河南省驻马店市确山县2021-2022学年九年级上期中考试数学试卷(含答案详解)
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1、 河南省驻马店市确山县河南省驻马店市确山县 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A B C D 2方程 x240 的根是( ) Ax2 Bx12,x22 Cx10,x22 Dx2 3函数 yx2+2 与 yx21 的图象的不同之处是( ) A开口方向 B对称轴 C顶点 D形状 4若方程 x22x+m0 没有实数根,则 m 的值可以是( ) A1 B0 C1 D 5如图,四边形 ABCD 内接于O,点 P 为边 AD 上任
2、意一点(点 P 不与点 A,D 重合)连接 CP若B120,则APC 的度数可能为( ) A30 B45 C50 D65 6如图,点 A,B,C,D,E 在O 上,ABCD,AOB42,则CED( ) A48 B24 C22 D21 7如图,在 66 的正方形网格中,ABC 绕某点旋转一定的角度,得到ABC,则旋转中心是点( ) AO BP CQ DM 8如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0) ,直线 ykx+12 与O 交于 B、C 两点,则弦 BC 长的最小值( ) A24 B10 C8 D25 9定义:若两个函数图象与 x 轴有一个共同的交点,我们
3、就称这两个函数为“共根函数” 如 yx24 与y(x+1) (x2)的图象与 x 轴的共同交点为(2,0) ,那么这两个函数就是“共根函数” 若 y2x24x 与 yx23x+m1 为“共根函数” ,则 m 的值为( ) A1 B1 或 3 C1 或 2 D2 或 3 10如图,矩形 ABCD 的顶点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上,OAOB2,AD4,将矩形 ABCD 绕点 O顺时针旋转,每次旋转 90,则第 2022 次旋转结束时,点 C 的坐标为( ) A (6,4) B (6,4) C (4,6) D (4,6) 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分)
4、 11若点 M(2x,3)与点 N(x2+1,3)关于原点对称,则 x 12一个二次函数的对称轴为直线 x2,该函数的图象与 y 轴的交点到原点的距离为 1,则该函数的解析式为 (写出一个符合题意要求的答案即可) 13对于两个不相等的实数 a,b,我们规定符号 Maxa,b表示 a,b 中的较大值,如:Max2,44,按照这个规定,方程 Maxx,xx22 的解为 14 田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题: “直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何” 意思是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,只知道它的长与宽共60 步,问它的长比宽多多少步?根据题意
5、得,长比宽多 步 15如图(1) ,点 P 是直径为 AB 的半圆 O 上一动点(可以与点 A,B 重合) ,过点 P 作 PDAB 于点 D, 连接 PA设 PAx,PDy,图(2)是点 P 运动过程中 y 与 x 之间的函数关系的图象,其中 M 为曲线的最高点,则 mn 的值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 小题,满分小题,满分 75 分)分) 16 (6 分)小敏与小霞两位同学解方程 3(x3)(x3)2的过程如下框: 小敏: 两边同除以(x3) ,得 3x3, 则 x6 小霞: 移项,得 3(x3)(x3)20, 提取公因式,得(x3) (3x3)0 则 x30 或 3
6、x30, 解得 x13,x20 你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打 “” ; 若错误请在框内打 “” , 并写出你的解答过程 17 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若 m0,且该方程的两个实数根的差为 2,求 m 的值 18 (9 分)二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表: x 3 2 1 0 1 yax2+bx+c 4 4 m 根据以上列表,回答下列问题: (1)直接写出 c,m 的值; (2)求此二次函数的解析式 19 (10 分)如图,在ABC
7、 中,BAC90 (1)尺规作图:作出经过 A,B,C 三点的O (不写作法,保留作图痕迹) (2)连接 AO 并延长,交O 于点 D,连接 DB,DC 求证:BDCCAB; 将CAD 沿 AD 折叠,点 C 的对应点为 C,当ABC 时,四边形 ABCO 为菱形 20 (10 分)某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果经过两次降价后,价格为 8.1 元/斤,并且两次降价的百分率相同 (1)求该水果每次降价的百分率; (2) 从第二次降价的第 1 天算起, 第 x 天 (x 为整数) 的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示: 时间(天) x 销量(斤) 120 x 储藏和损耗费用(元)
8、3x264x+400 已知该水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元) ,求 y 与 x(1x10)之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大,最大利润是多少? 21 (10 分)小爱同学学习二次函数后,对函数 y(|x|1)2进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象请根据函数图象,回答下列问题: (1)观察探究: 写出该函数的一条性质: ; 方程(|x|1)21 的解为: ; 若方程(|x|1)2a 有四个实数根,则 a 的取值范围是 (2)延伸思考: 将函数 y(|x|1)2的图象经过怎样的平移可得到函数 y1(|x2|1)2+3 的图象?
