2022-2023学年江苏省南通市崇川区八年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023 学年江苏省南通市崇川区八年级上数学第一次月考试卷学年江苏省南通市崇川区八年级上数学第一次月考试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）北京 2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） ABC D 2 （3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A（3，2） B（2，3） C（2，3） D（3，2） 3 （3 分）等腰三角形的一个角是 80，则它的底角是（ ） A50 B80 C50或 80 D20或 80 4 （3 分）下列说法： 全等

2、三角形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等、对应角相等； 面积相等的两个三角形全等；全等三角形的周长相等 其中正确的说法为（ ） A B C D 5 （3 分）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 ABAC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（ ） ABC BADAE CBDCE DBECD 6 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，AB10，SABD15，则 CD的长为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （3 分）如图，已知 ABCD，ABCD，E、F 是 AD 上的两个点，CEAD，BFA

3、D，若 ADa，BFb，CEc，则 EF 的长为（ ） Aa+bc Bb+ca Ca+cb Dab 8 （3 分）如图，等边ABC 中，AB4，点 P 在边 AB 上，PDBC，DEAC，垂足分别为 D、E，设 PAx，若用含 x 的式子表示 AE 的长，正确的是（ ） A2x B3x C1 D2+x 9（3 分） 如图， 在 33 的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形 图中ABC 是一个格点三角形则图中与ABC 成轴对称的格点三角形有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 10 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，

4、点 E 在 AC 上，过点 E 作 EFBC 于点 F，延长 CB 至点 G，使 BG2FC，连接 EG 交 AB 于点 H，EP 平分GEC，交 AD 的延长线于点 P，连接 PH，PB，PG，若CEGC+BAC，则下列结论： APEAHE；PEHE；ABGE；SPABSPGE 其中正确的有（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 30 分）分） 11 （3 分）如图，已知ABCDFE，B80，ACB30，则D 12 （3 分）如图，已知ABC 中，ABC40，ACB60，DE 垂直平分 AC，连接 AE，则BAE 的度数是 . 13 （4 分）如图，在 x

5、、y 轴上分别截取 OA、OB，使 OAOB，再分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长度为半径画弧，两弧交于点 C若 C 的坐标为（3a，a+8） ，则 a 14 （4 分） 如图， AOB30， AOB 内有一定点 P， 且 OP10 在 OA 上有一点 Q， OB 上有一点 R 若PQR 周长最小，则最小周长是 15（4 分） 如图， 已知 ABCDAEBC+DE2， ABCAED90， 则五边形 ABCDE 的面积为 16 （4 分）平面直角坐标系中，已知 A（2，2） 、B（4，0） 若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是 17 （4 分）若二元

6、一次方程组的解 x，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为 7，则 m 的值为 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 C（0，4） ，E（4，0） ，点 A 为线段 CE 上一动点，以 AO 为斜边作等腰直角AOB（点 A、O、B 以顺时针排列）点 D 在射线 BO 上，若以点 D，C，O 构成的三角形和AOC 全等，则CAO 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，4） ，B（4，1） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 x 轴的对称图形A

7、1B1C1； （2）请直接写出点 C 关于 y 轴的对称点 C的坐标： ； （3）请直接写出ABC 的面积： 20 （8 分）已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF求证： （1）AFCE； （2）ABCD 21 （10 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE （1）如果BAC100，求B； （2）求证：BDCE 22（10 分）ABC 中，AD 平分BAC， （1）求证 SABD：SADCAB：AC； （2）在ABC 中，AB5，AC4，BC6，求 DC 的长 23 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 M 为 AB 边上任意一

8、点，延长 BC 至点 N，使 CNAM，连接 MN 交 AC 于点 P，MHAC 于点 H （1）求证：MPNP； （2）若 ABa，求线段 PH 的长（结果用含 a 的代数式表示） 24 （10 分）在ABC 中，ABAC，点 D 是直线 BC 上的一点（不与点 B、C 重合） ，以 AD 为腰右侧作等腰三角形ADE，且 ADAE，BACDAE，联接 CE （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果BAC90，则BCE 度 （2）设BAC，BCE 点 D 是在线段 BC 上移动时，如图 2，则 、 之间有怎样的数量关系？试说明理由 点 D 是在射线 CB 上移动时，则 、 之间有怎样的

