安徽省合肥市蜀山区二校联考2022-2023学年九年级上学期数学质量检测试卷（含答案解析）

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1、安徽省合肥市蜀山区二校联考九年级上学期数学质量检测试卷安徽省合肥市蜀山区二校联考九年级上学期数学质量检测试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1已知三个数 1，2，4，若添一个数使得四个数成比例，这个数可以是（ ） A8 B8 C3 D3 2若 y（a+1）x|a+3|x+3 是关于 x 的二次函数，则 a 的值是（ ） A1 B5 C1 D5 或1 3在等式中，b 为（ ） A8 B4 C16 D不确定 4如图，DEBC，EFAB，若 AD3，BD4，CF2，则 BF 的长为（ ） A B2 C D3 5函数 yax+1 与 y

2、ax2+ax+1（a0）的图象可能是（ ） 6已知，则下列等式中不成立的是（ ） A B C D 7如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AEEB，S1表示 AE 为边长的正方形面积，S2表示以 BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S3表示正方形 ABCD 除去 S1和 S2剩余的面积，S3：S2的值为（ ） A B C D 8使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位：度）近似满足函数关系式 yax2+bx+c（a0） ，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型

3、和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ）度 A36 B45 C50 D42 9如图，在平面直角坐标系中，点 P（2，4） 、Q（s，t）在函数的图象上，当 s2 时，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A、B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 C、D，QD交 PA 于点 E，随着 s 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ） A逐渐增大 B逐渐减小 C先减小后增大 D先增大后减小 10直线 y2x+5 分别与 x 轴，y 轴交于点 C、D，与反比例函数的图象交于点 A、B过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F

4、，连接 EF，下列结论：ADBC；EFAB；四边形 AEFC是平行四边形；SAODSBOC其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11汽车刹车后行驶的距离 s（单位：m）关于行驶的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s15t6t2，则汽车刹车后前进了 m 停下来 12如图，平行四边形 OABC 的边 04 在 x 轴上，顶点 C 在反比例函数 y的图象上，BC 与 y 轴相交于点D，且 D 为 BC 的中点，若平行四边形 OABC 的面积为 6，则 k 13如图，抛物线 yax22ax+3 与

5、 y 轴交于点 C，则不等式 ax22ax0 的解集是 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0） ，B（0，1） ，形状相同的抛物线n（n1，2，3，4，）的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2，3，5，8，13，那么这些抛物线称为“美丽抛物线” ，根据上述规律，抛物线 C10的顶点坐标为 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （8 分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴： （1）y3x26x+4； （2）yx2+2x+ 16 （8 分）已知抛物线 yx22x2 （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线 （2

6、）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标 （3）直接写出当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而减小？ （4）直接写出当 x 取什么值时，y1？ 17 （8 分）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量 V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间的函数关系如图所示 （1）该蓄水池的蓄水量为 m3； （2） 如果每小时排水量不超过 2000m3，那么排完水池中的水所用的时间 t（h） 满足的条件是 ； （3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前 2 小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少 m3？ 18 （8 分）如图，ACEF

7、BD （1）求证：+； （2）若 AC3，EF2，求 BD 的值 19 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 和反比例函数的图象都经过点 A（3，m） ，B（n，3） （1）求 n 的值和一次函数的表达式； （2）不等式的解集是 20 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx 的图象与二次函数 yx2+bx （b 为常数）的图象相交于 O，A 两点，点 A 坐标为（3，m） （1）求 m 的值以及二次函数的表达式； （2）若点 P 为抛物线的顶点，连结 OP，AP，求POA 的面积 21 （12 分）某公司的商品进价每件 60 元，售价每件 13

8、0 元，为了支持“抗新冠肺炎” ，每销售一件捐款 4元 且未来 30 天， 该商品将开展每天降价 1 元” 的促销活动， 即从第一天起每天的单价均比前一天降 1 元，市场调查发现，设第 x 天（1x30 且 x 为整数）的销量为 y 件，y 与 x 满足一次函数关系，其对应数据如表： （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）在这 30 天内，哪一天去掉捐款后的利润是 6235 元？ （3） 设第 x 天去掉捐款后的利润为 W 元， 试求出 W 与 x 之间的函数关系式， 并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？ 22 （12 分）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线

9、段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图，在ABC 中，AD 平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程 （1）证明：如图，过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分 （2）你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。 23 （14 分）如图，已知抛物线的顶点 M（0，4） ，与 x 轴交于 A（2，0） 、B 两点， （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 C（0，2） ，P 为抛物线上一点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于 Q（P 在 Q 上方） ，再过点 P 作 PRx

