湖南省长沙市开福区五校联考2022-2023学年八年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、湖南省长沙市开福区湖南省长沙市开福区五校联考八年级五校联考八年级上第一次月考数学试卷上第一次月考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A有症状早就医 B防控疫情我们在一起 C打喷嚏捂口鼻 D勤洗手勤通风 2 （3 分）下列运算的结果为 a6的是（ ） Aa3+a3 B （a3）3 Ca3a3 Da12a2 3 （3 分）点 A（3，5）向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B（ ） A （1，8） B （1，2）

2、C （6，1） D （0，1） 4 （3 分）为了解某中学八年级 600 名学生的身高情况，抽查了其中 100 名学生的身高进行统计分析下面叙述正确的是（ ） A以上调查属于全面调查 B每名学生是总体的一个个体 C100 名学生的身高是总体的一个样本 D600 名学生是总体 5 （3 分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 40方向，那么从乙船看甲船（ ） A南偏西 40方向 B南编西 50方向 C南偏东 40方向 D南东 50方向 6 （3 分）如果（x2） （x+1）x2+mx+n 恒成立，那么 mn 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 7 （3 分）如图，ABC 中，AD 是BAC

3、的平分线，若 DE6，CE5（ ） A11 B12 C13 D14 8 （3 分）下列命题中，真命题有（ ） 若 ac，bc，则 ab； 两直线平行，同旁内角相等； 对顶角相等； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角大于它的内角 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 9 （3 分）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 10（3 分） 已知ABC 三边长分别为 3、 a、 7 （a 为整数） ， 且关于 x 的不等式组 无解 （ ） A17 B26 C27 D30 二二.填空题（共填空题（共 6 小题）小题）

4、11 （3 分）2 的算术平方根是 12 （3 分）五边形的内角和为 13 （3 分）计算： （8a3b4ab2）4ab 14 （3 分）用“”定义一种新运算：对于任意有理数 a、b，都有 ababa2，则（3）2 15 （3 分）如图，已知ABC 为等边三角形，BD 为ABC 中线，使 CECD，连接 DE 度 16（3分） 如图， 在ABC中， ACB90， 在直线BC或AC上取一点P， 使得PAB为等腰三角形 个 三三.解答题（共解答题（共 9 小题）小题） 17计算： （1）0+3+|1 18先化简，再求值： （x+2）2+（2x+1） （2x1）4x（x+1） ，其中 x1 19甲、

5、乙二人共同计算一道整式乘法： （2x+a） （3x+b） ，由于甲抄错为（2xa） （3x+b） ，得到的结果为6x2+11x10；而乙抄错为（2x+a） （x+b） ，得到的结果为 2x29x+10 （1）你能否知道式子中的 a，b 的值各是多少？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确答案 20为了了解某校在“停课不停学”期间七年级学生的数学学习情况，该校从 450 名七年级学生中随机抽取了一些学生进行了摸底测试， 满分为 100 分 测试后将成绩整理后分成 6 个小组 （成绩得分均为整数） ： 组别 成绩分组 频数 百分比 1 39.549.5 2 4% 2 49.559.5 2 4% 3

6、59.569.5 8 a% 4 69.579.5 b c% 5 79.589.5 18 36% 6 89.599.5 8 a% 合计 m 100% 结合图表格提供的信息，回答下列问题： （1）频数分布表中，a ，b ，本次抽样调查的样本容量是 （2）补全频数分布直方图 （3）若成绩在 90 分以上（含 90 分）为优秀，估计该校本次数学摸底测试成绩优秀的学生人数 21如图，ABC 中，ABAC，D，F 分别是三边上，且 BECD （1）求证：BDECFD （2）若EDF50，求A 的度数 22某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具 3 个和乙种毛绒玩具 2 个共需 310

7、元；若购进甲种毛绒玩具 5 个和乙种毛绒玩具 6 个共需 730 元 （1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？ （2）若该礼品店每销售 1 个甲种毛绒玩具可获利 15 元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利 20 元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共 50 个全部售出后，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？ 23如图，在ABC 中，A，CO 平分ACB，过点 O 作 BC 的平行线与 AB，N若 AB5，AC6 （1）求BOC 的度数（用含 的代数式表示） ； （2）求AMN 的周长 24阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积 （1）图 2 是由图 1 提供