9、写出平移过程,并直接写出当 2y13 时,自变量 x 的取值范围 22 (11 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+2ax4a+1 与平行于 x 轴的一条直线交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) (1)当点 A 的坐标为(3,1)时 点 B 的坐标为 ; 若抛物线上有两点(2,y1) (m,y2) ,且 y2y1,则 m 的取值范围是 ; (2) 抛物线的对称轴交直线 AB 于点 C, 如果直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 2,且抛物线顶点 D 到点 C的距离大于 4,求 a 的取值范围 23 (11 分)综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境: 某校学习
10、小组在探究学习过程中,将两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如图 1 所示位置放置,且 RtABC 的较短直角边 AB 为 2,现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 (090) ,如图 2,AE 与 BC 交于点 M,AC 与 EF 交于点 N,BC 与 EF 交于点 P (1)初步探究: 勤思小组的同学提出:当旋转角 时,AMC 是等腰三角形; (2)深入探究: 敏学小组的同学提出在旋转过程中如果连接 AP,CE,那么 AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线,请帮他们证明; (3)再探究: 在旋转过程中,当旋转角 30时,求ABC 与AFE 重叠的面积;
11、 (4)拓展延伸: 在旋转过程中,CPN 是否能成为直角三角形?若能,直接写出旋转角 的度数;若不能,说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的.) 1下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可 【解答】解:A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项符合题意; B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意; C、既不是中心对称图形,也不是轴对
12、称图形,故此选项不符合题意; D、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不符合题意 故选:A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转 180 度后与原图形重合解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心 2方程 x240 的根是( ) Ax2 Bx12,x22 Cx10,x22 Dx2 【分
13、析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解:x240, x24, x12,x22, 故选:B 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 3函数 yx2+2 与 yx21 的图象的不同之处是( ) A开口方向 B对称轴 C顶点 D形状 【分析】根据二次函数的性质,可以写出两个函数的相同之处和不同之处,即可解答本题 【解答】解:函数 yx2+2 与 yx21 的图象的对称轴都是 y 轴,开口都向下,形状一样,而函数 yx2+2 的顶点坐标为(0,2) ,函数 yx21 的顶
14、点坐标为(0,1) , 故选:C 【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答 4若方程 x22x+m0 没有实数根,则 m 的值可以是( ) A1 B0 C1 D 【分析】根据根的判别式和已知条件得出(2)241m44m0,求出不等式的解集,再得出答案即可 【解答】解:关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根, (2)241m44m0, 解得:m1, m 只能为, 故选:D 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式,注意:已知一元二次方程 ax2+bx+c0(a、b、c为常数,a0) ,当b24ac0 时,方程有两个不相等的实数根
15、,当b24ac0 时,方程有两个相等的实数根,当b24ac0 时,方程没有实数根 5如图,四边形 ABCD 内接于O,点 P 为边 AD 上任意一点(点 P 不与点 A,D 重合)连接 CP若B120,则APC 的度数可能为( ) A30 B45 C50 D65 【分析】由圆内接四边形的性质得D 度数为 60,再由APC 为PCD 的外角求解 【解答】解:四边形 ABCD 内接于O, B+D180, B120, D180B60, APC 为PCD 的外角, APCD,只有 D 满足题意 故选:D 【点评】本题考查圆内接四边形的性质,解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补 6如图,点 A,B,C
