2022年九年级数学中考专题训练：圆的计算和证明（含答案）

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1、中考专题训练中考专题训练圆的计算和证明圆的计算和证明 1如图，以 BC 为直径的O 经过点 A，AN 平分BAC，交 BC 于点 M，P 是 BC 延长线上一点，且 PAPM （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 MN，BC6，CM2，求 AM 的长 2如图，O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，连接 CD、BD、AD，CDBD连接 AC 并延长，与BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDDE； （2）若 AC6，半径 OB5，求 BD 的长 3如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是 AB 延长线上一点，BCDA，CACD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若

2、BD2，求图中阴影部分面积 4如图，AB，AC 分别是O 的直径和弦，半径 OEAC 于点 D过点 A 作O 的切线与 OE 的延长线交于点 P，PC，AB 的延长线交于点 F （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若 PC2AD，AB10求图中阴影部分的面积 5已知正六边形 ABCDEF 的中心为 O，半径 OA6 （1）求正六边形的边长； （2）以 A 为圆心，AF 为半径画弧 BF，求 6如图，半圆 O 的直径是 AB，AD、BC 是两条切线，切点分别为 A、B，CO 平分BCD （1）求证：CD 是半圆 O 的切线 （2）若 AD20，CD50，求 BC 和 AB 的长 7如图，AB

3、 是O 的直径，点 C、点 D 在O 上，ACCD，AD 与 BC 相交于点 E，点 F 在 BC 的延长线上，且FACD （1）求证：AF 是O 的切线； （2）若 EF12，sinD，求O 的半径 8如图，线段 AB 为O 的直径，点 C、点 D 为半圆 AB 的三等分点，点 F 为线段 AB 延长线上一点，且OBBF （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 9如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAEO 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线；

4、（2）若O 的半径为 10，AC16，求 SADE 10如图，O 上有 A，B，C 三点，AC 是直径，点 D 是的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，点 F 在 AB 延长线上且 FCFE （1）求证：CF 是O 的切线； （2）若 BF6，sinF，求O 的半径 11如图，AB 是O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DE 切O 于点 D，交 BC 于 E （1）求证：DEBC； （2）若O 的半径为 5，BE2，求 DE 的长度 12 如图， AB 是O 直径， 弦 CDAB 于点 E， 过点 C 作 DB 的垂线， 交 AB 的延长线于点 G， 垂足为点 F，连接 AC （1）求证：

5、ACCG； （2）若 CD8，OG10，求O 的半径 13如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DHAC 于点 H （1）求证：BDCD； （2）连接 OD 若四边形 AODE 为菱形，BC8，求 DH 的长 14如图，O 的圆心 O 在 RtABC 的直角边 AC 上，O 经过 C，D 两点，与斜边 AB 交于点 E，连接BO，ED，有 BOED，作弦 EFAC 于点 G，连接 DF （1）判断直线 AB 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半径为 5，sinDFE，求 EF 的长 15 已知 P 是O 上一

6、点， 过点 P 作不过圆心的弦 PQ， 在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、 B （不与 P，Q 重合） ，连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2） 如图 2， 连接 AB， 交 PQ 于点 M， 点 N 在线段 PM 上 （不与 P、 M 重合） ， 连接 ON、 OP， 若NOP+2OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并证明 16已知：AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 ABAC，连接 AC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E （1）求证：DCBD； （2）求证：DE 为O 的

7、切线； （3）若 AB12，AD6，连接 OD，求扇形 BOD 的面积 17如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E （1）求证：ABAC； （2）求证：DE 为O 的切线； （3）若O 的半径为 5，sinB，求 DE 的长 18如图，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB4，以点 O 为圆心、2 为半径画圆，点 C 是O 上任意一点，连接 BC，OC将 OC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，交O 于点 D，连接 AD （1）当 AD 与O 相切时， 求证：BC 是O 的切线； 求点 C 到 OB 的距

8、离 （2）连接 BD，CD，当BCD 的面积最大时，点 B 到 CD 的距离为 19如图，AB 是O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CPCB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 OA5，OP3，求 CB 的长； （3）设AOP 的面积是 S1，BCP 的面积是 S2，且若O 的半径为 4，BP，求 tanCBP 20已知：AB 为O 的直径，D 为弦 AC 上一动点（不与 A、C 重合） （1）如图 1，若 BD 平分CBA，连接 OC 交 BD 于点 E 求证：CECD； 若 OE2，求 AD 的长 （2）如图 2，若 BD 绕点