8、的几何图形拼接而得，可以得到（a+b） （a+2b） ； （2） 利用图 1 所给的纸片拼出一个长方形图形的面积为 （2a+b）（a+b） ， 解决下面的问题： 若 4a2+6ab+2b260，a+b5，求 2a+b 的值 （3）用图 1 中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张边长分别为 a（4a+7b） （6a+5b）长方形，求 x+y+z 的值 25在平面直角坐标系中，已知点 B 在 y 轴上，点 A 在第一象限，ABBOm（m2） （1）若点 C 从点 O 出发，向 x 轴正半轴上运动，点 D 从点 B 出发，C、D 两点同时出发， 如图 1，连接 BC，连接

9、 AD，ADBC 时，求 BD 的长度； 如图 2，连接 AC，若 D 为 BO 中点时，求证：ACBC； （2）如图 3，点 N 在 x 轴的负半轴，连接 BN，BFAD，垂足为点 F，AD 的延长线交 BN 于点 E，P 为OD 上一动点，PE+PN 取最小值，求此时 PD 的长（用含 m 的式子表示） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，博才实验中学积极普及科学防控知识，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A有症状早就医 B防控疫情我们在一起 C打喷嚏捂口鼻 D勤洗手勤通

10、风 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形 故选：B 【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合 2 （3 分）下列运算的结果为 a6的是（ ） Aa3+a3 B （a3）3 Ca3a3 Da12a2 【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则进行计算即可 【解答】

11、解：A、a3+a38a3，故本选项错误； B、 （a3）8a9，故本选项错误； C、a3a8a6，故本选项正确； D、a12a2a10，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则是解答此题的关键 3 （3 分）点 A（3，5）向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B（ ） A （1，8） B （1，2） C （6，1） D （0，1） 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可 【解答】解：点 A（3，5）向上平移 5 个单位，坐标变化为（33；则点 B 的坐标为（8 故选：C 【点评】本题考查点坐标的平移变换

12、关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变平移中，对应点的对应坐标的差相等 4 （3 分）为了解某中学八年级 600 名学生的身高情况，抽查了其中 100 名学生的身高进行统计分析下面叙述正确的是（ ） A以上调查属于全面调查 B每名学生是总体的一个个体 C100 名学生的身高是总体的一个样本 D600 名学生是总体 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象从而找出总体、个体再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最

13、后再根据样本确定出样本容量 【解答】解：A、以上调查属于抽样调查； B、每名学生的身高情况是总体的一个个体； C、100 名学生的身高是总体的一个样本； D、600 名学生的身高情况是总体； 故选：C 【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位 5 （3 分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 40方向，那么从乙船看甲船（ ） A南偏西 40方向 B南编西 50方向 C南偏东 40方向 D南东 50方向 【分析】根据题意画出图形，进而

14、分析得出从乙船看甲船的方向 【解答】解：从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 40方向， 从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西 40方向 故选：A 【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西 6 （3 分）如果（x2） （x+1）x2+mx+n 恒成立，那么 mn 的值为（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】先利用多项式乘多项式法则，计算（x2） （x+1） ，再根据计算结果得结论 【解答】解：（x2） （x+1）x3x2， （x2） （x+3）x2+mx+n， x2x3x2+mx+n m1，n3 mn1（2） 3+2 1 故选：A 【点

15、评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键 7 （3 分）如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，若 DE6，CE5（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】先根据角平分线的性质得出BADCAD，再根据平行线的性质得出CADADE，故可得出 AEDE6，再根据 ACAE+CE 即可得出结论 【解答】解：ABC 中，AD 是BAC 的平分线， BADCAD， DEAB，DE6， CADADE， AEDE6， ACAE+CE2+511 故选：A 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 8 （3 分）下列命题中，真命

16、题有（ ） 若 ac，bc，则 ab； 两直线平行，同旁内角相等； 对顶角相等； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角大于它的内角 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据平行线的性质、对顶角的概念、三角形外角性质等逐个判断即可 【解答】解：对于：平行于同一直线的两直线平行，故正确； 对于：两直线平行，同旁内角互补； 对于：对顶角相等，故正确； 对于：当该点在已知直线上时，过这点不存在与已知直线平行的直线； 对于：三角形的外角也可能等于它的外角，此时三角形为直角三角形； 故选：A 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质等，属于基础题，记牢各性质即可 9

