CCD；D90A；PDAC其中正确的结论是 （直接填写序号） 11在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架 PABQ，其中 AB20cm，AP，BQ 足够长，PAAB 于点 A，QBAB 于点 B，点 M 从 B 出发向 A 运动，点 N 从 B 出发向 Q 运动，速度之比为 2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在 AP 上取点 C，使ACM 与BMN 全等，则 AC 的长度为 cm 12如图，AB12cm，CABDBA62，ACBD9cm点 P 在线段 AB 上以 3cm/s 的速度由点 A向点 B 运动，同时，

5、点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动设点 Q 的运动速度为 xcm/s当以 B、P、Q顶点的三角形与ACP 全等时，x 的值为 13如图，已知四边形 ABCD 中，AB10 厘米，BC8 厘米，CD12 厘米，BC，点 E 为 AB 的中点 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D点运动当点 Q 的运动速度为 时，能够使BPE 与CQP 全等 14 如图， 已知在四边形ABCD内， DBDC， DCA60， DAC78， CAB24， 则ACB 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 15某班

6、举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（OA、OB） ，OA 桌面上摆满了橘子，OB 桌面摆满了糖果，坐在 C 处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计路线，使其行走的总路程最短 （保留作图痕迹） 16如图，在ABC 中，ABAC3，BC50，点 D 在边 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重合） ，连接 AD，作ADE50，DE 交边 AC 于点 E （1）当BDA100时，EDC ，DEC （2）当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA 的度数；若不可以，请说明理由 17如图所示，在AB

7、C 中，ABAC24cm，BC18cm，BC，D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC上由点 B 出发向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 出发向点 A 运动，设运动时间为 t（s） （1）若点 P 与点 Q 的速度都是 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请说明理由 （2）若点 P 的速度比点 Q 的速度慢 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请求出此时两点的速度 （3）若点 P、点 Q 分别以（2）中的速度同时从点 B，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点 P 与点 Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇

8、点到点 B 的距离 18 已知ABC 为等边三角形， D 为 AC 的中点， EDF120， DE 交线段 AB 于 E， DF 交直线 BC 于 F （1）如图（1） ，求证：DEDF； （2）如图（2） ，若 BE3AE，求证：CFBC （3）如图（3） ，若 BEAE，则 CF BC；在图（1）中，若 BE4AE，则 CF BC 19如图，在等边ABC 中，ABACBC10 厘米，DC4 厘米如果点 M 以 3 厘米/秒的速度运动 （1） 如果点 M 在线段 CB 上由点 C 向点 B 运动， 点 N 在线段 BA 上由 B 点向 A 点运动 它们同时出发，若点 N 的运动速度与点 M

9、的运动速度相等 经过 2 秒后，BMN 和CDM 是否全等？请说明理由 当两点的运动时间为多少时，BMN 是一个直角三角形？ （2）若点 N 的运动速度与点 M 的运动速度不相等，点 N 从点 B 出发，点 M 以原来的运动速度从点 C同时出发，都顺时针沿ABC 三边运动，经过 25 秒点 M 与点 N 第一次相遇，则点 N 的运动速度是 厘米/秒 （直接写出答案） 20如图，把两个全等的腰长为 8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形 ABCD，N 是斜边 AC 上一动点 （1）若 E、F 为 AC 的三等分点，求证：ADECBF； （2）若 M 是 DC 上一点，且 DM2，求 DN

10、+MN 的最小值； （注：计算时可使用如下定理：在直角ABC 中，若C90，则 AB2AC2+BC2） （3）若点 P 在射线 BC 上，且 NBNP，求证：NPND 全等三角形单元测试八年级上册数学人教版全等三角形单元测试八年级上册数学人教版 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1如图，在ABC 中，BAC90，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE于点 H，以下结论：SABESBCE；AFGAGF；FAG2ACF；AFFB其中正确结论的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：BE

