湖南省长沙市八校联考2022-2023学年高二上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、湖南省长沙市八校联考2022-2023高二第一学期第一次月考数学试题一单选题1.函数的零点的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.32.四个函数：；的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A. B. C. D.3.已知锐角三角形的内角的对边分别为，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，据说阿基米德对这个图最引以为自豪，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）A. B. C. D.5.已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（ ）

2、A. B.C. D.6.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）A. B. C. D.7.三边，满足，则三角形是（ ）A.锐角三角形 B.针角三角形C.等边三角形 D.直角三角形8.已知实数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D.二多选题9.已知函数，若，则的值可能为（ ）A.1 B. C.10 D.10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.在向量上的投影为11.定义行列式，若函数，则下列表述错误的是（ ）A.的图象关于点中心对称B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D

3、.是最小正周期为的奇函数12.如图，在三棱雉中，分别为棱的中点，平面，则（ ）A.点与点到平面的距离相等B.直线与直线垂直C.三棱雉的体积为18D.平面截三棱雉所得的截面面积为12三填空题13.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为_.14.函数的值域是_.15.已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是_.16.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（包括边界），若平面，则与底面所成

4、角的正弦的取值范围是_.四解答题17.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求实数的值取范围.18.设锐角三角形的内角的对边分别为（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.19.设函数，其中.（1）求函数的值域；（2）若，讨论在区间上的单调性；（3）若在区间上为增函数，求的最大值.20.已知函数，其中.（1）若对任意实数，恒有，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得且？若存在，则求的取值范围；若不存在，则加以证明.21.如图，在平面四边形中，.（1）若，求线段的长：（2）求线段长的最大值.22.已知函数，其中.（1）求函数在上的最小值；（2）若函数恰好存在三个零点，且，求的取值范围.参考答案

5、1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.A9.AD 10.AB 11.ABD 12.AD13. 14. 15.916.取的中点，连接，则，面，面，所以面，同理：，面，面，所以面，因为，所以平面面，因为平面，且点在底面内（包括边界），所以点在线段上运动，连接，因为面，所以即为与底面所成角，在中，在中，当点与点重合时最长为，此时最长为，当时，最短为，此时最短为，即，所以故答案为：.17.（1）或；（2）.（1），或，或；（2），由，得，解得，实数的值取范围为.18.（1）；（2）【详解】解（1）锐角又（1），由正弦定理得，.的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应

6、用，基本不等式的应用，属于基础题.19.（1）（2）在区间上单调递增，在上单调递减（3）（1），所以函数的值域是；（2）时，当，当，即时，函数单调递增，当，即时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；（3）若，则，若函数在区间上为增函数，则，解得：，所以的最大值是.20.（1）；（2）存在，.【分析】（1）首先求出在上的最大值，问题转化为对任意成立，然后化简不等式，参变分离构造即可.（2）分a0和a0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.（1），原问题对任意成立，即对任意成立，即对任意成立，.故a的范围是：.（2），不等式变为，；（2），此时无解.综上所述

7、，存在满足题意.21.（1）；（2）6.【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.（1）在中，由余弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得：，所以.（2）设，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，当且仅当，即时取“=”，此时，所以当时，线段AC长取最大值6.【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.22.（1）答案见解析（2）【分析】（1）化简函数的解析式，分析出函数的单调性，分两种情况讨论，可

8、得出函数在上的最小值；（2）分两种情况讨论，利用韦达定理和求根公式可得出的表达式，并求得的取值范围，根据可求得实数的取值范围.（1）解：因为，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，即当时，；当时，即当时，.综上所述，函数在上的最小值为.（2）解：，不妨设，因为，当时，即当时，由可得，即为方程的一根，由可得，即为方程的一根，由可得，即为方程的一根，由图象可知是方程的两根，是方程的较大根，则由韦达定理与求根公式可知，则，可得，令，而，则，因为函数在上单调递减，当时，则；由可得，可得，且当时，即当时，由可得，由图象可知是方程的两相异根，是方程的较大根，由韦达定理以及求根公式可得，所以，可得，令，而，则.由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，且当时，则在上单调递增，当时，.综上所述，又满足，故，即.【点睛】关键点点睛：本题考查利用利用方程根相关的等式求参数的取值范围，解题的关键在于确定的根与二次方程的关系，利用韦达定理结合求根公式将等式与参数联系起来，利用已知的不等式关系求出范围，即可得解.