福建省古田县二校联考2021-2022学年九年级上第一次阶段性诊断数学试卷（含答案解析）

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1、福建省宁德市古田县二校联考九年级上第一次诊断数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D. 2. 下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（）A. 对角线相等且互相平分的四边形B. 对角线互相垂直且平分的四边形C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 有一个角是直角的菱形3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，APBP记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（）A. B. C. D. 、大小不能确定4. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条

2、边长，则三角形ABC的周长为（）A. 10B. 14C. 10或14D. 8或105. 如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A. B. C. D. 6. 如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A. 28cm2B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm27. 关于x一元二次方程ax2+5x+30有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A. a且a0B. aC. a且a0D. a8. 在一个不透明的盒子里装有若干

3、个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）A. 5个B. 10个C. 15个D. 25个9. 如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似满足这样条件的直线最多有（ ）A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）A. 22B. 2C. 31D. 2二、填空题

4、（每小题4分，共24分）11. 如图，在中，若DEBC，且：，则_12. 若关于x的一元二次方程kx24x+3=0有实数根，则k的取值范围是_13. 如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC_14. 疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是_米15. 如图，中，以为斜边作，使分别是的中点，则_16. 如图，已知矩形ABCD中，AB5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时

5、间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 _三、解答题（共9小题，满分86分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 用适当的方法解下列方程：（1）（2）18. 如图，四边形ABCD为矩形（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）连接CF，如果AB=4，BC=7，求CF的长19. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯牛奶，D酸奶，E核桃奶（1）甲从这两个品牌的奶制品

6、中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率20. 在ABC 中，AD是BAC的外角平分线，CEAB，求证：ABDE=ADAC21. 已知=k，求k2-3k-4值22. 已知关于x的一元二次方程x2(m+4)x+2m+40(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；(2)若1是方程的一个根，求m的值；(3)若x1，x2为方程的两个根，且nx12+x224，判断动点P(m，n)所形成的数图象是否经过点A(5，9)，并说明理由23. 某租赁公

7、司拥有汽车100辆据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？24 【探究】如图1，在等边ABC中，AB4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连结AD、DE，若ADE60，BD3，求BE的长【拓展】如图2，在ABD中，AB4，点E为

8、边AB上的点，连结DE，若ADEABD45，若DB3， 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BAy轴，BCx轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E（1）直接写出点D的坐标；（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使PDE周长最小？若存在，请求出PDE的最小周长；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止

9、请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标福建省宁德市古田县二校联考九年级上第一次诊断数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断，如果能整理为（a0）的形式，则这个方程就为一元二次方程【详解】A是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B当a0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C由原方程得到3x20，是一元一次方程，故本选项不符合题意；D符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义：形如

10、的方程是一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键2. 下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（）A. 对角线相等且互相平分的四边形B. 对角线互相垂直且平分的四边形C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 有一个角是直角的菱形【答案】D【解析】根据正方形的判定定理，即可求解【详解】A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不符合题意；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；D、有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键3. 已知点P是线段AB的黄金分割

11、点，APBP记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（）A. B. C. D. 、大小不能确定【答案】B【解析】根据黄金分割的概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算【详解】根据黄金分割的概念得：，AP2=ABBP，S1=S2故选B【点睛】本题主要是考查了线段的黄金分割点的概念4. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10【答案】B【解析】【详解】解：2是关于x的方程x22mx+3m=0的一个根， 224m+3m=

12、0，m=4， x28x+12=0， 解得x1=2，x2=6 当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； 当6是底边时，2是腰，2+26，不能构成三角形 所以它的周长是14 故选B5. 如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】用列表法解题，先分析第一个转盘等可能出现的结果1，2，5，再分析在1出现的情况下，转盘二出现的等可能结果4，3，6，依次类推，分析出现2的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，再分析出现5的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，最后将