9、 D 顺时针旋转 90得 DF，连接 AF求证：AF 为O 的切线 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1如图，以 BC 为直径的O 经过点 A，AN 平分BAC，交 BC 于点 M，P 是 BC 延长线上一点，且 PAPM （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 MN，BC6，CM2，求 AM 的长 【分析】 （1）连接 OA，根据直径所对的圆周角是直角可得BAC90，再根据角平分线的定义可得BAN45，然后根据三角形的外角以及等腰三角形的性质可得OAP2BAN90，即可解答； （2）连接 BN，根据同弧所对的圆周角相等可得CBNCAN，从而证明AMCBMN，然后利用相似三角形的性质得

10、出比例式，进行计算即可解答 【解答】 （1）证明：连接 OA， BC 是O 的直径， BAC90， AN 平分BAC， BANCAN45， OAOB， BBAO， AOC2B， AMCAOC+OAM2B+OAM， PAPM， PAMAMP， PAM2B+OAM， OAPOAM+PAM OAM+2B+OAM 2B+2OAM 2（B+OAM） 2（BAO+OAM） 2BAN 245 90， OA 是O 的半径， PA 是O 的切线； （2）连接 BN， BC6，CM2， BMBCCM624， CBNCAN，AMCBMN， AMCBMN， ， ， AM， AM 的长为 2如图，O 为半圆的圆心，C、

11、D 为半圆上的两点，连接 CD、BD、AD，CDBD连接 AC 并延长，与BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDDE； （2）若 AC6，半径 OB5，求 BD 的长 【分析】 （1）连接 BC，由 CDBD，AB 为直径可得EECD，进而求解 （2）由勾股定理求出 BC 的值，再由AEB 为等腰三角形可得 BDBE，再通过勾股定理求解 【解答】 （1）证明：AB 为直径， ADBADE90， CDBD， EADDAB， EABE， 连接 BC，则DCBDBC，ACBECB90， EBC+E90，DCB+ECD90， EECD， CDDE （2）解：在 RtACB 中，由勾股定理得 BC

12、8， EABE， AEB 为等腰三角形， ABAE，BDDE， CEAEACABAC1064， 在 RtBCE 中，由勾股定理得 BE4， BDBE2 3如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是 AB 延长线上一点，BCDA，CACD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 BD2，求图中阴影部分面积 【分析】 （1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出OCD90即可； （2）求出三角形 OCD 的面积和扇形 BOC 的面积即可 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 是O 的直径， ACB90， AOOC， AACO， 又BCDA， OCDOCB+BCD

13、 OCB+ACO ACB 90， OCCD， OC 是O 半径， CD 是O 的切线； （2）连接 OC， 设Dx， CACD， ADx， BCDA， BCDDx， CBBD，OCBBCD+Dx+x2x OCOB， OBCOCB2x 由（1）可得 CD 是O 的切线，OC 是O 半径， OCD90， OCDOBC+BCD2x+x3x， 3x90， 即 x30 OBCOCB2x60， COB180OCBOBC180606060， COBOBC， OBBCBD2 OCOB2，ODOB+BD2+24 在 RtOCD 中，CD2OD2OC2， ， ， 4如图，AB，AC 分别是O 的直径和弦，半径 O

14、EAC 于点 D过点 A 作O 的切线与 OE 的延长线交于点 P，PC，AB 的延长线交于点 F （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若 PC2AD，AB10求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC，可以证得OAPOCP，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到OCP90，即 OCPC，即可证得 PC 是O 的切线； （2）根据垂径定理得到 ADCDAC，根据切线的性质得到 PAPC，求得CAFPAOPAC30，根据等腰三角形的性质得到CAFACO30，根据勾股定理得到 CF5，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC PA 是O 的切线，A