10、 轴交直线 BC 于点 R，若PQR 的面积为 2，求 P 点坐标； （3）如图 2，在抛物线上是否存在一点 D，使MAD45，若存在，求出 D 点坐标，若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1已知三个数 1，2，4，若添一个数使得四个数成比例，这个数可以是（ ） A8 B8 C3 D3 【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段 【解答】解：设添加的数是 x， 根据题意得，241x 或 142x， 解得：x8 或 x2， 故选：A 2若 y（a+1）x|a+3|x+3 是关于 x 的

11、二次函数，则 a 的值是（ ） A1 B5 C1 D5 或1 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|2 且 a+10，求解即可 【解答】解：函数 y（a+1）x|a+3|x+3 是关于 x 的二次函数， |a+3|2 且 a+10， 解得 a5， 故选：B 3在等式中，b 为（ ） A8 B4 C16 D不确定 【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答 【解答】解：， a4， ， b4a16， 故选：C 4如图，DEBC，EFAB，若 AD3，BD4，CF2，则 BF 的长为（ ） A B2 C D3 【分析】平行于ABC 的 BC 边的直线 DE，截其他两边所得的对应线段成比例 【解答】解：

12、DEBC，EFAB， ， ， AD3，BD4，CF2， ，即 BF 故选：A 5函数 yax+1 与 yax2+ax+1（a0）的图象可能是（ ） 【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断 【解答】解：由函数 yax+1 与抛物线 yax2+ax+1 可知两函数图象交 y 轴上同一点（0，1） ，抛物线的对称轴为直线 x，在 y 轴的左侧， A、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，故选项不合题意； B、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，故选项不合题意； C、 由一次函数的图象可知 a0， 由二次函数的图象知道 a0， 且交于 y 轴上同一点， 故选项符合题意； D、由一次

13、函数的图象可知 a0，由二次函数的图象知道 a0，故选项不合题意； 故选：C 6已知，则下列等式中不成立的是（ ） A B C D 【分析】直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案 【解答】解：A、， ，成立； B、， ad2bdcb2bd， abbc， 等式成立； C、， cbcaadac， bcad， 等式成立； D、， ad+bdbc+c2， 等式不成立； 故选：D 7如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AEEB，S1表示 AE 为边长的正方形面积，S2表示以 BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S3表示正方形 ABCD 除去 S1和 S2剩

14、余的面积，S3：S2的值为（ ） A B C D 【分析】设 ABa，根据黄金比值用 a 表示出 AE、BE，根据矩形的面积公式计算，得到答案 【解答】解：设 ABa， 点 E 是边 AB 边上的黄金分割点，AEEB， AEABa， 则 BEABAEaaa， S3：S2， 故选：C 8使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位：度）近似满足函数关系式 yax2+bx+c（a0） ，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ）度

15、 A36 B45 C50 D42 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称 x 的取值范围，从而可以解答本题 【解答】解：由图象可知，物线开口向上， 从 18 和 72 两个点可以看出对称轴 x， 所以最终对称轴的范围是 36x45， 即对称轴位于直线 x36 与直线 x45 之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为 42 故选：D 9如图，在平面直角坐标系中，点 P（2，4） 、Q（s，t）在函数的图象上，当 s2 时，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A、B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 C、D，QD交 PA 于点 E，随着

16、s 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ） A逐渐增大 B逐渐减小 C先减小后增大 D先增大后减小 【分析】首先利用 s 和 t 表示出 AC 和 CQ 的长，则四边形 ACQE 的面积即可利用 s、t 表示，然后根据函数的性质判断 【解答】解：ACs2，CQt， 则 S四边形ACQEACCQ（s2）tst2t P（2，4） 、Q（s，t）在函数的图象上， stk8（常数） S四边形ACQEACCQ82t， 当 s2 时，t 随 s 的增大而减小， S四边形ACQE82t 随 s 的增大而增大 故选：A 10直线 y2x+5 分别与 x 轴，y 轴交于点 C、D，与反比例函数的图象交于点 A、