13、符合题意的几种情况相加即可.【详解】用表列举出所有可能出现的结果，如下：共有9种等可能结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种，所求概率为，故选C6. 如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A. 28cm2B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm2【答案】B【解析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC矩形FDCE，则 设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.56=27cm2【点睛】本

14、题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键7. 关于x的一元二次方程ax2+5x+30有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A. a且a0B. aC. a且a0D. a【答案】A【解析】由关于x一元二次方程ax2+5x+30有两个不相等的实数根，即可得判别式0，继而可求得a的范围【详解】解：关于x的一元二次方程ax2+5x+30有两个不相等的实数根，b24ac524a32512a0，解得：a，方程ax2+5x+30是一元二次方程，a0，a的范围是：a且a0故选：A【点睛】根据一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键8. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和1

15、5个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）A. 5个B. 10个C. 15个D. 25个【答案】B【解析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，设袋中白球有x个，根据概率公式列方程求解即可【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：0.6，解得：x10，经检验：x10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个故选：B【点睛】本题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果

16、，那么事件A的概率是解题关键9. 如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似满足这样条件的直线最多有（ ）A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条【答案】B【解析】根据相似三角形的判定，过点P分别的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与C相等的角也可以得到原三角形相似的三角形【详解】，作，可得作，可得作APG=C，由于A是公共角可得，故选：B【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法,熟练运用平行法和非平行线法构造三角形的相似三角形是解题的关键10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的

17、速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）A. 22B. 2C. 31D. 2【答案】A【解析】先证明ABMBCN，得出BAMCBN，证出APB90，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OPOB2，即可求解【详解】由题意得：BMCN，四边形ABCD是正方形，ABMBCN90，ABBC4，在ABM和BCN中，ABBC，ABMBCN，MBCN，ABMBCN（SAS），BAMCBN，ABPCBN90，ABPBAM90，APB90，点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个

18、圆的，连接OC交圆O于P，此时PC最小，AB4，OPOB2，由勾股定理得：OC2，PCOCOP22；故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如图，在中，若DEBC，且：，则_【答案】【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：， ，：，故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形判定及其性质的应用问题，应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题12. 若关于x的一元二次方程kx24x+3=0有实

19、数根，则k的取值范围是_【答案】且【解析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论【详解】关于的一元二次方程有实数根，且，解得：且故答案为：且【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，一元二次方程有实数根”是解题的关键13. 如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC_【答案】1：2【解析】过点D作，先利用AAS得出，得出DM=AF，再根据即可得出答案【详解】解：过点D作，交BF于M，FAE=MDE，AFE=EMD，E是AD的中点AE=DEDM=AFD是BC的中点， BD=CD，AF：FC1：2故答案为：1：2【点睛】

20、本题主要考查了相似的性质，利用作平行线从而作出相似三角形，把两个线段的比进行转化14. 疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是_米【答案】3【解析】根据临时隔离点总长度是10米，米，则米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可【详解】解：设米，则米，根据题意可得，解得，（舍去），的长为3米故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解15. 如图，中，以为斜边作

21、，使分别是的中点，则_【答案】【解析】先根据题意判断出DEF的形状，由平行线的性质得出EFC的度数，再由三角形外角的性质求出DFC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】E、F分别是BC、AC的中点，CAD=CAB=28，EF是ABC的中位线，EF=AB，EFC=CAB=26AB=AC，ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，DF=AF=CF，DF=EF，CAD=ADF=28DFC是AFD的外角，DFC=28+28=56，EFD=EFC+DFC=28+56=84，EDF=48故答案为48【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答

22、此题的关键16. 如图，已知矩形ABCD中，AB5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 _【答案】或10【解析】当点在的上方，点到的距离为3，作于，延长交于，连接、，则，四边形是矩形，证出，得出，求出，即可得出结果；当点在的下方，点到的距离为3，作的延长线于，则，证得，得出即可得出结果【详解】解：根据题意分两种情况：当点在的上方，点到的距离为3，作于，延长交于，连接、，如图1所示：则，四边形是矩形，在中，点、关于直线对称，即，；当