15、B 是O 的直径， PAO90， OEAC 于点 D， ， AOECOE， 在AOP 和COP 中， ， AOPCOP（SAS）， PCOPAO90， OCPC， OC 是O 的半径， PC 是O 的切线； （2）解：OEAC 于点 D， ADCDAC， PA，PC 是O 的切线， PAPC， PC2AD， PAPCAC， PAC60， CAFPAOPAC30， OAOC， CAFACO30， COF2CAF60， F90COF30 OF2OC10， 在 RtOCF 中，CF5， S阴影SCOFS扇形BOC55 5已知正六边形 ABCDEF 的中心为 O，半径 OA6 （1）求正六边形的边长；

16、 （2）以 A 为圆心，AF 为半径画弧 BF，求 【分析】 （1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题； （2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果 【解答】解： （1）六边形 ABCDEF 是正六边形， 正六边形的边长半径 OA6； （2）六边形 ABCDEF 是正六边形， BCF120， 弧 BF 的长为4 6如图，半圆 O 的直径是 AB，AD、BC 是两条切线，切点分别为 A、B，CO 平分BCD （1）求证：CD 是半圆 O 的切线 （2）若 AD20，CD50，求 BC 和 AB 的长 【分析】 （1）过点 O 作 OECD，垂足为点 E，利用角平分线的性质证明 OEOB，

17、即可解答； （2）过点 D 作 DFBC，垂足为点 F，先证明四边形 ADFB 是矩形，从而得 ADBF20，DFAB，再利用切线长定理求出 DEAD20，ECBC，从而求出 CF，最后在 RtCDF 中，利用勾股定理进行计算即可解答 【解答】 （1）证明：过点 O 作 OECD，垂足为点 E， BC 是半圆 O 的切线，B 为切点， OBBC， CO 平分BCD， OEOB， OB 是半圆 O 的半径， CD 是半圆 O 的切线； （2）解：过点 D 作 DFBC，垂足为点 F， DFB90， AD 是半圆 O 的切线，切点为 A， DAO90， OBBC， OBC90， 四边形 ADFB

18、是矩形， ADBF20，DFAB， AD，CD，BC 是半圆 O 的切线，切点分别为 A、E、B， DEAD20，ECBC， CD50， ECCDDE502030， BC30， CFBCBF10， 在 RtCDF 中，由勾股定理得： DF20， ABDF20， BC 的长为 30，AB 的长为 20 7如图，AB 是O 的直径，点 C、点 D 在O 上，ACCD，AD 与 BC 相交于点 E，点 F 在 BC 的延长线上，且FACD （1）求证：AF 是O 的切线； （2）若 EF12，sinD，求O 的半径 【分析】 （1）先由 AB 是O 的直径证明ACB90，再由等边对等角以及圆周角定理

19、证明CAFB，则FABCAF+CABB+CAB90，由此可以证明 AF 是O 的切线； （2）根据锐角三角函数可求出 AB 的长，进而求出 OA 的长，即O 的半径长 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB90， B+CAB90， FACD DB， FACB， FAC+CAB90 AF 是O 的切线； （2）解：ACCD， DCAD， FACCAD， 又ACB90， FCCE， EF12， CE6， ， AE10，AC8， 在 RtACB 中， ， ， O 的半径长为 8如图，线段 AB 为O 的直径，点 C、点 D 为半圆 AB 的三等分点，点 F 为线段 AB 延长线上一点，且

20、OBBF （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OD，BD，根据已知条件得到BODAOB60，推出OBD 是等边三角形，得到OBD60，BDOB，求得FBOD30，得到ODF90，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件 OF4，根据勾股定理得到 DF2，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD，BD， AB 为O 的直径，点 D 是半圆 AB 的三等分点， BODAOB60， 在OBD 中，OBOD，BOD60， OBD 是等边三角形， OBD60，BDOB， OBBF，BDOB

21、， BDBF， BDFF， OBDF+BDF， FBOD30， F30，BOD60， ODF90， ODDF， 点 D 在O 上， 直线 DF 是O 的切线； （2）解：OBOD2，BFOB， OF4， 在 RtODF 中，由勾股定理得，DF2， SODFODDF222，S扇形BOD， 图中阴影部分的面积2 9如图，在 RtABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEAEO 是 RtADE 的外接圆，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 10，AC16，求 SADE 【分析】 （1）连接 OE，利用角平分线的性质和等