17、B过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，连接 EF，下列结论：ADBC；EFAB；四边形 AEFC是平行四边形；SAODSBOC其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】先把反比例函数、一次函数解析式联合组成方程组，解可求 A、B 坐标，根据 y2x+5 可求 C、D 的坐标，而 AEy 轴，BFx 轴，结合 A、B、C、D 的坐标，可知 AE1，DEODOE532，在 RtADE 中利用勾股定理可求 AD，同理可求 BC，于是 ADBC，正确； 根据 A、B、C、D 的坐标，易求 OF：OE1：2，OC：OD1：2，即 OF：OEOC：OD，斜率相

18、等的两直线平行，那么 EFAB，故正确； 由于 AECF1，且 AECF，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，可知四边形 AEFC是平行四边形，故正确； 根据面积公式可分别求 SAOD，SBOC，可知两个面积相等，故正确 【解答】解：如右图所示， y2x+5 与相交， ， 解得或， A 点坐标是（1，3） ，B 点坐标是（，2） ， 直线 y2x+5 与 x 轴和 y 轴的交点分别是（，0） 、 （0，5） ， C 点坐标是（，0） ，D 点坐标是（0，5） ， AEy 轴，BFx 轴， AE1，DEODOE532， 在 RtADE 中，AD， 同理可求 BC， 故 ADBC， 故选项

19、正确； OF：OE1：2，OC：OD1：2， EFAB， 故选项正确； AECF1，且 AECF， 四边形 AEFC 是平行四边形， 故选项正确； SAODODAE512.5， SBOCOCBF22.5， SAODSBOC， 故选项正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11汽车刹车后行驶的距离 s（单位：m）关于行驶的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s15t6t2，则汽车刹车后前进了 m 停下来 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出 s 的最大值即可得出结论 【解答】解：s15t6t26（t）2+， 60， 当 t时，s 有最大值，最大值

20、为， 汽车刹车后到停下来前进了m 故答案为： 12如图，平行四边形 OABC 的边 04 在 x 轴上，顶点 C 在反比例函数 y的图象上，BC 与 y 轴相交于点D，且 D 为 BC 的中点，若平行四边形 OABC 的面积为 8，则 k 4 【分析】由 D 为 BC 的中点，平行四边形 OABC 的面积为 8，可得OCD 的面积为平行四边形 OABC 的面积的，再根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求出答案 【解答】解：D 为 BC 的中点，平行四边形 OABC 的面积为 6， OCD 的面积为 61.5， |k|1.5， k0， k3 故答案为：3 13如图，抛物线 yax22ax+3

21、与 y 轴交于点 C，则不等式 ax22ax0 的解集是 0 x2 【分析】由图象可得 a0，根据抛物线 yax22ax 与 x 轴的交点坐标求解 【解答】解：由抛物线开口向下可得 a0， 设 yax22axax（x2） ， 则 x0 或 x2 时，y0， 抛物线 yax22ax 开口向下，与 x 轴交点坐标为（0，0） ， （2，0） ， 0 x2 时，y0， 即不等式 ax22ax0 的解集是 0 x2， 故答案为：0 x2 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0） ，B（0，1） ，形状相同的抛物线n（n1，2，3，4，）的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐

22、标依次为 2，3，5，8，13，那么这些抛物线称为“美丽抛物线” ，根据上述规律，抛物线 C10的顶点坐标为 （144，49） 【分析】根据 A（3，0） ，B（0，1）的坐标求直线 AB 的解析式为 yx+1，因为顶点 C2的在直线AB 上， C2坐标可求； 根据横坐标的变化规律可知， C10的横坐标为 144， 代入直线 AB 的解析式 yx+1中，可求纵坐标 【解答】解：设直线 AB 的解析式为 ykx+b 则， 解得： 故直线 AB 的解析式为 yx+1， 对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 每个数都是前两个数的和， 抛物线 C1

23、0的顶点坐标的横坐标为：144， 则纵坐标为：144+149， 抛物线 C10的顶点坐标为（144，49） ， 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （8 分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴： （1）y3x26x+4； （2）yx2+2x+ 【分析】 （1） 将题目中的函数解析式化为顶点式， 即可写出该函数图象的开口方向、 顶点坐标和对称轴； （2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 【解答】解：（1）y3x26x+43（x1）2+1， 该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1） ，对称轴为直线 x

24、1； （2）yx2+2x+（x2）2+， 该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2，） ，对称轴为直线 x2 16 （8 分）已知抛物线 yx22x2 （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线 （2）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标 （3）直接写出当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而减小？ （4）直接写出当 x 取什么值时，y1？ 【分析】 （1）列表、描点，连线，在坐标系内画出函数图象即可； （2）由（1）可得出结论； （3）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （4）直接根据函数图象可得出结论 【解答】解：（1）列表： x 1 0 1 2 3 y 1 2 3 2 1 描点、连线画出函数图象