9、数量关系？试直接写出结论 25（16 分） 我们定义： 若一条线段将三角形分割成 2 个等腰三角形， 则这条线段是这个三角形的 “黄金线” 若两条线段将一个三角形分割成 3 个等腰三角形， 则这两条线段是这个三角形的 “钻石线” 例如： 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，过点 C 作ACD30，ACD 和BCD 都是等腰三角形，则线段 CD 是ABC 的“黄金线” 延长 CB 至点 E，使 ABBE，连接 AE，两条线段 AB、CD 将ACE 分割成 3 个等腰三角形，则这两条线段 AB、CD 是ACE 的“钻石线” （1） 如图 2， 已知锐角ABC 中， BAC25，

10、ABC75， 若存在线段 BD 是ABC 的 “黄金线” ，则其中钝角等腰三角形的顶角是 ； （2）如图 3，已知ABC 中，ACB90，A30，点 O 是 AB 的中点，过点 C 作BCD40，交 AB 的延长线于点 D，CD 边上的一点 E 恰好在 OD 的垂直平分线上，求证：线段 CO、OE 是ACD的“钻石线” ； （3）若一个等腰三角形有“黄金线” ，则这个等腰三角形的底角度数是 26.（本题 16 分）已知：点 A（a，0） ，B（0，b） ，C（4，0） ，且 a、b 满足|a+4|+（a+b）20 （1）直接写出ABC 的形状； （2）如图 1，过点 B 作射线 l（射线 l

11、与边 AC 有交点） ，过点 A 作 ADl 于点 D，过点 C 作 CEl 于点E，过点 E 作 CD 的垂线交 y 轴于点 F 求证：ADBE； 求点 F 的坐标； （3）如图 2，点 G，H 为 y 轴正半轴上的两点（G 在 H 的上方） ，点 N 在 AH 的延长线上，且满足 GNGH，GN 的延长线交 x 轴于点 P，GPO 的角平分线交线段 AH 于点 M，若 AMOA，H（0，3） ，求线段 MN 长度 2022-2023 学年江苏省南通市崇川区八年级上数学第一次月考试卷学年江苏省南通市崇川区八年级上数学第一次月考试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30

12、分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）北京 2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 2 （3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A（3，2） B（2，3） C（2，3） D（3，2） 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可 【解答】解：点

13、（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3，2） 故选：A 3.（3 分）等腰三角形的一个角是 80，则它的底角是（ ） A50 B80 C50或 80 D20或 80 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析 【解答】解：当顶角是 80时，它的底角（18080）50； 底角是 80 所以底角是 50或 80 故选：C 4 （3 分）下列说法： 全等三角形的形状相同、大小相等 全等三角形的对应边相等、对应角相等 面积相等的两个三角形全等 全等三角形的周长相等 其中正确的说法为（ ） A B C D 【分析】根据全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可

14、得答案 【解答】解：全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确； 全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确； 面积相等的两个三角形全等，说法错误； 全等三角形的周长相等，说法正确； 故选：D 5 （3 分）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 ABAC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（ ） ABC BADAE CBDCE DBECD 【分析】欲使ABEACD，已知 ABAC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明即可 【解答】解：ABAC，A 为公共角， A、如添加BC，利用 ASA 即可证明ABEACD

15、； B、如添 ADAE，利用 SAS 即可证明ABEACD； C、如添 BDCE，等量关系可得 ADAE，利用 SAS 即可证明ABEACD； D、如添 BECD，因为 SSA，不能证明ABEACD，所以此选项不能作为添加的条件 故选：D 6 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，AB10，SABD15，则 CD的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD，然后利用ABD 的面积列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E， C90，AD 平分BAC