22、腰三角形的性质证明 ACOE，即可解答； （2）先证明ACEAED，求出 AE 的长，再利用勾股定理求出 DE 的长，进行计算即可解答 【解答】 （1）证明：连接 OE， OAOE， 1OEA， AE 平分BAC 12， 2OEA， ACOE， COEB90， OE 是O 的半径， BC 是O 的切线； （2）AD 是O 的直径， AED90， CAED90， 12， ACEAED， ， 即， ， DE4， SADEAEDE8480 10如图，O 上有 A，B，C 三点，AC 是直径，点 D 是的中点，连接 CD 交 AB 于点 E，点 F 在 AB 延长线上且 FCFE （1）求证：CF 是

23、O 的切线； （2）若 BF6，sinF，求O 的半径 【分析】 （1） 连接 BC， 利用直径所对的圆周角是直角， 可得ABC90， 然后利用等腰三角形的性质，以及等弧所对的圆周角是直角证明FCBA，即可解答； （2） 在 RtFBC 中先求出 BC 和 FC 的长， 然后证明FBCFCA， 利用相似三角形的性质即可解答 【解答】 （1）证明：连接 BC， AC 是O 的直径， ABC90， A+ACB90， FCFE， FCEFEC， FCB+DCBA+ACD， 点 D 是的中点， ， ACDDCB， FCBA， FCB+ACB90， OCF90， OC 是O 的半径， CF 是O 的切线

24、； （2）解：在 RtFBC 中，BF6，sinF， ， 设 BC4x，CF5x， BC2+BF2CF2， （4x）2+36（5x）2， x2 或 x2（舍去）， BC8，CF10， CBFACF90，FF， FBCFCA， ， ， CA， O 的半径为： 11如图，AB 是O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DE 切O 于点 D，交 BC 于 E （1）求证：DEBC； （2）若O 的半径为 5，BE2，求 DE 的长度 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质得到 ODDE，求得ODE90，根据三角形的中位线定理得到 ODBC，于是得到结论； （2）过 B 作 BFOD，推出四边形 DF

25、BE 为矩形，得到 DFBE2，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， DE 切O 于点 D， ODDE， ODE90， D 是 AC 的中点，O 是 AB 的中点， OD 是ABC 的中位线， ODBC， DEC90， DEBC； （2）解：过 B 作 BFOD， BFOD， DFB90， DFBDEBODE90， 四边形 DFBE 为矩形， DFBE2， OFODDF523， DEBF4 12 如图， AB 是O 直径， 弦 CDAB 于点 E， 过点 C 作 DB 的垂线， 交 AB 的延长线于点 G， 垂足为点 F，连接 AC （1）求证：ACCG； （2）若 CD8，OG1

26、0，求O 的半径 【分析】 （1）想办法证明AG 即可解决问题 （2） 设O 的半径为 r 则 AGOA+OGr+10， 在 RtOEC 中， 利用勾股定理构建方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：DFCG，CDAB， DEBBFG90， DBEGBF， DG， AD， AG， ACCG （2）解：设O 的半径为 r则 AGOA+OGr+10， CACG，CDAB， AEEG，ECED4， OEAEOA， 在 RtOEC 中，OC2OE2+EC2， r2（）2+42， 解得 r或（舍弃） ， O 的半径为 13如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别交于 D

27、，E 两点，过点 D 作 DHAC 于点 H （1）求证：BDCD； （2）连接 OD 若四边形 AODE 为菱形，BC8，求 DH 的长 【分析】 （1）如图，连接 AD利用圆周角定理以及等腰三角形的性质即可解决问题 （2）证明ECD 是等边三角形即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD AB 是直径， ADB90， ADBC， ABAC， BDCD （2）解：如图，连接 OE 四边形 AODE 是菱形， OAOEAE， AOE 是等边三角形， A60， ABAC， ABC 是等边三角形， OAOBBDCD AEEC， CDCE，C60， EDC 是等边三角形， DHEC，CD4

