湖北省仙桃市二校联考2022年九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、 湖北省仙桃市二校联考湖北省仙桃市二校联考 2022 年九年级上第一次月考数学试卷年九年级上第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A Bax2+bx+c0 C （x1） （x+2）1 D3x22xy5y20 2下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） Ay3x1 Byax2+bx+c Cs2t22t+1 Dyx2+ 3抛物线 y3（x+4）2+2 的顶点坐标是（ ） A （2，4） B （2，4） C （4，2） D （4，2） 4某市严格落实国家节水政策，2018 年用水总量为 6.5

2、亿立方米，2020 年用水总量为 5.265 亿立方米设该市用水总量的年平均降低率是 x，那么 x 满足的方程是（ ） A6.5（1x）25.265 B6.5（1+x）25.265 C5.265（1x）26.5 D5.265（1+x）26.5 5将抛物线 y（x1）2+2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx28x+22 Byx28x+14 Cyx2+4x+10 Dyx2+4x+2 6关于 x 的方程 x2+4kx+2k24 的一个解是2，则 k 值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 0 D2 或 2 7如图，二次函数 ya（x

3、+2）2+k 的图象与 x 轴交于 A，B（1，0）两点，则下列说法正确的是（ ） Aa0 B点 A 的坐标为（4，0） C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴为直线 x2 8若 m、n 是一元二次方程 x2+3x90 的两个根，则 m2+4m+n 的值是（ ） A4 B5 C6 D12 9 一次函数 yax+b （a0） 与二次函数 yax2+bx+c （a0） 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 10如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴是直线 x1，现有结论： abc0； 9a3b+c0； b2a； （1）b+c0 其中

4、正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若 x24x+5（x2）2+m，则 m 12关于 x 的方程 x2x10 的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2x1x2的值为 13 抛物线 yx2+x+2 的图象上有三个点 （3， a） 、 （2， b） 、 （3， c） ， 则 a、 b、 c 的大小关系是 （用“”连接） 14已知 y 是 x 的二次函数，如表给出了 y 与 x 的几对对应值： x 2 1 0 1 2 3 4 y 11 a 3 2 3 6 11 由此判断，表中 a 15当3x3 时，二次函

5、数 yx2+4x+12 有最小值，则 16已知关于 x 的一元二次方程：x22xa0，有下列结论： 当 a1 时，方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根； 当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1； 当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 以上 4 个结论中，正确的个数为 三、解答题（共三、解答题（共 72 分）分） 17 （10 分）计算： （1）x22x2x+1； （2）3x22x20 18 （8 分）当 x4 时，函数 yax2+bx+c 的最小值为8，抛物线过点（6，0） 求： （1）顶点坐标和对称轴； （2）函数的表达式； （3）x

6、取什么值时，y 随 x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随 x 增大而减小 19 （8 分）关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 x1、x2 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x21x1x2，求 k 的值 20 （8 分）如图，一次函数 y1kx+b 与二次函数 y2ax2的图象交于 A、B 两点 （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使 y1y2的 x 的取值范围 21 （8 分）如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 11 米） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 （1）如果要围成面积为 45 平方米的花圃，那么

7、AD 的长为多少米？ （2）能否围成面积为 60 平方米的花圃？若能，请求出 AD 的长；若不能，请说明理由 22 （8 分）如图所示，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（5，0） （1）求抛物线的解析式并写出顶点 M 的坐标； （2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积 23 （10 分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35 元，原计划以每桶 55 元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售已知这种消毒液销售量 y（桶）与每桶降价 x（元） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间

8、的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760 元这种消毒液每桶实际售价多少元？ 24 （12 分）已知抛物线 yax2+c（a0）过点 P（3，0） ，Q（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2） 点A在直线PQ上且在第一象限内， 过A作ABx轴于B， 以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC 若 A 与 Q 重合，求 C 到抛物线对称轴的距离； 点 C 能否落在抛物线上，若能求点 C 的坐标，若不能说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A Bax2+

9、bx+c0 C （x1） （x+2）1 D3x22xy5y20 【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：A、原方程为分式方程；故 A 选项错误； B、当 a0 时，即 ax2+bx+c0 的二次项系数是 0 时，该方程就不是一元二次方程；故 B 选项错误； C、由原方程，得 x2+x30，符合一元二次方程的要求；故 C 选项正确； D、方程 3x22xy5y20 中含有两个未知数；故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查

10、了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 2下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） Ay3x1 Byax2+bx+c Cs2t22t+1 Dyx2+ 【分析】根据二次函数的定义，可得答案 【解答】解：A、y3x1 是一次函数，故 A 不符合题意； B、yax2+bx+c （a0）是二次函数，故 B 不符合题意； C、s2t22t+1 是二次函数，故 C 符合题意； D、yx2+不是二次函数，故 D 不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的定义，yax2+bx+c （a0）是二次函数，注

