湖南省岳阳地区2023届高三上学期适应性考试数学试卷（含答案）

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1、岳阳地区2022级高三适应性考试数学试卷一单项选择题（每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项）1.已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.2.已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）A.4 B.2 C.0 D.3.中国青年志愿者协会成立于1994年12月5日，此后广大志愿者志愿服务组织不断蓬勃发展，目前高校青年志愿者组织就有132个.为了解某大学学生参加志愿者工作的情况，随机抽取某高校志愿者协会的40名成员，就他们2022年第2季度参加志愿服务的次数进行了统计，数据如表所示.则这40名学生本季度参加志愿活动的第40百分数位为（ ）次数7891011人数61

2、0987A.9 B.8. C.8.5 D.9.54.在平面直角坐标系中，“点在椭圆内”是“”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡锦铅磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）

3、A. B. C. D.6.已知正数，满足，则的大小关系为（ ）A. B.C. D.7.已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（ ）A. B. C.8 D.8.已知直三棱柱中，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）A. B. C. D.二多项选择题（每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选得0分）9.已知函数，则下列论述正确的是（ ）A.的定义域为B.为偶函数.C.是周期函数，且最小正周期为D.的解集为10.在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列判断正确的有（ ）A.面积的最大值为1B.的取值范围为C.若为

4、直径，则D.若直线过点.则点到直线距离的最大值为11.设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）A.的取值范围为B.的图象与直线在上的交点恰有2个C.的图象与直线在上的交点恰有1个D.在上单调递增12.在直四棱柱中中，为中点，点满足.下列结论正确的是（ ）A.若，则四面体的体积为定值.B.若平面，则的最小值为.C.若的外心为，则为定值2.D.若，则点的轨迹长度为.三填空题（每小题5分，共20分）13.已知的展开式中含项的系数为8，则实数_.14.已知拋物线，过焦点的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足为，若被轴平分，则直线的斜率为_.15.将正整数分解为两个正整数的积，即，当两数差的绝对值

5、最小时，我们称其为最优分解.如即为6的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为_.16.已知函数，若存在，使得成立，则的最小值为_.四解答题（共70分）17.（10分）已知中，内角所对的边分别为，且（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18.（12分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，又为与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）若，判断数列是否存在最大项和最小项，若存在，求的最大和最小项，不存在，请说明理由.18.（12分）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人

6、数比例为37.2%，城乡居民达到国民体质测定标准合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一

7、个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；类别年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计100临界值表：（2）将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，已知选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”从中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为年轻人的概率；设3人中既是“非年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.20.（12分）如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）（1）若，设平面面，求证：；（2）当平面与平面

8、夹角为，试确定点的位置.21.（12分）已知搶圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.（1）当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；（2）在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.22.（12分）已知（为自然对数的底数），（1）当时，若直线是与的公切线，求的方程；（2）若对于任意的，都有，求实数的取数范围.数学客观题答案一单项选择题（每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项）题号12345678答案ACCCBDBC二多项选择

9、题（每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选得0分）题号9101112答案BDABDABABD岳阳地区2020级高三适应性考试数学主观题答案三填空题（每小题5分，共20分）13.3 14. 15. 16.四解答题（共70分）17.解析：（1）由题知：由正弦定理可化为：即由余弦定理知故（2）由题知为锐角三角型且则即则又由正弦定理又则故18.解：（1）由题知：，且为等差数列，设公差为故即，故又即解得故（2）由题知中：则有故（3）由题知：，故，令，则，故又，当时，单调递增故又，且故综合得，数列的最小项为，最大项为19解析（1）非全列联表为类别年轻人非年

10、轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设，是否为“健身达人”与年龄无关.所以，依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关（2）设事件为：该人为年轻人事件为：该人为健身达人故此人为“非年轻人”的概率为则由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，故X的分布列：0123的数学期望值20.解析：（1）由题知，面面为底面圆的直径，.面面，又面面，在中，由射影定理知：故MN面面面，又面面（2）由（1）知，以为原点为轴正方向以过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设则设设平面的法向量为则，即令，则，即为平面的一个法向量又平面的一个法向量设平面与平面的夹角为，则解

11、得or，其中时，重合，不符合厦意.即当平面与平面夹角为时，为中点.21.解析（1）设C点坐标为，由对称轴知又故点在椭圆上，故代入得又周长当且仅当三点共线时，可取到“=”，故综合知故所求椭圆方程为（2）由题知，直线PQ斜率不为0，设为联立得，且点坐标为，故令则同理且又以为直径的圆过点，即即：即：即：代入化简得：解得：or时，过不合题意时，直线过满足意即过定点22.解析：（1）设与的切点又又切线方程为：即设与切点为切线方程为：即由题知，都是1的方程，则有消去得即解得或当时切线方程为当时切线方程为停止，直线的方程为或（2）要使即令h易知在单调递增且时时故必有，使，此时则当时单调递减；当时单调递增.故又，即令故在要使则又在上单调递增故