16、， DECD， SABDABDE10DE15， 解得：DE3， CD3 故选：A 7 （3 分）如图，已知 ABCD，ABCD，E、F 是 AD 上的两个点，CEAD，BFAD，若 ADa，BFb，CEc，则 EF 的长为（ ） Aa+bc Bb+ca Ca+cb Dab 【分析】由题意可证ABFCDE（AAS） ，可得 BFDEb，CEAFc，可求 EF 的长 【解答】解：ABCD，CEAD， C+D90，A+D90， AC，且 ABCD，AFBCED， ABFCDE（AAS）， BFDEb，CEAFc， AEADDEab， EFAFAEc（ab）ca+b， 故选：B 8 （3 分）如图，等

17、边ABC 中，AB4，点 P 在边 AB 上，PDBC，DEAC，垂足分别为 D、E，设 PAx，若用含 x 的式子表示 AE 的长，正确的是（ ） A2x B3x C1 D2+x 【分析】利用等边三角形的性质可得 ABBCAC4，BC60，再利用含 30 度角的直角三角形的性质进行计算即可 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABBCAC4，BC60， PDBC，DEAC， BDPB，CECD， PAx， BP4x， BDPB2x， CD4（2x）2+x， CE1+x， AE4（1+x）3x， 故选：B 9（3 分） 如图， 在 33 的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三

18、角形称为格点三角形 图中ABC 是一个格点三角形则图中与ABC 成轴对称的格点三角形有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线对称轴的位置不同，所得的对称三角形的位置就不同 【解答】解：如图所示，图中与ABC 成轴对称的格点三角形 DEF 有 6 个 故选：C 10 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，点 E 在 AC 上，过点 E 作 EFBC 于点 F，延长 CB 至点 G，使 BG2FC，连接 EG 交 AB 于点 H，EP 平分GEC，交 AD 的延长线于点 P，连

19、接 PH，PB，PG，若CEGC+BAC，则下列结论： APEAHE；PEHE；ABGE；SPABSPGE 其中正确的有（ ） A B C D 【分析】过点 P 分别作 GE，AB，AC 的垂线，垂足分别为 I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PMPNPI，易证 PH 平分BGE，即PHMPHI设PEH，PAB，由外角的性质可得APE，AHE22，所以APEAHE；故正确；由外角的性质可得PHE90+，由三角形内角和可得，HPE180（90+）90，所以PHEHPE，即 PEHE；故不正确；在射线AC 上截取CKEC，延长 BC到点L，使得 CLFC，连接BK，LK，易证EFCKLC（AS

20、S），所以 EFLK，LEFC90，易证 FGBL，所以GEFBKL（SAS），所以EGFKBC，GEBK，由外角的性质可知，BACBKC，所以 ABBKGE，故正确；因为 SPABABPM，SPGEGEPI，且 ABGE，PMPI，所以 SPABSPGE故正确 【解答】解：过点 P 分别作 GE，AB，AC 的垂线，垂足分别为 I，M，N， AP 平分BAC，PMAB，PNAC， PMPN，PABPAC， PE 平分GEC，PNAC，PIEH， PIPN，PEHPEN， PMPNPI， PMHPIH， PHPH， PHMPHI， RtPMHRtPIH（HL）， PHMPHI， 设PEH，PA

21、B， PEN，BAN， 对于APE，PECPAE+APE， APE， 对于AEH，HECBAC+AHE， AHE22， APEAHE；故正确； AHE+MHE，PHMPHI， PHE90+， HPE180（90+）90， PHEHPE，即 PEHE；故不正确； 在射线 AC 上截取 CKEC，延长 BC 到点 L，使得 CLFC，连接 BK，LK， ECFLCK， EFCKLC（ASS）， EFLK，LEFC90， BG2FC，FCCL， BGFL， FGBL， GEFBKL（SAS）， EGFKBC，GEBK， ACBEGC+BAC，ACBKBC+BKC， BACBKC， ABBK， GEA

22、B，故正确； SPABABPM，SPGEGEPI， 又ABGE，PMPI， SPABSPGE故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 30 分）分） 11 （3 分）如图，已知ABCDFE，B80，ACB30，则D 70 【分析】根据三角形内角和定理求出A，根据全等三角形的性质解答即可 【解答】解：B80，ACB30， A180803070， ABCDFE， DA70， 故答案为：70 12 （3 分）如图，已知ABC 中，ABC40，ACB60，DE 垂直平分 AC，连接 AE，则BAE 的度数是 . 【分析】由三角形内角和定理求出BAC80，由线段垂直平分线的性