17、（3 分）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 【分析】由画法得 OCOD，PCPD，加上公共边 OOP，则可根据“SSS”可判定OCPODP，然后根据全等三角形的性质可判定 OP 为AOB 的平分线 【解答】解：由画法得 OCOD，PCPD， 而 OPOP， 所以OCPODP（SSS） ， 所以COPDOP， 即 OP 平分AOB 故选：D 【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 10（3 分） 已知ABC 三边长分别为 3、 a

18、、 7 （a 为整数） ， 且关于 x 的不等式组 无解 （ ） A17 B26 C27 D30 【分析】 直接利用三角形三边关系得出 a 的取值范围， 再解不等式组得出 a 的取值范围， 进而得出答案 【解答】解：ABC 三边长分别为 3、a、7（a 为整数） ， 83a3+8， 即 4a10， 关于 x 的不等式组 无解， 整理得无解， 则 4+a10， 解得：a8， 故 a5，7，7，8， 则满足所有条件的 a 的和为：2+6+7+226 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及一元一次不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键 二二.填空题（共填空题（共 6 小题）小题） 11

19、 （3 分）2 的算术平方根是 【分析】根据算术平方根的定义直接解答即可 【解答】解：2 的平方根是， 5 的算术平方根是 故答案为： 【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根 12 （3 分）五边形的内角和为 540 【分析】根据多边形的内角和公式（n2） 180计算即可 【解答】解： （52） 180540 故答案为：540 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题 13 （3 分）计算： （8a3b4ab2）4ab 2a2b 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解： （8a3b5ab2）（4ab） 7

20、a3b4ab2ab24ab 4a2b 故答案为：2a2b 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 14 （3 分） 用 “” 定义一种新运算： 对于任意有理数 a、 b， 都有 ababa2， 则 （3） 2 15 【分析】根据 ababa2，可以求得所求式子的值 【解答】解：ababa2， （3）2 （3）2（3）2 （6）4 15， 故答案为：15 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是会用新定义解答问题 15 （3 分）如图，已知ABC 为等边三角形，BD 为ABC 中线，使 CECD，连接 DE 120 度 【分析】由ABC 为等边三角形，可求

21、出BDC90，由DCE 是等腰三角形及三角形外角性质求出CDECED30，即可求出BDE 的度数 【解答】解：ABC 为等边三角形，BD 为ABC 中线， BDAC，ACB60， BDC90， CECD， CDEE， ACBE+CDE， CDE30， BDEBDC+CDE90+30120， 故答案为：120 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 为等腰三角形 6 个 【分析】根据等腰三角形的判定， “在同一三角形中，有两条边相

22、等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角） ”分三种情况解答即可 【解答】解：如图， AB 的垂直平分线交 AC 一点 P1（PAPB） ，交直线 BC 于点 P2； 以 A 为圆心，AB 为半径画圆6，P4，交 BC 有一点 P2， （此时 ABAP） ； 以 B 为圆心，BA 为半径画圆7，P2，交 AC 有一点 P6（此时 BPBA） 故符合条件的点有 2 个 故答案为：6 【点评】 本题考查了等腰三角形的判定； 构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏 三三.解答题（共解答题（共 9 小题）小题） 17计算： （1）0+3+|1

23、【分析】先算乘方和开方，再化简绝对值，最后算加减 【解答】解：原式1+37+1 1+51+8 2 【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义和实数的运算法则是解决本题的关键 18先化简，再求值： （x+2）2+（2x+1） （2x1）4x（x+1） ，其中 x1 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把 x 的值代入化简后的式子进行计算即可解答 【解答】解： （x+2）2+（6x+1） （2x3）4x（x+1） x7+4x+4+2x216x24x x3+3， 当 x1 时，原式32+3 2+3 4 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键 19甲、乙二人共同