11、意二次函数都是整式 3抛物线 y3（x+4）2+2 的顶点坐标是（ ） A （2，4） B （2，4） C （4，2） D （4，2） 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 【解答】解：y3（x+4）2+2 是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（4，2） 故选：D 【点评】 此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法 利用解析式化为 ya （xh）2+k， 顶点坐标是 （h，k） ，对称轴是直线 xh 得出是解题关键 4某市严格落实国家节水政策，2018 年用水总量为 6.5 亿立方米，2020 年用水总量为 5.265 亿立方米设该市用水总量的年平均降

12、低率是 x，那么 x 满足的方程是（ ） A6.5（1x）25.265 B6.5（1+x）25.265 C5.265（1x）26.5 D5.265（1+x）26.5 【分析】首先根据降低率表示出 2019 年的用水量，然后表示出 2020 年的用水量，令其等 5.265 即可列出方程 【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是 x， 则 2019 年的用水量为 6.5（1x） ， 2020 年的用水量为 6.5（1x）2， 故选：A 【点评】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 5将抛物线 y（x1）2

13、+2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx28x+22 Byx28x+14 Cyx2+4x+10 Dyx2+4x+2 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 y（x1）2+2 向左平移 3 个单位长度所得抛物线解析式为：y（x1+3）2+2，即 y（x+2）2+2； 再向下平移 4 个单位为：y（x+2）2+24，即 y（x+2）22x2+4x+2 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键 6关于 x 的方程 x2+4kx+2k24 的一个解是2，

14、则 k 值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 0 D2 或 2 【分析】直接把 x2 代入方程 x2+4kx+2k24 得 48k+2k24，然后解关于 k 的一元二次方程即可 【解答】解：把 x2 代入方程 x2+4kx+2k24 得 48k+2k24， 整理得 k24k0，解得 k10，k24， 即 k 的值为 0 或 4 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 7如图，二次函数 ya（x+2）2+k 的图象与 x 轴交于 A，B（1，0）两点，则下列说法正确的是（ ） Aa0 B点 A 的坐标为（4，0） C当

15、 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴为直线 x2 【分析】因为图象开口方向向上，所以 a0，故 A 错误，因为图象对称轴为直线 x2，且过 B（1，0） ，所以 A 点坐标为（3，0） ，故 B 错误，D 正确，当 x0 时，由图象可知 y 随 x 的增大先减小后增大，故 C 错误，即选 D 【解答】解：二次函数 ya（x+2）2+k 的图象开口方向向上， a0， 故 A 错误， 图象对称轴为直线 x2，且过 B（1，0） ， A 点的坐标为（3，0） ， 故 B 错误，D 正确， 由图象知，当 x0 时，由图象可知 y 随 x 的增大先减小后增大， 故 C 错误， 故选：D

16、【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键 8若 m、n 是一元二次方程 x2+3x90 的两个根，则 m2+4m+n 的值是（ ） A4 B5 C6 D12 【分析】由于 m、n 是一元二次方程 x2+3x90 的两个根，根据根与系数的关系可得 m+n3，mn9， 而m是方程的一个根， 可得m2+3m90， 即m2+3m9， 那么m2+4m+nm2+3m+m+n， 再把m2+3m、m+n 的值整体代入计算即可 【解答】解：m、n 是一元二次方程 x2+3x90 的两个根， m+n3， m 是 x2+3x90 的一个根， m2+3m90， m2+3m9， m2+

17、4m+nm2+3m+m+n9+（m+n）936 故选：C 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2，x1x2 9 一次函数 yax+b （a0） 与二次函数 yax2+bx+c （a0） 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】根据一次函数和二次函数的性质可以判断 a、b 的正负，从而可以解答本题 【解答】解：在 A 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项A 错误； 在 B 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，

18、故选项 B 错误； 在 C 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项 C 正确； 在 D 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质 10如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴是直线 x1，现有结论： abc0； 9a3b+c0； b2a； （1）b+c0 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判

19、断即可 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 开口向上，对称轴是直线 x1，与 y 轴的交点在负半轴， a0，b0，c0， abc0，因此正确； 对称轴是直线 x1，即：1，也就是：b2a，因此正确； 由抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ，对称轴是直线 x1，可得与 x 轴另一个交点坐标为（3，0） ， 9a+3b+c0，而 b0， 因此9a3b+c0 是不正确的； （1）b+cbb+c，b2a， （1）b+c2a+b+c， 把 x代入 yax2+bx+c 得，y2a+b+c， 由函数的图象可得此时 y0，即： （1）b+c0，因此是正确的， 故正确的结论有 3 个， 故选：C