28、， DHCDsin602 14如图，O 的圆心 O 在 RtABC 的直角边 AC 上，O 经过 C，D 两点，与斜边 AB 交于点 E，连接BO，ED，有 BOED，作弦 EFAC 于点 G，连接 DF （1）判断直线 AB 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半径为 5，sinDFE，求 EF 的长 【分析】 （1）连接 OE，证 OEAB 即可通过证明BOCBOE 得证； （2） 根据垂径定理， EF2EG， 所以求出 EG 的长即得解 连接 CE， 则CED90， ECDF CD10根据三角函数可求 EG 得解 【解答】 （1）证明：连接 OE EDOB， 12，3OED

29、 又 OEOD， 2OED， 13 又 OBOB，OEOC， BCOBEO（SAS） BEOBCO90，即 OEAB AB 是O 切线 （2）解：连接 CE， F4，CD2OC10； 由于 CD 为O 的直径， 在 RtCDE 中有：EDCDsin4CDsinDFE106 CE8 在 RtCEG 中，sin4， EG8 根据垂径定理得：EF2EG 15 已知 P 是O 上一点， 过点 P 作不过圆心的弦 PQ， 在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、 B （不与 P，Q 重合） ，连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2） 如

30、图 2， 连接 AB， 交 PQ 于点 M， 点 N 在线段 PM 上 （不与 P、 M 重合） ， 连接 ON、 OP， 若NOP+2OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并证明 【分析】（1） 连接 AB， 由已知得到APBAPQ+BPQ90， 根据圆周角定理证得 AB 是O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接 OA、OB、OQ，由APQBPQ 证得，即可证得 OQAB，然后根据三角形内角和定理证得NOQ90，即 NOOQ，即可证得 ABON 【解答】解： （1）连接 AB， APQBPQ45， APBAPQ+BPQ90， AB 是O 的直径， AB3

31、， O 的半径为； （2）ABON， 证明：连接 OA、OB、OQ， APQBPQ， ， AOQBOQ， OAOB， OQAB， OPOQ， OPNOQP， OPN+OQP+PON+NOQ180， 2OPN+PON+NOQ180， NOP+2OPN90， NOQ90， NOOQ， ABON 16已知：AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 ABAC，连接 AC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E （1）求证：DCBD； （2）求证：DE 为O 的切线； （3）若 AB12，AD6，连接 OD，求扇形 BOD 的面积 【分析】 （1）连接 AD，根据中垂线定理不难求得 A

32、BAC； （2）要证 DE 为O 的切线，只要证明ODE90即可； （3）根据三角函数的定义得到 sinB，求得B60，得到BOD60，根据扇形的面积公式即可得到结论 【解答】证明： （1）连接 AD， AB 是O 的直径， ADB90， 又ABAC， DCBD； （2）连接半径 OD， OAOB，CDBD， ODAC， ODECED， 又DEAC， CED90， ODE90，即 ODDE DE 是O 的切线； （3）AB12，AD6， sinB， B60， BOD60， S扇形BOD6 17如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，过点 D

33、作 DEAC，垂足为 E （1）求证：ABAC； （2）求证：DE 为O 的切线； （3）若O 的半径为 5，sinB，求 DE 的长 【分析】 （1）连接 AD，根据圆周角定理得到 ADBC，根据线段垂直平分线的性质证明； （2）连接 OD，根据三角形中位线定理得到 ODAC，得到 DEOD，证明结论； （3）解直角三角形求得 AD，进而根据勾股定理求得 BD、CD，据正弦的定义计算即可求得 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD， AB 是O 的直径， ADBC，又 DCBD， ABAC； （2）证明：如图，连接 OD， AOBO，CDDB， OD 是ABC 的中位线， ODAC，又 DE

34、AC， DEOD， DE 为O 的切线； （3）解：ABAC， BC， O 的半径为 5， ABAC10， sinB， AD8， CDBD6， sinBsinC， DE 18如图，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB4，以点 O 为圆心、2 为半径画圆，点 C 是O 上任意一点，连接 BC，OC将 OC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，交O 于点 D，连接 AD （1）当 AD 与O 相切时， 求证：BC 是O 的切线； 求点 C 到 OB 的距离 （2）连接 BD，CD，当BCD 的面积最大时，点 B 到 CD 的距离为 4+ 【分析】 （1）先证明BOCAOD，则BCOADO90，B