16、,D,E 在O 上,ABCD,AOB42,则CED( ) A48 B24 C22 D21 【分析】连接 OC、OD,可得AOBCOD42,由圆周角定理即可得CEDCOD21 【解答】解:连接 OC、OD, ABCD,AOB42, AOBCOD42, CEDCOD21 故选:D 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 7如图,在 66 的正方形网格中,ABC 绕某点旋转一定的角度,得到ABC,则旋转中心是点( ) AO BP CQ DM 【分析】根据旋转的性质,对应点到旋转
17、中心的距离相等,可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心 【解答】解:如图,连接 BB,AA可得其垂直平分线相交于点 P, 故旋转中心是 P 点 故选:B 【点评】本题考查了旋转的性质,对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心,熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键 8如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0) ,直线 ykx+12 与O 交于 B、C 两点,则弦 BC 长的最小值( ) A24 B10 C8 D25 【分析】易知直线 ykx+12 过定点 D(0,12) ,得 OD12,由条件可求出半径 OB,由于过圆内定点 D的所有弦中,与 OD 垂
18、直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题 【解答】解:对于直线 ykx+12,当 x0 时,y12, 故直线 ykx+12 恒经过点(0,12) ,记为点 D 由于过圆内定点 D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短, 如图 BCOD,连接 OB, OB13,OD12, 由勾股定理得:BD5, BC2BD10, 故选:B 【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识,发现直线恒经过定点 D(0,12)以及运用“过圆内定点 D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键 9定义:若两个函数图象与 x 轴有一个共同的交点,我们就称这两个函数为“共根函数” 如 y
19、x24 与y(x+1) (x2)的图象与 x 轴的共同交点为(2,0) ,那么这两个函数就是“共根函数” 若 y2x24x 与 yx23x+m1 为“共根函数” ,则 m 的值为( ) A1 B1 或 3 C1 或 2 D2 或 3 【分析】先求出 y2x24x 与 x 轴的交点坐标,分别代入函数 yx23x+m1 中,求出 m 的值即可 【解答】解:令 y2x24x0,则 x0 或 x2, 函数 y2x24x 与 x 轴的交点为(0,0) , (2,0) , 当两个函数同时过点(0,0)时,有 000+m1,解得 m1, 当两个函数同时过点(2,0)时,有 046+m1,解得 m3, 故选:
20、B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征,本题属于新定义类问题,解题关键是理解给出的定义,并对结果进行分类讨论 10如图,矩形 ABCD 的顶点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上,OAOB2,AD4,将矩形 ABCD 绕点 O顺时针旋转,每次旋转 90,则第 2022 次旋转结束时,点 C 的坐标为( ) A (6,4) B (6,4) C (4,6) D (4,6) 【分析】过点 C 作 CEy 轴于点 E,连接 OC,根据已知条件求出点 C 的坐标,再根据旋转的性质求出前 4 次旋转后点 C 的坐标,发现规律,进而求出第 2022 次旋转结束时,点 C 的坐
21、标 【解答】解:如图,过点 C 作 CEy 轴于点 E,连接 OC, OAOB2, ABOBAO45, ABC90, CBE45, BCAD4, CEBE4, OEOB+BE6, C(4,6) , 矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转,每次旋转 90, 则第 1 次旋转结束时,点 C 的坐标为(6,4) ; 则第 2 次旋转结束时,点 C 的坐标为(4,6) ; 则第 3 次旋转结束时,点 C 的坐标为(6,4) ; 则第 4 次旋转结束时,点 C 的坐标为(4,6) ; 发现规律:旋转 4 次一个循环, 20224505 2, 则第 2022 次旋转结束时,点 C 的坐标为(4,6) 故选:
22、C 【点评】本题考查图形的旋转,通过旋转角度找到旋转规律,从而确定第 2022 次旋转后矩形的位置是解题的关键 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若点 M(2x,3)与点 N(x2+1,3)关于原点对称,则 x 1 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,可得出关于 x 的方程,解出即可 【解答】解:点 M(2x,3)与点 N(x2+1,3)关于原点对称, 2x+(x2+1)0, 解得:x1 故答案为:1 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点,注意掌握两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反 12一个二次函数的对称轴为直线 x2
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