25、如图； （2）抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，3） ； （3）由函数图象可知，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小； （4）由函数图象可知，当 x1 或 x3 时，y1 17 （8 分）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量 V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间的函数关系如图所示 （1）该蓄水池的蓄水量为 18000 m3； （2） 如果每小时排水量不超过 2000m3， 那么排完水池中的水所用的时间 t （h） 满足的条件是 t9 ； （3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前 2 小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计

26、划每小时的排水量是多少 m3？ 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把 V2000 代入 V，得 t9，由 V 随 t 的增大而减小，即可求出 t 的范围； （3）设原计划每小时的排水量为 xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，根据题意列方程即可求出答案 【解答】解： （1）根据题意得每小时的排水量 V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间成反比例函数关系， 设函数表达式为 V，把（6，3000）代入 V， 得 3000 解得：k18000，所以 V 与 t 之间的函数表达式为：V； 蓄水池的蓄水量为 18000m3， 故答案为：18

27、000 （2）把 V2000 代入 V，得 t9， V 随 t 的增大而减小， 每小时排水量不超过 2000m3，那么排完水池中的水所用的时间 t（h）满足的条件是 t9 故答案为：t9 （3）设原计划每小时的排水量为 xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3， 2， 解得 x1800 答：原计划每小时的排水量是 1800m3 18 （8 分）如图，ACEFBD （1）求证：+； （2）若 AC3，EF2，求 BD 的值 【分析】（1） 根据平行线分线段成比例定理， 由 EFBD 得到， 由 EFAC 得到，然后把+后变形即可得到结论； （2）利用（1）中的结论进行计算 【解答】 （

28、1）证明：EFBD， ， EFAC， ， +得+1， +； （2）+， +， BD6 19 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 和反比例函数的图象都经过点 A（3，m） ，B（n，3） （1）求 n 的值和一次函数的表达式； （2）不等式的解集是 x3 或 0 x2 【分析】 （1）先由 A（3，m） ，B（n，3）在反比例函数的图象上求出 m2，n2，得 A（3，2） ，B（2，3） ，再代入 ykx+b，解得，即可得一次函数的表达式为 yx5； （2）画出大致图象，数形结合即可得到不等式的解集 【解答】解： （1）将 A（3，m） ，B（n，3）代入得： m，3

29、，解得 m2，n2， A（3，2），B（2，3）， 将 A（3，2） ，B（2，3）代入 ykx+b 得： ，解得， 一次函数的表达式为 yx5； （2）图象大致如图： 根据图象可得，不等式的解集是 x3 或 0 x2， 故答案为：x3 或 0 x2 20 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx 的图象与二次函数 yx2+bx （b 为常数）的图象相交于 O，A 两点，点 A 坐标为（3，m） （1）求 m 的值以及二次函数的表达式； （2）若点 P 为抛物线的顶点，连结 OP，AP，求POA 的面积 【分析】 （1）把点 A 的坐标为（3，m）代入 yx 可求出 m

30、的值，然后再把 A 点坐标代入二次函数表达式即可解答； （2）过点 P 作 PCx 轴，垂足为 C，交 OA 于点 D，然后把OPD 的面积与APD 的面积相加即可 【解答】解： （1）把点 A 坐标为（3，m）代入一次函数 yx 中可得： m3， A（3，3） ， 把点 A 坐标为（3，3）代入二次函数 yx2+bx 中可得： 39+3b， 解得：b4， yx2+4x， 答：m 的值为 3，二次函数的表达式为：yx2+4x； （2）过点 P 作 PCx 轴，垂足为 C，交 OA 于点 D，过点 A 作 AEPC，垂足为 E， yx2+4x（x2）2+4， 顶点 P（2，4） ， 把 x2 代

31、入 yx 中得： y2， D（2，2）， PD422， POA 的面积OPD 的面积+APD 的面积， POA 的面积PDOC+PDAE PD（OC+AE） 23 3， 答：POA 的面积为 3 21 （12 分）某公司的商品进价每件 60 元，售价每件 130 元，为了支持“抗新冠肺炎” ，每销售一件捐款 4元且未来 30 天，该商品将开展每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降 1元，市场调查发现，设第 x 天（1x30 且 x 为整数）的销量为 y 件，y 与 x 满足一次函数关系，其对应数据如表： （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）在这 30 天