23、点在的下方，点到的距离为3，作的延长线于，如图2所示：则，在中，即，解得：，综上所述，或10故答案为：或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键三、解答题（共9小题，满分86分解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】（1）=-3+2，=-3-2； （2）=-，=1【解析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于

24、x的一元一次方程，再进一步求解即可【小问1详解】解：，即，x+3=2，=-3+2，=-3-2；【小问2详解】解：，则2x+3=0或2x-2=0，解得=-，=1【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法18. 如图，四边形ABCD为矩形（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）连接CF，如果AB=4，BC=7，求CF的长【答案】（1）见解析 （2）CF=5【解析】（1）分别以A，B为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，连

25、接EF，四边形ABEF即为所求；（2）求出DF，利用勾股定理求解【小问1详解】如图，四边形ABEF即所求；【小问2详解】四边形ABCD是矩形，AB=CD=4，BC=AD=7，D=90，四边形ABEF是正方形，AF=AB=4，DF=ADAF=74=3，CF=5【点睛】本题考查作图-基本作图，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题19. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯牛奶，D酸奶，E核桃奶（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选

26、购到纯牛奶的概率是_；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据概率公式直接计算即可；（2）画出树状图，得出所有可能的情况数和符合要求的情况数，再利用概率公式计算【详解】解：（1）两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶，选购到纯牛奶的概率=，故答案为：；（2）画树状图如下：可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，两人选购到同一种类奶制品的概率为=【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用

27、到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20. 在ABC 中，AD是BAC的外角平分线，CEAB，求证：ABDE=ADAC【答案】见解析【解析】根据CEAB可得ABD和ECD相似，根据相似三角形对应边成比例可得，根据角平分线的定义可得EAF=CAE，根据两直线平行，内错角相等可得EAF=AEC，然后求出AEC=CAE，根据等角对等边可得AC=EC，整理即可得证【详解】CEAB，ABDECD，AD是BAC的外角平分线，EAF=CAE，CEAB，EAF=AEC，AEC=CAE，AC=EC，ABDE=ADAC【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的判定

28、，熟记三角形相似的判定与性质是解题的关键21. 已知=k，求k2-3k-4的值【答案】-或6【解析】当a+b+c+d0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=a，代入即可计算出k的值【详解】=k，当a+b+c+d0时，由等比性质可得，=k，k=；当a+b+c+d=0时，b+c+d=a，k=-2； 当k=时，；当时，【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质22. 已知关于x的一元二次方程x2(m+4)x+2m+40(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；(2)若1是方程的一个根，求m的值；(3)若x1，x2为方程的两个根，且nx12+x22

29、4，判断动点P(m，n)所形成的数图象是否经过点A(5，9)，并说明理由【答案】(1)见解析； (2)m= -3； (3)n=(m+2)2，经过(-5,9)，理由见解析.【解析】（1）由=-（m+4）2-4（2m+4）=m20知方程有两个实数根；（2）将x=-1代入方程得到一个关于m的一元一次方程，求解方程即可求出m的值；（3）先由一元二次方程根与系数关系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（-5，9）代入验证即可【详解】（1）证明：=-（m+4）2-4（2m+4）=m20，该一元二次方程总有两个实数根；（

30、2）把x=-1代入方程得，1+m+4+2m+40，解得，m=-3；（3）由一元二次方程根与系数关系得：x1+x2=m+4，x1x2=2m+4n=x12+x22-4=(x1+x2)2-2x1x2-4=（m+4）2-2（2m+4）-4=m2+4m+4动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）当m=-5时，m2+4m+4=25-20+4=9动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（-5，9）【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及韦达定

31、理得应用，以及点的坐标与函数的对应关系23. 某租赁公司拥有汽车100辆据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？【答案】（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元；（2）每辆车的月