23、质得出 AECE，由等腰三角形的性质得出EACACB60，即可得出答案 【解答】解：ABC 中，ABC40，ACB60， BAC180406080， DE 垂直平分 AC， AECE， EACACB60， BAEBACEAC20； 故答案为：20 13 （4 分）如图，在 x、y 轴上分别截取 OA、OB，使 OAOB，再分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长度为半径画弧，两弧交于点 C若 C 的坐标为（3a，a+8） ，则 a 2 【分析】根据题目中尺规作图可知，点 C 在AOB 角平分线上，所以 C 点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出 a 的值 【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点

24、C 是AOB 角平分线上的一点， 点 C 在第一象限， 点 C 的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质） ，即 3aa+8， 得 a2， 故答案为：2 14 （4 分） 如图， AOB30， AOB 内有一定点 P， 且 OP10 在 OA 上有一点 Q， OB 上有一点 R 若PQR 周长最小，则最小周长是 10 【分析】先画出图形，作 PMOA 与 OA 相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 MEPM作 PNOB与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NFPN连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ，PR，则PQR 即为周长

25、最短的三角形再根据线段垂直平分线的性质得出PQREF，再根据三角形各角之间的关系判断出EOF 的形状即可求解 【解答】解：设POA，则POB30，作 PMOA 与 OA 相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 MEPM， 作 PNOB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NFPN， 连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ，PR，则PQR 即为周长最短的三角形， OA 是 PE 的垂直平分线， EQQP； 同理，OB 是 PF 的垂直平分线， FRRP， PQR 的周长EF， OEOFOP10，且EOFEOP+POF2+2（30）60， EOF

26、 是正三角形， EF10，即在保持 OP10 的条件下PQR 的最小周长为 10 故答案为：10 15（4 分） 如图， 已知 ABCDAEBC+DE2， ABCAED90， 则五边形 ABCDE 的面积为 4 【分析】 延长DE到F，使EFBC，连接AC，AD，AF，利用SAS得到三角形ABC与三角形AEF全等，利用全等三角形的对应边相等得到 ACAF，根据 CDBC+DE，EFBC，等量代换得到 CDDF，利用 SSS 得到三角形 ACD 与三角形 AFD 全等，根据三角形 ABC 与三角形 AEF 全等，得到五边形 ABCDE等于三角形 ADF 的 2 倍，求出即可 【解答】解：延长 D

27、E 到 F，使 EFBC，连接 AC，AD，AF， 在ABC 和AEF 中， ， ABCAEF（SAS）， ACAF， CDBC+DE，EFBC， CDDF， 在ACD 和AFD 中， ， ACDAFD（SSS）， ABCAEF， SABCSAEF， S五边形ABCDESABC+S四边形AEDCSAEF+S四边形AEDC2SADF， ABCDAE2，AED90， SADF2， 则 S五边形ABCDE4 故答案为：4 16 （4 分）平面直角坐标系中，已知 A（2，2） 、B（4，0） 若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是 5 【分析】由点 A、B 的坐标可

28、得到 AB2，然后分类讨论：若 ACAB；若 BCAB；若 CACB，确定 C 点的个数 【解答】解： 点 A、B 的坐标分别为（2，2） 、B（4，0） AB2， 若 ACAB，以 A 为圆心，AB 为半径画弧与坐标轴有 3 个交点（含 B 点） ，即（0，0） 、 （4，0） 、 （0，4） ， 点（0，4）与直线 AB 共线， 满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 1 个； 若 BCAB，以 B 为圆心，BA 为半径画弧与坐标轴有 2 个交点（A 点除外） ，即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个； 若 CACB，作 AB 的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足ABC 是等腰三角

