2023年九年级数学中考专题训练：二次函数的特殊三角形问题（含答案）

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1、2023年中考数学专题训练二次函数的特殊三角形问题1抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)x轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，

2、点的坐标为点是抛物线上一个动点，且在直线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点做轴交直线于点，求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线

3、BP的函数表达式4如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）(1)求抛物线的解析式；(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由5抛物线 yax24ax3a 交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知ABC的面积为3(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作P

4、Q/AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当d4时，作DNy轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标6已知一次函数yx4的图象与二次函数yax（x2）的图象相交于点A（1，b）和点B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PCx轴，与二次函数yax（x2）的图象交于点C(1)a ，b ，B点的坐标为 ；(2)求线段PC长的最大值(3)连接AC，当PAC是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标 7如图,在坐标系中ABC是等腰直角三角形,BAC =90,A(1, 0),B

5、(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C. (1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.8如图，二次函数的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且的面积为6(1)求A，B两点的坐标；(2)求该二次函数的表达式；(3)如果点p在坐标轴上，且是等腰三角形，直接写出p点坐标9如图，已知二次函数的图象经过点、和原点OP为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段P

6、C的最大值；(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由10如图，抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（4，0），B（，0），与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点P是x轴上的一个动点，连接CP，并把线段CP绕着点C按逆时针方向旋转60，得到CQ，连接PQ，OQ(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到点D时，求Q点坐标，并判断点Q是否在抛物线上；(3)当OPQ的面积等于时，请直接写出符合条件的点P的坐标11如图1，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，D是抛物线上的动点，已知A的坐标为（-3，0），C的

7、坐标为（0，3）(1)求该抛物线的函数表达式以及B点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D使得ACD是直角三角形且ADC=90，若存在请求出D点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC，BC，当ACD=BCO，求D点的坐标12如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M在线段CB上运动，作MNx轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，BCN的面积最大，求最大面积.13如图，抛物线与x轴交于A，

8、B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（2，0），（0，3），点D与点C关于x轴对称，P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PD、交AC于点Q(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标；(2)在点P运动的过程中，求PQ：DQ的最大值；(3)在y轴上是否存在点M，使AMB45？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由14如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D若的面积为S求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；当S取

9、得最大值时，求点P的坐标(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由15如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线yax2bxc与x轴的另一交点为(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作PDx轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（4t0）求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；当PEC为等腰三角形时，求所有满足条件的t的值16将抛物线C：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移得到抛物线抛物线的顶点在y轴上(1)分别求抛物线的顶点坐

10、标及抛物线的解析式；(2)点A在抛物线对称轴右侧的图像上，点B在抛物线的对称轴上，OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图，直线（，k为常数）与抛物线交于E，F两点，M为线段EF的中点直线与抛物线交于G，H两点，N为线段GH的中点，求证：直线MN经过一个定点17如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请

11、说明理由18如图，四边形的顶点坐标分别为，抛物线经过，三点(1)求证：四边形是矩形；(2)求抛物线的解析式；(3)绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，的对应点分别为，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标19如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线ykx+b 交于A，B两点，且点A坐标为（4，），点B在y轴上(1)求直线和抛物线解析式；(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DEx轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20

12、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点(1)求的值；(2)在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标；（提醒满足条件的点可能不只一个）(3)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，与轴相交于点，连接、，当四边形的面积最大时，请你说明四边形的形状参考答案1(1)；(2)存在，点P的坐标为（，0）或（4+2，0）或（42，0）或（4，0）；(3)当m2时，四边形CQMD是平行四边形，理由见解析2(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）3(1)yx22x3(2)点C的坐标为（1，2），点

13、D的坐标为（1，）(3)或4(1)yx24x+3(2)点P的坐标为（2，1）(3)存在，点D的坐标为：（2，）或（2，）5(1)(2)(3)或6(1)1；3；（4，8）(2)(3)或7(1)(2)（3，1）(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)8(1)，(2)(3)，9(1)y=-x2+4x(2)(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）10(1)(2)Q点坐标为（，4），点Q在抛物线上(3)符合条件的点P的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）11(1)y-x2-2x3，B(1，0)(2)存在，D(2，3)(3)D(，)或(4，5)12(1)(2)存在，P（2，2） （2，3+）（2，3，-）（2，）（2，-）(3)当，时，BCN的面积最大，最大面积为13(1)；（3，0）(2)(3)存在，M（0，6）或M（0，6）14(1)(2)；S有最大值为，此时(3)存在，或15(1)(2)，的最大值为；或或16(1)C1的顶点坐标是（2，-6），C2：yx26；(2)A（4，2）或（5，3）；(3)见解析17(1)(2)(3)存在，或或时，是等腰直角三角形18(1)平行四边形是矩形(2)(3)点的坐标为或19(1)，(2)2(3)或20(1)(2)，(3)当四边形的面积最大时，四边形是平行四边形