20、【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若 x24x+5（x2）2+m，则 m 1 【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出 m 的值 【解答】解：已知等式变形得：x24x+5x24x+4+1（x2）2+1（x2）2+m， 则 m1， 故答案为：1 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 12关于 x 的方程 x2x10 的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2x1x2的值为 2 【分析】直接根据根与系数

21、的关系求解 【解答】解：关于 x 的方程 x2x10 的两根分别为 x1、x2， x1x21，x1+x21， x1+x2x1x21（1）2， 故答案为 2 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2 ，x1x2 13抛物线 yx2+x+2 的图象上有三个点（3，a） 、 （2，b） 、 （3，c） ，则 a、b、c 的大小关系是 bac （用“”连接） 【分析】把（3，a） 、 （2，b） 、 （3，c）分别代入抛物线 yx2+x+2 求出 a、b、c 的值，进而得出大小关系 【解答】解：把（3，a） 、 （2，b） 、 （3

22、，c）分别代入抛物线 yx2+x+2 得， a93+28，b42+24，c9+3+214； 因此有 bac 故答案为：bac 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入关系式是常用的方法，有时也可以根据二次函数的增减性做出判断 14已知 y 是 x 的二次函数，如表给出了 y 与 x 的几对对应值： x 2 1 0 1 2 3 4 y 11 a 3 2 3 6 11 由此判断，表中 a 6 【分析】确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解 【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3） ， 对称轴为 x1， x1 时的函数值等于 x3 时的函数值， 当

23、x3 时，y6， 当 x1 时，a6 故答案为：6 【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键 15当3x3 时，二次函数 yx2+4x+12 有最小值，则 8 【分析】利用配方法求出抛物线的对称轴，顶点坐标，根据函数的增减性即可解决问题 【解答】解：yx2+4x+12（x+2）2+8， 对称轴 x2，顶点坐标为（2，8） a10，开口向上， 函数有最小值，当 x2 时，函数的最小值为 8 当3x3，x2 时，有最小值，最小值为 8， 故答案为：8 【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是学会利用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴，属 于中考常考题

24、型 16已知关于 x 的一元二次方程：x22xa0，有下列结论： 当 a1 时，方程有两个不相等的实根； 当 a0 时，方程不可能有两个异号的实根； 当 a1 时，方程的两个实根不可能都小于 1； 当 a3 时，方程的两个实根一个大于 3，另一个小于 3 以上 4 个结论中，正确的个数为 3 【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可 【解答】解：x22xa0， 4+4a， 当 a1 时，0，方程有两个不相等的实根，故正确， 当 a0 时，两根之积0，方程的两根异号，故错误， 方程的根为 x1， a1， 方程的两个实根不可能都小于 1，故正确， 当 a3 时，由（3）可知，

25、两个实根一个大于 3，另一个小于 3，故正确， 故答案为 3 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 三、解答题（共三、解答题（共 72 分）分） 17 （10 分）计算： （1）x22x2x+1； （2）3x22x20 【分析】 （1）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答 【解答】解： （1）x22x2x+1， x24x10， （4）241（1）16+4200， x2， x12+，x22； （2）3x22x20， （2）243（2）4+24280，

26、 x， x1，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解题的关键 18 （8 分）当 x4 时，函数 yax2+bx+c 的最小值为8，抛物线过点（6，0） 求： （1）顶点坐标和对称轴； （2）函数的表达式； （3）x 取什么值时，y 随 x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随 x 增大而减小 【分析】 （1）抛物线在顶点处有最大（小）值，当 x4 时，函数 yax2+bx+c 的最小值为8，可知顶点坐标及对称轴； （2）设抛物线解析式的顶点式 ya（x4）28，将点（6，0）代入求 a 即可； （3）根据对称轴及开口方向，可确定函数的增减性 【解答】解： （1）当

27、 x4 时，函数 yax2+bx+c 的最小值为8， 顶点坐标为（4，8） ，对称轴为直线 x4； （2）设顶点式 ya（x4）28，将点（6，0）代入，得 a（64）280， 解得 a2，y2（x4）28，即 y2x216x+24； （3）抛物线的对称轴为直线 x4，a20，开口向上， x4 时，y 随 x 的增大而增大，x4 时，y 随 x 的增大而减小 【点评】本题考查了抛物线的性质与顶点坐标的关系，待定系数法求解析式的方法，函数的增减性的判断问题 19 （8 分）关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 x1、x2 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x21x1

28、x2，求 k 的值 【分析】 （1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 k 的不等式，则可求得 k 的取值范围； （2）利用根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，代入所给等式，则可得到关于 k 的方程，可求得k 的值 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 x1、x2， 0，即2（k1）24k20，解得 k； （2）由根与系数关系可得 x1+x22（k1） ，x1x2k2， x1+x21x1x2， 2（k1）1k2，解得 k1 或 k3， k， k3 【点评】 本题主要考查根的判别式及根与系数的关系， 掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键 2