11、 是ABC 的中线， AECE， ABE 的面积等于BCE 的面积，故正确； AD 是ABC 的高线， ADC90， ABC+BAD90， BAC90， BAD+CAD90， ABCCAD， CF 为ABC 的角平分线， ACFBCFACB， AFCABC+BCF，AGFACF+CAD， AFCAGFAFG， 故正确； BAD+CADACB+CAD90， BADACD， BAD2ACF， 即FAG2ACF，故正确； 根据已知条件无法证明 AFFB，故错误， 正确结论的有，共 3 个 故选：B 2如图，在 RtABC 中，ABC90，BD 是高，E 是ABC 外一点，BEBA，EC，若 DEBD

12、，AD，BD，则BDE 的面积为（ ） A B C D 【解答】解：ABDCE，ABBE， 在 BD 上截取 BFDE， 在ABF 与BED 中， ， ABFBED（SAS） ， SBDESABF SABDBDAD DEBD， BFBD， SABFSABD， SBDE 故选：C 3已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 60，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A15或 75 B30 C150 D150或 30 【解答】解：当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成 60夹角，由三角形内角和为 180可得，顶角为 180906030， 当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三

13、角形内角和为 180， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 30， 三角形的顶角为 18030150 故选：D 4如图，直线 l1，l2表示一条河的两岸，且 l1l2现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直） ，使得从村庄 P 经桥过河到村庄 Q 的路程最短，应该选择路线（ ） A路线：PFFQ B路线：PEEQ C路线：PEEFFQ D路线：PEEFFQ 【解答】解：作 PP垂直于河岸 l2，使 PP等于河宽， 连接 QP，与另一条河岸相交于 F，作 FE直线 l1于点 E， 则 EFPP且 EFPP， 于是四边形 FEPP为平行四边形，故 PFPE， 根据“两点之间线段最短” ，QP

14、最短，即 PE+FQ 最短 故 C 选项符合题意， 故选：C 5如图，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，点 E、F 分别是 AD、AB 上的动点，若BAC50，当 BE+EF 的值最小时，AEB 的度数为（ ） A105 B115 C120 D130 【解答】解：过点 B 作 BBAD 于点 G，交 AC 于点 B，过点 B作 BFAB 于点 F，与 AD交于点 E，连接 BE，如图， 此时 BE+EF 最小 AD 是ABC 的角平分线， BADBAD25， AEF65， BBAD， AGBAGB90， AGAG， ABGABG（ASA） ， BGBG，ABGABG， AD 垂直平分

15、BB， BEBE， EBGEBG， BAC50， ABF40， ABE40， BEF50， AEB115 故选：B 6如图，RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，BD 平分ABC，如果点 M，N 分别为 BD，BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是（ ） A4 B4.8 C5 D6 【解答】解：如图所示： 过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M， 过点 M 作 MNBC 于点 N， BD 平分ABC， MEMN， CM+MNCM+MECE RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，CEAB， SABCABCEACBC， 10CE68， CE4.8

16、 即 CM+MN 的最小值是 4.8， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 7如图，在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点（不与 A，D 重合） ，则 ABAC PBPC（填“” 、 “”或“” ） 【解答】解：如图，在 AB 上截取 AE，使 AEAC，连接 PE， AD 是BAC 的平分线， BADCAD， 在AEP 和ACP 中， ， AEPACP（SAS） ， PEPC， 在PBE 中，BEPBPE， 即 ABACPBPC， 故答案为： 8如图，AOB30，M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP6cm，则PMN的周长的最小

17、值为 6 cm 【解答】解：作 P 点关于 OA 的对称点 C，作 P 点关于 OB 的对称点 D，连接 CD，CD 与 OA、OB 的交点即为所求点 M、N， PMN 的周长CD，此时PMN 的周长最小， 点 P 与点 D 关于 OB 对称， POOD， 点 P 与点 C 关于 OA 对称， OPOC， AOB30， COD60， OCD 为等边三角形， OP6cm， CD6cm， PMN 的周长的最小值为 6cm， 故答案为 6 9 在ABC 中， AB， 过点 A 作 ADCB 交直线 BC 于点 D， DAC36， 则C 54 或 126 【解答】解：当ABC 时锐角三角形时，如图 1