32、租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元【解析】（1）由月租金比全部租出多48004000800元，得出未租出车的数量，从而根据每辆车的租金减去500元，乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可；（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可【详解】（1）（辆），（元），394800元万元答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元（2）40.4万元元设上涨个100元，由题意得：整理得：解得：，规定每辆车月租金不能超过7200元，取，则（元）答：每辆车的月租金定为5000元

33、时，租赁公司的月收益可达到40.4万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键24. 【探究】如图1，在等边ABC中，AB4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连结AD、DE，若ADE60，BD3，求BE的长【拓展】如图2，在ABD中，AB4，点E为边AB上的点，连结DE，若ADEABD45，若DB3， 【答案】【探究】BE；【拓展】【解析】探究：过点A作AFBC于F，由等边三角形的性质得出BF=CF=BC=2，由勾股定理求出AF=，则DF=BD-BF=1，由勾股定理求出AD=，证得ABDADE，得出，解得AE=，即可得出结果；拓展：过点A作AFBC

34、于F，易证ABF是等腰直角三角形，则AF=BF=AB=2，DF=DB-BF=，由勾股定理求出AD=，证得ADEABD，得出，求出AE=，BD=AB-AE=，则即可得出结果【详解】探究：ABC是等边三角形，B=C=60，AB=BC=4，过点A作AFBC于F，如图所示：则BF=CF=BC=2，AF=，DF=BD-BF=3-2=1，AD=，根据三角形的内角和定理得，ADB+BAD=120，ADE=60，BAD+AED=120，ADB=AED，B=ADE=60，ABDADE，即：， 解得：AE=，BE=AB-AE=4-=；拓展：过点A作AFBC于F，如图所示：ABD=45，ABF是等腰直角三角形，AF

35、=BF=AB=2，DF=DB-BF=3-2=，AD=，ADE=ABD=45，A=A，ADEABD，AE=，BD=AB-AE=4-=，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BAy轴，BCx轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E（1）直接写出点D的坐标；（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使PDE的周长最小？

36、若存在，请求出PDE的最小周长；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标【答案】（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）【解析】（1）设D（0，m），且m0，运用矩形性质和折叠性质可得：ODm，OA8，CD8m，再利用勾股定理建立方程求解即可；（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D，连接DE，交x轴于点P，则点P即为所求，此时PDE的周长最小，运用勾股

37、定理可得CE5，BE3，作EGOA，在RtDEG中，可得DE，在RtDEG中，可得，即可求出答案；（3）运用待定系数法求得直线DE的解析式为y2x3，进而求得P（，0），过点E作EGy轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H，HP交DE于点Q，利用待定系数法可得直线DE的解析式为yx+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案【详解】解：（1）设D（0，m），且m0，ODm，四边形OABC是矩形，OABC8，ABOC4，AOC90，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，CDADOAOD8m，在RtCDO中，OD2+OC2CD2，m2+

38、42（8m）2，解得：m3，点D的坐标为（0，3）；（2）存在如图1，作点D关于x轴的对称点D，连接DE，交x轴于点P，则点P即为所求，此时PDE的周长最小，在RtCEF中，BEEFBCCE，EF2+CF2CE2，BC8，CF4，CE5，BE3，作EGOA，ODAGBE3，OA8，DG2，在RtDEG中，EG2+DG2DE2，EG4，DE，在RtDEG中，EG2+DG2DE2，EG4，DG8，DE，PDE周长的最小值为DE+DE；（3）由（2）得，E（4，5），D（0，3），设直线DE的解析式为ykx+b，则，解得：，直线DE的解析式为y2x3，令y0，得2x30，解得：x，P（，0），过点E

39、作EGy轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H，HP交DE于点Q，设直线DE的解析式为ykx+b，则，解得：，直线DE的解析式为yx+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），QH5（t+3）2t，EH4t，由勾股定理得：DE（2t）QH，点H在整个运动过程中所用时间PQ+QH，当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH5，点Q坐标（，），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数的性质，线段的动点问题，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行分析