29、0 （8 分）如图，一次函数 y1kx+b 与二次函数 y2ax2的图象交于 A、B 两点 （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使 y1y2的 x 的取值范围 【分析】 （1）把 B 坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把 A 横坐标代入二次函数解析式即可求得点 A 坐标；把 A，B 两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式； （2）应从交点看一次函数的值大于二次函数的值时 x 的取值 【解答】解： （1）由图象可知：B（2，4）在二次函数 y2ax2上， 4a22， a1， 则二次函数 y2x2， 又 A（1，n）在二次函数 y2x2上， n（1）

30、2， n1， 则 A（1，1） ， 又 A、B 两点在一次函数 y1kx+b 上， ， 解得：， 则一次函数 y1x+2， 答：一次函数 y1x+2，二次函数 y2x2； （2）根据图象可知：当1x2 时， y1y2 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，应从两个函数的交点处看什么时候一次函数的值大于二 次函数的值时 x 的取值 21 （8 分）如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 11 米） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 （1）如果要围成面积为 45 平方米的花圃，那么 AD 的长为多少米？ （2）能否围成面积为 60 平方米的花圃？若能，请求出 AD 的长

31、；若不能，请说明理由 【分析】 （1）设出 AD 的长，表示出 AB 的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度为 11 米即可； （2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可 【解答】解： （1）设 AD 的长为 x 米，则 AB 为（243x）米，根据题意列方程得， （243x） x45， 解得 x13，x25； 当 x3 时，AB243x2491511，不符合题意，舍去； 当 x5 时，AB243x911，符合题意； 答：AD 的长为 5 米 （2）不能围成面积为 60 平方米的花圃 理由：假设存在符合条件的长方形，设 AD 的长为 y 米， 于是有（2

32、43y） y60， 整理得 y28y+200， （8）2420160， 这个方程无实数根， 不能围成面积为 60 平方米的花圃 【点评】此题的关键是利用长方形的面积计算公式列方程解答问题，注意结合图形 22 （8 分）如图所示，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（5，0） （1）求抛物线的解析式并写出顶点 M 的坐标； （2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积 【分析】 （1）列出交式即可求得； （2）根据 S四边形AMBCSABM+SABC即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（5，0）

33、 函数的表达式为：y（x+1） （x5）（x24x5）x2x， yx2x（x2）23， 点 M 坐标为（2，3） ； （2）当 x8 时，y（x+1） （x5）9，即点 C（8，9） ， 因为 AB5+16， 且ABM、ABC 的高分别是点 M、点 C 纵坐标的绝对值， 所以 S四边形AMBCSABM+SABC+36 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，四边形的面积，难度不大 23 （10 分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35 元，原计划以每桶 55 元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售已知这种消毒液销售量 y（桶）与每桶降价 x（元

34、） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760 元这种消毒液每桶实际售价多少元？ 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 ykx+b，将点（1，110） 、 （3，130）代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于 x 的一元二次方程，通过解方程即可求解 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 将点（1，110） 、 （3，130）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y10 x+100； （2）

35、由题意得： （10 x+100）（55x35）1760， 整理，得 x210 x240 解得 x112，x22（舍去） 所以 55x43 答：这种消毒液每桶实际售价 43 元 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键 24 （12 分）已知抛物线 yax2+c（a0）过点 P（3，0） ，Q（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2） 点A在直线PQ上且在第一象限内， 过A作ABx轴于B， 以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC 若 A 与 Q 重合，求 C 到抛物线对称轴的距离； 点 C 能否落在抛物

36、线上，若能求点 C 的坐标，若不能说明理由 【分析】 （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可知 A（1，4） ，则 AB4，再由等腰直角三角形的性质可得 C 点到 AB 的距离为 2，由此可求解； 先求出直线 PQ 的解析式，设 A（t，2t+6） （0t3） ，则 C 点到 AB 的距离为t+3，根据等腰直角三角形的性质求出 C（2t3，t+3） ，将点 C 代入 yx2+，可求 C 点坐标为（2，） 【解答】解： （1）将 P（3，0） ，Q（1，4）代入 yax2+c， ， 解得， yx2+； （2）A 与 Q 重合， A（1，4） ， ABx 轴， AB4， ABC 是 AB 为斜边的等腰直角三角形， C 点到 AB 的距离为 2， 抛物线的对称轴为 y 轴， C 点到抛物线对称轴的距离为 1； 点 C 能落在抛物线上，理由如下； 设直线 PQ 的解析式为 ykx+b， ， 解得， y2x+6， 设 A（t，2t+6） （0t3） ， AB2t+6， C 点到 AB 的距离为（2t+6）t+3， C（2t3，t+3） ， 将点 C 代入 yx2+， 可得（2t3）2+t+3， 解得 t3（舍）或 t， C（2，） 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键