18、 在直角ACD 中，ACB90DAC903654； 当ABC 是钝角三角形时，如图 2 ACD90DAC903654， 则ACB180ACD18054126 则ACB 的度数是 54或 126 故答案为：54 或 126 10如图，ABC 中，AACB，CP 平分ACB，BD，CD 分别是ABC 的两外角的平分线，下列结论中：CPCD；PA；BCCD；D90A；PDAC其中正确的结论是 （直接填写序号） 【解答】解：CP 平分ACB，CD 平分BCF， PCBACB，BCDBCF， ACB+BCF180， PCDPCB+BCDACB+（ACB+BCF）90， CPCD；故正确； 延长 CB，

19、BD 平分CBE，CBEABH， BP 平分ABH， PBHBCP+P， A+2PCB2PBH， A+2PCB2BCP+2P， A2P， 即：PA，故正确； 假设 BCCD， CBDD， EBDCBD， EBDD， ABCD， DCFA， ACBA，CD 平分BCF， ACBBCDDCF， AACB60， ABC 是等边三角形， 而ABC 中，AACB， ABC 是等腰三角形， 假设不成立，故错误； BD、CD 分别是ABC 的两个外角EBC、FCB 的平分线， EBDDBC，BCDDCF， DBC+DCB+D180， A+ABC+ACB180， 而ABC1802DBC， ACB1802DCB

20、， A+1802DBC+1802DCB180， A2（DBC+DCB）180， A2（180D）180， A2D180， D90A，故正确； EBCA+ACB，AACB， AEBC， EBDEBC， EBDA， PDAC故正确； 故答案为： 11在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架 PABQ，其中 AB20cm，AP，BQ 足够长，PAAB 于点 A，QBAB 于点 B，点 M 从 B 出发向 A 运动，点 N 从 B 出发向 Q 运动，速度之比为 2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在 AP 上取点 C，使A

21、CM 与BMN 全等，则 AC 的长度为 8 或 15 cm 【解答】解：设 BM2t，则 BN3t，因为AB90，使ACM 与BMN 全等，可分两种情况： 情况一：当 BMAC，BNAM 时， BNAM，AB20， 3t202t， 解得：t4， ACBM2t248； 情况二：当 BMAM，BNAC 时， BMAM，AB20， 2t202t， 解得：t5， ACBN3t3515， 综上所述，AC8 或 AC15 故答案为：8 或 15 12如图，AB12cm，CABDBA62，ACBD9cm点 P 在线段 AB 上以 3cm/s 的速度由点 A向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点

22、 B 向点 D 运动设点 Q 的运动速度为 xcm/s当以 B、P、Q顶点的三角形与ACP 全等时，x 的值为 3 或 【解答】解：若ACPBPQ， 则 ACBP，APBQ， ， 解得； 若ACPBQP， 则 ACBQ，APBP， ， 解得； 综上所述，当 x3 或时，ACP 与BPQ 全等 故答案为 3 或 13如图，已知四边形 ABCD 中，AB10 厘米，BC8 厘米，CD12 厘米，BC，点 E 为 AB 的中点 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D点运动当点 Q 的运动速度为 3 厘米/秒或厘米

23、/秒 时，能够使BPE 与CQP 全等 【解答】解：设点 P 运动的时间为 t 秒，则 BP3t，CP83t， BC， 当 BECP5，BPCQ 时，BPE 与CQP 全等， 此时，583t， 解得 t1， BPCQ3， 此时，点 Q 的运动速度为 313 厘米/秒； 当 BECQ5，BPCP 时，BPE 与CQP 全等， 此时，3t83t， 解得 t， 点 Q 的运动速度为 5厘米/秒； 故答案为：3 厘米/秒或厘米/秒 14如图，已知在四边形 ABCD 内，DBDC，DCA60，DAC78，CAB24，则ACB 18 【解答】解：延长 CA 到 E 使 AEAB，连接 DE， DAC78，