29、形的 C 点有 2 个； 综上所述：点 C 在坐标轴上，ABC 是等腰三角形，符合条件的点 C 共有 5 个 故答案为：5 17 （4 分）若二元一次方程组的解 x，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为 7，则 m 的值为 2 【分析】将 m 看作已知数表示出 x 与 y，根据 x 与 y 为三角形边长求出 m 的范围，分 x 为腰和 x 为底两种情况求出 m 的值即可 【解答】解：， 得：y3m， 将 y3m 代入得：x3m3， 根据 x 与 y 为三角形边长，得到，即 1m3， 若 x 为腰，则有 2x+y7，即 6m6+3m7， 解得：m2； 若 x 为底，则有

30、 x+2y3m3+62m7， 解得：m4，不合题意，舍去， 若 x，y 都为腰，则有 3m3m3， 解得：m1.5，三边为 1.5，1.5，4，不能构成三角形，舍去， 综上，m 的值为 2， 故答案为：2 18 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 C（0，4） ，E（4，0） ，点 A 为线段 CE 上一动点，以 AO 为斜边作等腰直角AOB（点 A、O、B 以顺时针排列）点 D 在射线 BO 上，若以点 D，C，O 构成的三角形和AOC 全等，则CAO 45或 67.5 【分析】由点的坐标得出 OCOE4，则OECOCE45，分两种情况画出图形，若ACODOC，若ACODCO，由全等三角

31、形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案 【解答】解：点 C（0，4） ，E（4，0） ， OCOE4， OECOCE45， 如图 1，若ACODOC，此时点 A 与点 E 重合， CAOCOD45； 如图 2，若ACODCO， AOB 为等腰直角三角形， AOB45， AOD180AOB135， ACODCO， AOCDOCAOD67.5， CAO180ACOAOC1804567.567.5 综合以上可得CAO45或 67.5 故答案为：45或 67.5 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分

32、别为 A（3，4） ，B（4，1） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 x 轴的对称图形A1B1C1； （2）请直接写出点 C 关于 y 轴的对称点 C的坐标： （1，2） ； （3）请直接写出ABC 的面积： 4 【分析】 （1）利用关于 x 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于 y 轴对称的点的坐标特征求解； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算ABC 的面积 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）点 C 关于 y 轴的对称点 C的坐标为（1，2） ； 故答案为： （1，2） ； （3）ABC 的面积

33、333122314 故答案为：4 20 （8 分）已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF求证： （1）AFCE； （2）ABCD 【分析】 （1）根据垂直的定义得到CEDAFB90，推出 RtCDERtABF（HL） ，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AC，根据平行线的判定即可得到 ABCD 【解答】证明：（1）DEAC，BFAC， CEDAFB90， 在 RtCDE 和 RtABF 中， RtCDERtABF（HL）， AFCE； （2）RtCDERtABF， AC， ABCD 21 （10 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC

34、 边上，ABAC，ADAE （1）如果BAC100，则B 40 ； （2）求证：BDCE 【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案； （2）过点 A 作 APBC 于 P由等腰三角形的性质得出 BPPC，DPPE，则可得出结论 【解答】 （1）解：ABAC， BC， BAC100， B（180100）40 故答案为：40 （2）证明：如图，过点 A 作 APBC 于 P ABAC， BPPC， ADAE， DPPE， BPDPPCPE， BDCE 22（10 分）ABC 中，AD 平分BAC， （1）求证 SABD：SADCAB：AC； （2）在ABC 中，AB5，AC4

35、，BC6，求 DC 的长 【分析】 （1）过 D 点作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，如图，根据角平分线的性质得到 DEDF，然后利用三角形面积公式可得到结论； （2） 利用三角形面积公式得到 SABD：SADCAB：AC，SABD：SADCBD：CD；则 AB：ACBD：CD，所以 BDCD，则CD+CD6，然后解方程即可 【解答】 （1）证明：过 D 点作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，如图， AD 平分BAC， DEDF， SABD：SADCABDE：ACDFAB：AC； （2）SABD：SADCAB：AC，SABD：SADCBD：CD； AB：ACBD：CD， 即 5：4B