32、内，哪一天去掉捐款后的利润是 6235 元？ （3） 设第 x 天去掉捐款后的利润为 W 元， 试求出 W 与 x 之间的函数关系式， 并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设 y 与 x 满足的一次函数数关系式为 ykx+b（k0） ，用待定系数法求解即可； （2）根据题意得关于 x 的一元二次方程： （130 x604） （5x+30）6235，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可； （3）由题意得 W 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）设 y 与 x 满足的一次函数数关系式为 ykx+b（k0） ， 将（1

33、.35） ， （3，45）分别代入得：， 解得：， y 与 x 的函数关系式为 y5x+30； （2）根据题意得： （130 x604） （5x+30）6235， 整理得：x260 x+8510， 解得：x23 或 x37（舍）， 在这 30 天内，第 23 天去掉捐款后的利润是 6235 元； （3）由题意得： W（130 x604） （5x+30 5x2+300 x+1980 5（x30）2+6480， a50， 当 x30 时，W 有最大值，最大值为 6480 元 W 与 x 之间的函数关系式是 W5（x30）2+6480，第 30 天的利润最大，最大利润是 6480 元 22 （12

34、分）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图，在ABC 中，AD 平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程 （1）证明：如图，过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分 （2）你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。 【分析】 （1）过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E，根据平行线分线段成比例定理得到，等量代换证明结论 （2）利用等面积法即可证明。 【解答】 （1）证明：如图，过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E

35、， 则1E，DACACE， AD 平分BAC， 1DAC， EACE， ACAE， CEDA， ， （2） 证明：过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DFAB，过点 D 作 DGAC， AD 是BAC 的角平分线， DF=DG, AEBDSABD21,AECDSACD21 ABDFSABD21ACDGSACD21 23 （14 分）如图，已知抛物线的顶点 M（0，4） ，与 x 轴交于 A（2，0） 、B 两点， （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 C（0，2） ，P 为抛物线上一点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于 Q（P 在 Q 上方） ，再过点 P 作 PRx 轴交直

36、线 BC 于点 R，若PQR 的面积为 2，求 P 点坐标； （3）如图 2，在抛物线上是否存在一点 D，使MAD45，若存在，求出 D 点坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意先设出抛物线的顶点坐标，再代入点 A 的坐标，即可得出抛物线的解析式： （2）由顶点 M（0，4） ，A（2，0）可得 B（2，0） ，则 OCOB，则OCBOBC45，根据平行线的性质得PQRPRQ45，则 PQPR，根据PQR 的面积为 2 可得 PQ2，求出直线 BC的解析式为 yx+2，设 P（m，m2+4） ，则 Q（m，m+2） ，PQm2+4（m+2）2，解方程求出 m 的值，即可求解； （

37、3） 过点 M 作 MNAD 于 N， 过点 N 分别作 NEy 轴于 E， NFx 轴于 F， 证明MNEANF （AAS） ，可得 NENF，设 N（n，n+2） ，则 nn+2，求出 n1，则 N（1，1） ，求出直线 AN 的解析式为 yx+，联立 yx2+4 即可求解 【解答】解： （1）抛物线的顶点 M（0，4） ， 设抛物线的解析式为：yax2+4， 抛物线与 x 轴交于 A（2，0） ， 4a+40，解得 a1， 抛物线的解析式为：yx2+4； （2）顶点 M（0，4） ，A（2，0） ， B（2，0） ， 点 C（0，2） ， OCOB， OCBOBC45， PQy 轴，PR

38、x 轴， PRQOBC45，PQROCB45， PRQPQR45， PQPR， PQR 的面积为 2， PRPQPQ22， PQ2， B（2，0），C（0，2）， 直线 BC 的解析式为 yx+2， 设 P（m，m2+4） ，则 Q（m，m+2） ， PQm2+4（m+2）2，解得 m1 或 0（舍去）， P 点坐标为（1，3） ； （3）过点 M 作 MNAD 于 N，过点 N 分别作 NEy 轴于 E，NFx 轴于 F， NENF，MENAFN90， MNEANF， MAD45，MNAD， MNAN， MNEANF（AAS）， NENF， 设 N（n，n+2）， nn+2，解得 n1， N（1，1）， A（2，0） 设直线 AN 的解析式为 ykx+t， ，解得， 直线 AN 的解析式为 yx+， 联立 yx2+4 得， 解得（舍去）或， 存在，D 点坐标为（，）