24、计算一道整式乘法： （2x+a） （3x+b） ，由于甲抄错为（2xa） （3x+b） ，得到的结果为6x2+11x10；而乙抄错为（2x+a） （x+b） ，得到的结果为 2x29x+10 （1）你能否知道式子中的 a，b 的值各是多少？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确答案 【分析】 （1）先按乙错误的说法得出的系数的数值求出 a，b 的值； （2）把 a，b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果 【解答】解： （1）甲得到的算式： （2xa） （3x+b）7x2+（2b7）xab6x2+11x10； 3b3a11，ab10， 乙得到的算式： （2x+a） （x+b）7x2+（2b+a）x

25、+ab7x29x+10， 6b+a9，ab10， ， 解得：； （2）由（1）得： （2x4） （3x2）5x219x+10 【点评】 本题主要考查了多项式乘多项式； 解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心 20为了了解某校在“停课不停学”期间七年级学生的数学学习情况，该校从 450 名七年级学生中随机抽取了一些学生进行了摸底测试， 满分为 100 分 测试后将成绩整理后分成 6 个小组 （成绩得分均为整数） ： 组别 成绩分组 频数 百分比 1 39.549.5 2 4% 2 49.559.5 2 4% 3 59.569.5 8 a% 4 69.579

26、.5 b c% 5 79.589.5 18 36% 6 89.599.5 8 a% 合计 m 100% 结合图表格提供的信息，回答下列问题： （1）频数分布表中，a 16 ，b 12 ，本次抽样调查的样本容量是 50 （2）补全频数分布直方图 （3）若成绩在 90 分以上（含 90 分）为优秀，估计该校本次数学摸底测试成绩优秀的学生人数 【分析】 （1）根据第一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽样调查的样本容量，然后即可计算出a 和 b 的值； （2）根据（1）中 b 的值，即可将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校本次数学摸底测试成绩优秀的学生人数 【解

27、答】解： （1）本次抽样调查的样本容量是 24%50， a%450100%16%， b5022518812， 故答案为：16，12； （2）由（1）知，b12， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）45016%72（人） ， 即该校本次数学摸底测试成绩优秀的学生有 72 人 【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 21如图，ABC 中，ABAC，D，F 分别是三边上，且 BECD （1）求证：BDECFD （2）若EDF50，求A 的度数 【分析】（1） 由等边对等角可得出BDECFD， 结合BECD， CFBD可证出B

28、DECFD （SAS） ； （2）由BDECFD 可得出BDECFD，由EDF50利用三角形内角和定理可得出BDE+FDC130，进而可得出CFD+FDC130，利用三角形内角和和定理可求出C 的度数，结合BC 可得出B 的度数，再利用三角形内角和定理可求出A 的度数 【解答】 （1）证明：ABAC， BC 在BDE 和CFD 中， BDECFD（SAS） （2）解：BDECFD， BDECFD EDF50， BDE+FDC130， CFD+FDC130， C180CFDFDC50， B+C2C100， A180BC80 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形

29、内角和定理，解题的关键是： （1）利用全等三角形的判定定理 SAS 证出BDECFD； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出A 的度数 22某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具 3 个和乙种毛绒玩具 2 个共需 310元；若购进甲种毛绒玩具 5 个和乙种毛绒玩具 6 个共需 730 元 （1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？ （2）若该礼品店每销售 1 个甲种毛绒玩具可获利 15 元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利 20 元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共 50 个全部售出后，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？ 【分析】 （1）设甲种毛绒玩

30、具每个 x 元，乙种毛绒玩具每个 y 元，根据购进甲种毛绒玩具 3 个和乙种毛绒玩具 2 个共需 310 元；若购进甲种毛绒玩具 5 个和乙种毛绒玩具 6 个共需 730 元解答即可； （2）根据题意表示出所得利润，进而得出不等式求出即可 【解答】解： （1）设甲种毛绒玩具每个 x 元，乙种毛绒玩具每个 y 元，得：， 解得：， 答：甲种毛绒玩具每个 50 元，乙种毛绒玩具每个 80 元； （2）设甲种毛绒玩具购进 m 个， 根据题意，得：15m+20（50m）800， 解得：m40， 答：甲种毛绒玩具最多购进 40 个 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据