36、D：CD， BDCD， BD+CDBC6， CD+CD6， CD 23 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N，使 CNAM，连接 MN 交 AC 于点 P，MHAC 于点 H （1）求证：MPNP； （2）若 ABa，求线段 PH 的长（结果用含 a 的代数式表示） 【分析】 （1）过点 M 作 MQBC，交 AC 于点 Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得AMQAQMA60，可得AMQ 是等边三角形，易证QMPCNP（AAS） ，即可得证； （2） 根据等边三角形的性质可知 AHHQ， 根据全等三角形的性质可知 QPPC，

37、即可表示出 HP 的长 【解答】 （1）证明：过点 M 作 MQBC，交 AC 于点 Q，如图所示： 在等边ABC 中，ABACB60， MQBC， AMQB60，AQMACB60，QMPN， AMQ 是等边三角形， AMQM， AMCN， QMCN， 在QMP 和CNP 中， ， QMPCNP（AAS）， MPNP； （2）解：AMQ 是等边三角形，且 MHAC， AHHQ， QMPCNP， QPCP， PHHQ+QPAC， ABa，ABAC， PHa 24 （10 分）在ABC 中，ABAC，点 D 是直线 BC 上的一点（不与点 B、C 重合） ，以 AD 为腰右侧作等腰三角形ADE，且

38、 ADAE，BACDAE，联接 CE （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果BAC90，则BCE 90 度 （2）设BAC，BCE 点 D 是在线段 BC 上移动时，如图 2，则 、 之间有怎样的数量关系？试说明理由 点 D 是在射线 CB 上移动时，则 、 之间有怎样的数量关系？试直接写出结论 【分析】 （1）证明BADCAE，得BACE，即可证明； （2） 与 （1） 同理证明BADCAE，得ABDACE，则BAC+BCEBAC+BCA+ACEBAC+BCA+B180； 同理证明ADBAEC，得ABDACE，由ABDBAC+ACB，则BACBCE 【解答】解：（1）BACDAE，

39、 BADCAE， 在BAD 与CAE 中， ， BADCAE（SAS）， BACE， BCEACB+ACE90， 故答案为：90； （2）+180，理由如下： BACDAE， BADCAE， 在BAD 与CAE 中， ， BADCAE（SAS）， ABDACE， BAC+ABD+BCA180， BAC+BCEBAC+BCA+ACEBAC+BCA+B180， +180； ，理由如下： DAEBAC， DABEAC， 在ADB 与AEC 中， ， ADBAEC（SAS）， ABDACE， ABDBAC+ACB， BACBCE， 25（16 分） 我们定义： 若一条线段将三角形分割成 2 个等腰三角

40、形， 则这条线段是这个三角形的 “黄金线” 若两条线段将一个三角形分割成 3 个等腰三角形， 则这两条线段是这个三角形的 “钻石线” 例如： 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，过点 C 作ACD30，ACD 和BCD 都是等腰三角形，则线段 CD 是ABC 的“黄金线” 延长 CB 至点 E，使 ABBE，连接 AE，两条线段 AB、CD 将ACE 分割成 3 个等腰三角形，则这两条线段 AB、CD 是ACE 的“钻石线” （1） 如图 2， 已知锐角ABC 中， BAC25， ABC75， 若存在线段 BD 是ABC 的 “黄金线” ，则其中钝角等腰三角形的顶角是 130

41、 ； （2）如图 3，已知ABC 中，ACB90，A30，点 O 是 AB 的中点，过点 C 作BCD40，交 AB 的延长线于点 D，CD 边上的一点 E 恰好在 OD 的垂直平分线上，求证：线段 CO、OE 是ACD的“钻石线” ； （3）若一个等腰三角形有“黄金线” ，则这个等腰三角形的底角度数是 72 或 36 或 45或 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明AOC，OCE，CED 都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为 x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可 【解答】 （1）解：如图 2 中， BD 是“黄金线“， DADB，

42、DABDBA25， CDBA+DBA50， ABC75， CBD752550， CDBCBD50， ADB，CDB 都是等腰三角形， ADB1802525130， 故答案为：130； （2）证明：如图 3 中， ACB90，AOOB， OCOAOB， AOC 是等腰三角形， BCD40， ACD90+40130， D1801303020， 点 E 在 OD 的垂直平分线上， EDEO， DEOD20， OECD+EOD40， OCAA30， OCB903060， ECO60+40100， COE1801004040， COECEO40， COCE， CEO，OED 都是等腰三角形， 线段 CO