35、C 是O 的切线； 过点 C 作 CEOB，根据勾股定理得 BC2，由BCO 的面积公式可得 OBCEBCOC，求得CE； （2）当点 C 在O 上运动到BCD 是等腰三角形，且 BO 的延长线与 CD 垂直位置时，BCD 的面积最大（如图 2） ，由等腰直角三角形的性质可求得 OF，则点 B 到 CD 的距离为 4+ 【解答】 （1）证明：AD 与O 相切， ADO90， AOBCOD90， AOBAOCCODAOC，即COBAOD， OBOA，OCOD， BOCAOD（SAS） BCOADO90 BC 是O 的切线 解：过点 C 作 CEOB，垂足为 E，则 CE 即为点 C 到 OB 的

36、距离 在 RtBOC 中，OB4，OC2， ， OBCEBCOC，即 4CE2，CE 点 C 到 OB 的距离是 （2）解：当点 C 在O 上运动到BCD 是等腰三角形，且 BO 的延长线与 CD 垂直位置时， BCD 的面积最大（如图 2） ， 此时 OB4，OCOD2， COD 是等腰直角三角形， ， 故答案为：4+ 19如图，AB 是O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CPCB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 OA5，OP3，求 CB 的长； （3）设AOP 的面积是 S1，BCP 的面积是 S2，且若O 的半径为 4，BP

37、，求 tanCBP 【分析】 （1）由垂直定义得A+APO90，根据等腰三角形的性质由 CPCB 得CBPCPB，根据对顶角相等得CPBAPO，所以APOCBP，而AOBA，所以OBCCBP+OBAAPO+A90，然后根据切线的判定定理得到 BC 是O 的切线； （2）设 BCx，则 PCx，在 RtOBC 中，根据勾股定理得到 52+x2（x+3）2，然后解方程即可； （3） 作 CDBP 于 D， 由等腰三角形三线合一的性质得， PDBDPB，得出，通过证得AOPCDP，即可求得 CD，然后解直角三角形即可求得 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图， OPOA， AOP90， A+APO

38、90， CPCB， CBPCPB， 而CPBAPO， APOCBP， OAOB， AOBA， OBCCBP+OBAAPO+A90， OBBC， BC 是O 的切线； （2）解：设 BCx，则 PCx， 在 RtOBC 中，OBOA5，OCCP+OPx+3， OB2+BC2OC2， 52+x2（x+3）2， 解得 x， 即 BC 的长为； （3）解：如图，作 CDBP 于 D， PCPB， PDBDPB， PDCAOP90，APOCPD， AOPCDP， ， ， ， OA4， CD， tanCBP2 20已知：AB 为O 的直径，D 为弦 AC 上一动点（不与 A、C 重合） （1）如图 1，若

39、 BD 平分CBA，连接 OC 交 BD 于点 E 求证：CECD； 若 OE2，求 AD 的长 （2）如图 2，若 BD 绕点 D 顺时针旋转 90得 DF，连接 AF求证：AF 为O 的切线 【分析】 （1）根据圆周角定理和角平分线的性质证CEDCDE，即可得证结论； 取 BD 中点 G，连接 OG，根据角的关系得出OGEOEG，即 OGOE2，根据三角形中位线定理得出 AD 即可； （2）在 BC 上截取 BPAD，连接 DP，证DFABDP（SAS） ，得FADBPD135，推出FABFADBAC1354590，即 OAAF，结论即可得证 【解答】 （1）证明： AB 为O 的直径，

40、BCA90， ， CBABAC45，BOC90， BCO45， BD 平分CBA， CBDDBA22.5， CEDCBD+BCE67.5，CDEABD+BAC67.5， CEDCDE， CECD； 解：如图 1，取 BD 中点 G，连接 OG， O 为 AB 的中点， OGAD，AD2OG， OGECDE， OEGCED，CEDCDE， OGEOEG， OGOE2， AD2OG4； （2）证明：如图 2，在 BC 上截取 BPAD，连接 DP， ， BCAC， CPCD， ACB90 CPD45， BPD135， 由旋转性质得，BDF90，BDFD， BDC+FDA90， BDC+CBD90， CBDADF， DFABDP（SAS）， FADBPD135， FABFADBAC1354590， OAAF， 又OA 为半径， AF 为O 的切线