31、题意得出总的进货费用是解题关键 23如图，在ABC 中，A，CO 平分ACB，过点 O 作 BC 的平行线与 AB，N若 AB5，AC6 （1）求BOC 的度数（用含 的代数式表示） ； （2）求AMN 的周长 【分析】 （1）根据三角形的内角和为 180及角平分线的定义即可得出答案； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得MBO 和CNO 都是等腰三角形，从而可得 MBMO，NONC，进而可得 CAMNAB+AC，进行计算即可解答 【解答】解： （1）A+ABC+ACB180， ABC+ACB180A180， BO 平分ABC，CO 平分ACB， OBC+OCBABC+（ABC+ACB）

32、， BOC180（OBC+OCB）90+； （2）解：BO 平分ABC， ABOCBO， MNBC， MOBCBO， ABOMOB， MOBM， 同理可得，NONC， AM+MN+ANAM+MO+ON+ANAM+BM+AN+NCAB+AC， AB5，AC6， AB+AC11， AMN 的周长为 11 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 24阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积 （1）图 2 是由图 1 提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b） （a+2b） a+3ab+2b ； （2） 利用图

33、 1 所给的纸片拼出一个长方形图形的面积为 （2a+b）（a+b） ， 解决下面的问题： 若 4a2+6ab+2b260，a+b5，求 2a+b 的值 （3）用图 1 中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张边长分别为 a（4a+7b） （6a+5b）长方形，求 x+y+z 的值 【分析】 （1）根据图 1 的面积的另一种算法求解； （2）先根据长方形图形的一边为（2a+b） ，另一边为（a+b）画图，再把所求的代数式分解因式，整体代入求解； （3）先用多项式乘以多项式求出 x，y，z 的值，再代入求解 【解答】解： （1） （a+b） （a+2b）a+3ab+4b，

34、 故答案为：a+3ab+2b； （2）拼成的图形如下： 8a2+6ab+4b22（3a+b） （a+b）60，a+b5， 2a+b60656； （3）（3a+7b） （6a+2b）24a+62ab+35b， x24，z62， x+y+z24+35+62121 【点评】本题考查了整式的除法乘法及因式分解，数形结合是解题的关键 25在平面直角坐标系中，已知点 B 在 y 轴上，点 A 在第一象限，ABBOm（m2） （1）若点 C 从点 O 出发，向 x 轴正半轴上运动，点 D 从点 B 出发，C、D 两点同时出发， 如图 1，连接 BC，连接 AD，ADBC 时，求 BD 的长度； 如图 2，连

35、接 AC，若 D 为 BO 中点时，求证：ACBC； （2）如图 3，点 N 在 x 轴的负半轴，连接 BN，BFAD，垂足为点 F，AD 的延长线交 BN 于点 E，P 为OD 上一动点，PE+PN 取最小值，求此时 PD 的长（用含 m 的式子表示） 【分析】 （1）证明ABDBOC，根据全等三角形的性质得到 BDOC1； 过点 A 作 AGx 轴于 G，由的结论得到 BDOC，证明BOCAGC，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长 BF 交 x 轴于 H，连接 EH 交 OB 于 P，连接 PN，证明PHO45，得到 OPOH，由（1）得到ABDBOH，证明 OHBD1，结合图形计

36、算，得到答案 【解答】 （1）解：ABBO， BAD+ADB90， ADBC， CBO+ADB90， BADCBO， 在ABD 和BOC 中， ， ABDBOC（ASA） ， BDOC1； 证明：如图 2，过点 A 作 AGx 轴于 G， 则四边形 ABOG 为矩形， ABBC， 矩形 ABOG 为正方形， BOOGAG， 由可知，ABDBOC， BDOC， D 为 BO 中点， OCCG， 在BOC 和AGC 中， ， BOCAGC（SAS） ， ACBC； （2）解：延长 BF 交 x 轴于 H，连接 EH 交 OB 于 P， 则 PE+PN 取最小值， NBOHBO，BONH， BO 为 NH 的垂直平分线， PNPH， EPN90， HPN90， PHO45， OPOH， 由（1）可知，ABDBOH， OHBD4， OP1， PDOBBDOPm2 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称最短路径问题以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理、根据轴对称的性质确定点 P 的位置是解题的关键