24、 DAE102， DABDAC+CAB78+24102， DAEDAB， DADA， DABDAE（SAS） ， DEDBDC， DCA60， DEC 是等边三角形， EDC60， ADC180786042， EDA604218， ADBEDA18， BDC601824， DBCDCB（18024）78， ACB786018 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 15某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（OA、OB） ，OA 桌面上摆满了橘子，OB 桌面摆满了糖果，坐在 C 处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计路线，使其行走的总路程最短 （保留作图痕迹） 【解答】解：如图

25、所示，小明所走的行走路线为：CMMNNC，所走的总路程最短 16如图，在ABC 中，ABAC3，BC50，点 D 在边 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重合） ，连接 AD，作ADE50，DE 交边 AC 于点 E （1）当BDA100时，EDC 30 ，DEC 100 （2）当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA 的度数；若不可以，请说明理由 【解答】解： （1）BDA100，ADE50， EDC1801005030， C50， DEC1805030100， 故答案为：30，100； （2）

26、当 DC3 时，ABDDCE，理由如下： AB3，DC3， ABDC， B50，ADE50， BADE， ADB+ADE+EDC180DEC+C+EDC180， ADBDEC， 在ABD 和DCE 中， ABDDCE； （3）可以，理由如下： BC50，B+C+BAC180， BAC180BC180505080， 分三种情况讨论： 当 DADE 时，DAEDEA， ADE50，ADE+DAE+DEA180， DAE（18050）265， BADBACDAE806515， B+BAD+BDA180， BDA180BBAD1805015115 当 ADAE 时，AEDADE50 ADE+AED+D

27、AE180 DAE180AEDADE180505080， 又BAC80， DAEBAE， 点 D 与点 B 重合，不合题意 当 EAED 时，DAEADE50， BADBACDAE805030， B+BAD+BDA180， BDA180BBAD1805030100， 综上所述，当BDA 的度数为 115或 100时，ADE 是等腰三角形 17如图所示，在ABC 中，ABAC24cm，BC18cm，BC，D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC上由点 B 出发向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 出发向点 A 运动，设运动时间为 t（s） （1）若点 P 与点 Q 的速度都是

28、3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请说明理由 （2）若点 P 的速度比点 Q 的速度慢 3cm/s，则经过多长时间BPD 与CQP 全等？请求出此时两点的速度 （3）若点 P、点 Q 分别以（2）中的速度同时从点 B，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点 P 与点 Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇点到点 B 的距离 【解答】解： （1）点 P 与点 Q 的速度都是 3cm/s， BPCQ3t， BC，ABAC24cm，BC18cm， 要使BPD 与CQP 全等，则需 BDCP， 即 183t12， t2s， 即经过 2s 的时间BP

29、D 与CQP 全等； （2）设点 P 的速度是 xcm/s，则点 Q 的速度是（x+3）cm/s， BPxt，CQ（x+3）t， BPCQ， BC，要使BPD 与CQP 全等，则需 BDCQ，BPCP， ， 解得：， 经过 1s，点 P 的速度是 9cm/s，则点 Q 的速度是 12cm/s 时，BPD 与CQP 全等； （3）设经过 t（s）点 P 与点 Q 第一次相遇， 则 12t9t48， t16（s） ， P 的路程916144（cm） ， 192（24+24+18）2+12， 经过 16s 点 P 与点 Q 第一次相遇，在 BC 边上相遇，相遇点到点 B 的距离为 12cm 18 已

30、知ABC 为等边三角形， D 为 AC 的中点， EDF120， DE 交线段 AB 于 E， DF 交直线 BC 于 F （1）如图（1） ，求证：DEDF； （2）如图（2） ，若 BE3AE，求证：CFBC （3）如图（3） ，若 BEAE，则 CF BC；在图（1）中，若 BE4AE，则 CF BC 【解答】证明： （1）如图 1 中，连接 BD，作 DMAB 于 M，DNBC 于 N， DMBDNB90，ABC60， MDNEDF120， MDENDF， ABC 是等边三角形，ADDC， DBADBC， DMDN， DMEDNF， DEDF （2）如图 2 中，作 DKBC 交 AB