43、、OE 是ACD 的“钻石线” ； （3）解：设ABC 是以 AB、AC 为腰的锐角三角形，BD 为“双等腰线” ，如图 5， 当 ADBD，BDBC 时， 设Ax，则ABDx， BDCC2x， ABCC2x， A+ABC+C180， x+2x+2x180， x36，2x72， C72， 设ABC 是以 AB、AC 为腰的钝角三角形，AD 为“双等腰线” ，如图 6， 当 ABBD，ADCD 时， 设By，则Cy， ADCD， DACCy， ADB2y， ABBD， BADADB2y， B+BAD+ADB180， y+2y+2y180， y36， BC36， 设ABC 是以 AB、AC 为腰的

44、直角三角形，AD 为“双等腰线” ，如图 7， 当 ABBD，ADCD 时，AD 为 BC 的垂直平分线， 设Bz，则Cz，BADz， B+BAD90， z+z90， z45， BC45， 设顶角为 x， 可得，x+3x+3x180 解得：x（）， C3x（）， 故答案为：72 或 36 或 45或 26.（本题 16 分）已知：点 A（a，0） ，B（0，b） ，C（4，0） ，且 a、b 满足|a+4|+（a+b）20 （1）直接写出ABC 的形状； （2）如图 1，过点 B 作射线 l（射线 l 与边 AC 有交点） ，过点 A 作 ADl 于点 D，过点 C 作 CEl 于点E，过点

45、E 作 CD 的垂线交 y 轴于点 F 求证：ADBE； 求点 F 的坐标； （3）如图 2，点 G，H 为 y 轴正半轴上的两点（G 在 H 的上方） ，点 N 在 AH 的延长线上，且满足 GNGH，GN 的延长线交 x 轴于点 P，GPO 的角平分线交线段 AH 于点 M，若 AMOA，H（0，3） ，求线段 MN 长度 【考点】三角形综合题版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力 【答案】 （1）ABC 是等腰直角三角形； （2）证明见解析过程； （0，4） ； （3）MNOH，理由见解析过程 【分析】 （1）由非负性可求 a4，b4，可得 OAOBOC4，进而可

46、求OABOBAOBCOCB45，可得 ABBC，ABC90，可得结论； （2）由“AAS”可证ABDBCE，可得 ADBE；由全等三角形的性质可得BADCBE，进而可得CADFBE，由“ASA”可证ADCBEF，可得 BFAC8，即可求解； （3）由“SAS”可证MPTMPN，可得 MNMT，ANPMTP，由“ASA”可证AMTAOH，可得 MTOH，可得结论 【解答】解：（1）|a+4|+（a+b）20 a4，b4， 点 A（4，0） ，B（0，4） ， 又点 C（4，0）， OAOBOC4，ACOA+OC8， OABOBAOBCOCB45， ABBC，ABC90， ABC 是等腰直角三角形

47、； （2）ADl，CEl， ADBBEC90ABC， ABD+CBE90，ABD+BAD90， BADCBE， 又ABBC，ADBBEC， ABDBCE（AAS）， ADBE； ABDBCE， BADCBE， CADFBE， EFCD， EDC+DEF90， 又DEF+CEF90， EDCCEF， EDC+ADBCEF+BEC， ADCBEF， 在ADC 和BEF 中， ， ADCBEF（ASA）， BFAC8， 点 F 的坐标为（0，4） ； （3）MNOH， 理由如下：如图 2，在 OP 上截取 PTPN， MP 平分APG， APMGPM， 又PTPN，PMPM， MPTMPN（SAS）， MNMT，ANPMTP， GNHATM， GNGH， GNHGHN， GHNGNHATM， 又MKHOKT， KOTKMH90， AMTAOH90， 又AA，AMAO， AMTAOH（ASA）， MTOH， MNOH， MN3.