31、 于 K设 AEa，则 BE3a，ABACBC4a， ADDC，DKCB， AKBK2a，DKBC2aADAK， AEEKa， DEAK， BED90， BED+BFD180， DFB90， 在 RtCDF 中，C60， CFCDa， CFBC （3）如图 3 中，作 DKBC 交 AB 于 K 设 BEa，则 AE3a，AKBK2a，ADK 是等边三角形， ADK60，EDFKDC， KDECDF， DKDC，DEDF， EDKFDC， EKCFa，BC4a， CFBC 如图 4 中，由（1）可知 EMFN， 设 AEa，则 BE4a，ABBCAC5a，AMCNa，EMFNa， CFFN+C

32、Na， CF：BCa：5a3：10， CFBC 故答案为， 19如图，在等边ABC 中，ABACBC10 厘米，DC4 厘米如果点 M 以 3 厘米/秒的速度运动 （1） 如果点 M 在线段 CB 上由点 C 向点 B 运动， 点 N 在线段 BA 上由 B 点向 A 点运动 它们同时出发，若点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等 经过 2 秒后，BMN 和CDM 是否全等？请说明理由 当两点的运动时间为多少时，BMN 是一个直角三角形？ （2）若点 N 的运动速度与点 M 的运动速度不相等，点 N 从点 B 出发，点 M 以原来的运动速度从点 C同时出发，都顺时针沿ABC 三边运动，经过

33、 25 秒点 M 与点 N 第一次相遇，则点 N 的运动速度是 3.8或 2.6 厘米/秒 （直接写出答案） 【解答】解： （1）BMNCDM理由如下：（1 分） VNVM3 厘米/秒，且 t2 秒， CM236（cm） BN236（cm） BMBCCM1064（cm） BNCM（1 分） CD4（cm） BMCD（1 分） BC60， BMNCDM （SAS） （1 分） 设运动时间为 t 秒，BMN 是直角三角形有两种情况： 当NMB90时， B60， BNM90B906030 BN2BM，（1 分） 3t2（103t） t（秒） ；（1 分） 当BNM90时， B60， BMN90B90

34、6030 BM2BN，（1 分） 103t23t t（秒） （1 分） 当 t秒或 t秒时，BMN 是直角三角形； （2）分两种情况讨论： I若点 M 运动速度快，则 3251025VN，解得 VN2.6； 若点 N 运动速度快，则 25VN20325，解得 VN3.8 故答案是 3.8 或 2.6（2 分） 20如图，把两个全等的腰长为 8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形 ABCD，N 是斜边 AC 上一动点 （1）若 E、F 为 AC 的三等分点，求证：ADECBF； （2）若 M 是 DC 上一点，且 DM2，求 DN+MN 的最小值； （注：计算时可使用如下定理：在直角AB

35、C 中，若C90，则 AB2AC2+BC2） （3）若点 P 在射线 BC 上，且 NBNP，求证：NPND 【解答】解： （1）证明：E、F 为 AC 的三等分点， AEAC，CFAC，AECF ABBC，ABC90， BACBCA45， 同理DAC45， BCADAC ADECBF， CBAD， 在ADE 和CBF 中， AECF，DAEBCF，ADCB， ADECBF（SAS） ， ADECBF （2）D、B 关于 AC 对称，所以当 B、N、M 在一直线上时，DN+MN 最小 （4 分） AB8，DM2，CM6 在 RtMCB 中，MCB90，CM6，BC8，根据题中定理可求出 BM10 DN+MN 最小值为 10 （3）当点 P 在线段 BC 上（P 与 B、C 不重合）时， NBNP，NBPNPB D、B 关于 AC 对称， NBPNDC， NPB+NPCNDC+NPC180 DNP360（BCD+NDC+NPC）90 NPND 当点 P 与点 C 重合时，点 N 恰好在 AC 的中点处， NDCNCD45，DNC90 NPND 当点 P 在 BC 延长线上时， NBNP，NBPNPB D、B 关于 AC 对称，NBPNDC， NPCNDC， 又DHNCHP， DNPDCP90， NPND